Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 101
Текст из файла (страница 101)
»>~...., х',а) и ЛХ (э:,.хэ.....т: ) нросзрансзва Е можно соедин>лть неллр>лрывно>л крглоогл Х, саги сушсствусг такая пснрсрывная кривая То опредсляемая параметрическими уравнениями (14.2), что хл — — лр> (сг), хг — — лра(гг)..... х = лро>(сг), х' = 1эл(рл')> х,' = лра(>с>), ... „х" = лрг>г(Я.
Сфор>ыу>!!!русы понятие связного множества. Множеспяо (М) прас!принс!ива Ен' назьяслется с в,я з и. и м, ес,ги дое любые Огмегнм, чго прн агом гочка М можег не прнналлежагь множестну (М). 16 Н.А. Ияьпн, Э.Г. Позняк. часть 1 482 эь нкнии нкскольких нкгкмкнных гл. » его точаии ли>звон> соедсснс>ть непрерьт>ной кривой, все точкси которой принадлежа>а этому мссожеству 3 а м е ч а и и с. Отметим, что иногда областью называют открытое и с:в>с.псоес и пе сй>ос:то открытое хсиожество. Рассмотрим следуюший пример. М>сожс>ство (ЛХ) точек Е"', опредслясхсос уравнением а (14.3) называется т;мерным эллисссопдс>м..
Точки т-мсроого эл>шпсо- ида являюсгя граничными точками множества (М) точек ЛХ, координаты которых удовлетворяют неравенству а — ", + —,'+...+ — ', (1. а-, а.> сл>, Это множество является хшожеством внутренних точек т- мерного эллипсоида. Читатель легко убедится сам, что мсюжество впутршших то- чек т-мерного эллипсоида является открытым и связным мпо- жес:твом. Отметим, что т-мерный эллипсоид, ос>редел>зеясый со- отпошсшзсм (14.3), представляет собой замкнутое множество. Область задания функции = / 'счгсгс представляет собой несвязное мпожесгво (см. пример 3' и.
3 и риг. 14,1). В зак:почсиие договоримся называть о к р е с т н о г т, ь со т г> ч к и ЛХ лн>бое открытое связное множество, содержа>пес ЛХ. 6. Понятие функции гп-переменных. Введем сн>пятне функции га переменных. Ес>ссс киждои то ске ЛХ 'аз лсножества (ЛХ) псочек т- мерного евклидова тсространстви Ьссс с>псавсссссгя в соотвеги- спсвое по пзвстписому закону ссекоторое 'гисло и, тс> гово- рятч что на лсножестве (ЛХ) видана функция и = п(ЛХ) пли и = «(ЛХ).
При этом, множество (М) пазываезтя облистьн> га- ди>та фупкцин и = «(М). Число и. соответствукицсс данной точке ЛХ из множества (ЛХ), будем называть част>снсьсм з>си чева>ем фу>>к>ус>с> в точке М. Совокупность (и) всех частных значений функции и = «(М) называется .множессавом значений этой функции. Так как точ- ка М определяется координатами хс,х>....,х„„то для функ- ции и = «(ЛХ) пс перемытых используется также обозначение и = «(;г> „сг>...., сг.„,), Рассмотрим примеры функций т переменных. 1'. Пусть и = 1 — хс — х, -—... — хг„.
Областью задания этой фуцкпии служит, о и;видно, т-мерный псар радиуса 1 с цре цег1ьнОе значение Функции г 2 центром в точке 0(0.0....,0). 11пожсством зпачспий рассматриваемой функции являсп:я сегмент (0«1]. о 1 2'. Пусть и, Областью задания фунт!ии является множество (М) внутренних то юк т-мерного э:1липсоида. Мпо«ксстВОм (п(ачеиий этОЙ фуикции ЯВлястся ПО- лупрямая и ) 1. Й 2. Предельное значение функции нескольких переменных 1.
Сходящиеся последовательности точек в т-мерном евклидовом пространстве Е'и. Критерий Коши сходимости последовательности. Рассмотрим в ги-мерном свклидовом прострапствс Еп' по(глсдоватсльцость точек (М) '). Сформулируем следую!цсс опрсдслсиис. Последовал(ельносгиь (ЛХ) пю«чек евклидова просгиранспгва Еп! называепгся с х о дя гг( е Й с яз если суп1еспгвуг«ги тания пи!чаа А, что для .любого положит!(ельного числа е,мозк:но ука,— зать номер Лг ) такой, пгк! при п, ) Лг выполняспюя неравенсппзо г!(МюА) < е. ПРи зп(ом !почка. А называетсл, и Р е д ел о м последовггл(елы(остап (ЛХ„).
Для обозна гения предела А по(глс;юватсльпости (ЛХ„) используется (глсдукпцая симво.шка: 1пп Мо = А. или ЛХ„-1 А при и -1 ОО. о -«ос ДОКажез! ГОЛСДУКНЦУК1 ЛСММУ. Лемма Х. Пдсгиь последовагг«ельвосгиь (Мо) (почек евклидова прострагютва Е«о щ!одпгися к тг«чжг! А, Тогда последова- (в) 1 ! (о) 1 ( (о) 1 тельноспги (х( г «1хо г, ..., (з!«««г координат, гиочеа ЛХ„ сходятся к сооп(веп(сгггвуюпупм кюординапгам а(. Ог«.... а„в пи«чкп А, и наобг«1!огг(«если последовательности (хг 1 (л(1 Понятие последовательности !очек в евклидовом пространстве Е определвется следу«ощим образом.
Пусть каждому числу и натурального рыла чисел 1,2..... и,... станина в соответствие то «ка Лро евклидова пространства Е'". Возннкакппий прн этом ряд точек ((Хг, ««Гг...., ЛХ,.... рисса«агриваеагьпл в указанвом порядке«называется послег!ог«агг«г«льнов«««ью точек никли,щва просгравства Е'". 1«(ь« будем кратко обозначагь згу последовательность символом (Мо ).
Так как номер (У зависит, воооще говоры, ог ", го иногда пишут У= !У1 ). 16* эь нкнии нкскольких нинимннных г:з. » :сл з...., '(аз„з з коордллнат точл к М„схол)япзгзя г:оответ; (' ~ ~:.) ственно к числим аз, аг,, ..,ао,, то погледовшиелынлскаь (Мо) сх:одится и пзлз"лке А с координлизтм;и аз, ллг,.... а„.
Д о к аз а т е л ь с т в о. Докажем первую часть леммы. Если гсоследшзательность (ЛХв) сходится к точке А. го для любого е > О можно указать номер Лг такой, что при лг > лзг выполняется неравенство р(ЛХо.А) < е. Пусть (хз,х, ...,х„, ) -. коорди/ Рл) РлЗ 1о) з наты точки ЛХгм а (аз,ал....,а, ) координаты точки А. Тогда неравенство р(ЛХв, А) < е можно записать ьззедующим образом: < е. (14А) Отсюда следует, что при и > лзГ выполняются неравенства :с„, — а~~ < е. , Лгл) хз — аз <е, хг — ал <е, зи) 1в) 11ными словаьш. последовательности 1х з.1:г, зз...., 1хв, з координат точек М, сходятся соответственно к числам аз, а,....
а„,. Докажем теперь обратное утверждение. Предположим, что указанные последовательности координат точек М„ сходятся соответственно к числам о,з, ллг,.... охн Тогда для лпобого с > О можно указать номера Жз. лзгз,..., Лг„з такие, что при и ) Лгз, и > №...., и, ) Лг соответственно ьыполнязолся нера- веезства ОО е (п1 ~ е ~хзз) хз — глз <, .лз — агз < —: .. „лт~ — ав, < г лв Отсюда следУет, ч го пРн и > л"зГ = зззах()Ч'з, №,..., л"зг„л) выполняется нераззенство (14.4). Йныззи словами, при и > Ж выполняется неравенство р(ЛХа, А) < е. где А гочка Е™ с координатами ам иг,..., а,„. Таким образом, последовательность (ЛХ„) сходится к точке А. Лемма доказана. Сформу:шруем определение фундаментальной последовательности точек в зп-мерном еззклидовом пространстве.
ХХоследовггнзеяьность (М„) нилчек зп-млзрного евклидова, ззрострллнсгглвгл, ногьлвается лб у и, д а м е н т а л ъ н о й или последово; гпельностью Е(оилзл, если для лзобого иолоэкипаеггылого числа е можно указать токгзл1 ноллер лзз, что прзз, и > Лч' и для любого нггтуролкплоглл р гзыполлнялзплгзя ллеХялгзгззлг:ггзгзо р(М„.ззв М„) < е. Справедлив следузощий критерий сходимости последовательности (критерий Коши). 485 з! и ПРЕДЕЛЬНОЕ ЗНАЧЕт!ИЕ ФУНКЦИИ Для шаго чхиобм последоваспеллисость (Мн) ттссзчсзк ти-.ме1зного евкипсдови прооспуаишисис ймлсз сходящейся,, иеойхос)илю и досто; точно, чтиобьс сена была сХзундалзесзттзальнсттзз. Чтобы убедиться в справедливости сформулированного критерия, достаточно замсгитгь что из условия фундаментазп ности пос'зедовательности (ЛХ„) следует, что поююдовательности (х! т, 1хз Г (тт)1 Г (Н1 хит 71 координат точек ЛХ„также фундаментальны, и па- (н! \ оборот, если указанные последовательности координат фундаментальны, то фу!!дав!с!стальной будет и последовеоельпость (ЛХтт), и затем применить критерий Коши для .шсловых последовепельностей к последовательностям координат точек (ЛХ„) и лемму ! этого пункта.
2. Некоторые свойства ограниченных последовательностей точек в тп-мерном евклндовом пространстве. Введем понятие ограниченной последовательности точек в нм мерном евклидовом пространстве. Послсздсзсзатпелтгзссзсть (ЛХи) !почек ттз-лтс7знОгст евклид!теис тз7ял'ийтанс:пзвв, нсзаьсвстеттсс.'я о г 7т и- и, и ч е и и, о й, сслп существуспз тпаксте чли:ло а > О, что для всех; и, сзтттстлтсясзтся тссз1ятсзетзстисзсз р(О.
ЛХ„) < а., где Π— точкхь все координаты котпорой равны нулю. Иными словами, последовательность (ЛХи) является ограниченной, если все точки (ЛХ„) этой пас чедовательности находятся внутри или на границе некоторого шара с центром в начале координат. Справедлива следующая основная теорема. Теорема 14.1 (гпеорелса Больцано — Вейертигпрасса). Лз лзобой ограниченной зиюледоватпельностпи )ЛХ„) пючск и!- мерного евклидова прострознеспви лссзокнсз вмделиись сходяитдюся подтмнзледоватп,ельностисм Д о к а з а т е л ь с т в о. Убедив!си, во-первых, что последосзательностн х, ' у, (х, ), ..., с:ть„т координат точек ЛХ„яв:опотся ограниченными.
Действительно, так как последовательность (ЛХн) ограничена, то для всех и выполняется неравенство р(О,ЛХн) < а. Поскольку р(О,Л1„) , го отсюда следует, что для всех и, выполняются неравенства х, < а, ~хг < а,..., ис„,' < и. Иными словами, последовательности ! х! 7. 1 ха '(,..., ~(хкч ) координат точек ЛХ„ограничены. В силу теоремы Больцано— Вейерштрасса для числовых последовате,чьностей (см. п. 4 8 4 гл. 3) и'з последовательности 1 хз т можно выде:пиь последова- Г (п)1 486 эх нкнии нкскольких пигнмннных гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
