Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 104
Текст из файла (страница 104)
Непрерывность этой функции па оси Од вьггекает нз того, по ее значения на этой оси равны нулкэ. С другой стороны, значения функции па параболе д — — рх постоянны н равны, . и поэтому прела ' дельное значение функпии при стремлении точки Ъ| к точке О по указанной параболе также равно . Так как при р Ф () этот предел отличен от р рл нуля и не совпадает с частным значением функции в точке О, то функция разрывна в этой точке. гл. тт эь нкйни нкскольких пкгкмкнных 2. Основные свойства непрерывных функций нескольких переменных.
В этом пункте мы пере титшим основные свойства непрерывных функций нескольких переменных. Поскольку доказательства этих свойств в основном аналогичны доказательствам соответствующих свойств функций одной переменной, то. как правило. мы будем давать лишь краткие пояснения. предоставляя детали доказательств читателто.
1'. Арифмети теские операции над неп р е р ы в н ы м и ф у н к и и я м и. Справедливо л'тедукнцее утВе1?ждлтние. Пусти футлктлтлтл Х(ЛХ) и '(ЛХ) непрерънтнлл в точке А. Тт?ггЬ функции Х(М)+ХХ(Ы), Х(ЛХ) — '(ЛХ), Х(М) й(М) и, неире- Х(ЛХ) ' а(ЛХ) рывны в пточке А (чатттнотт при, услтюии й(А) ф 0). Доказательство этого утверждения совершенно аналогично доказательству теоремы 4.2. 2'. Непрерывность сложной функпии. Введем понятие сложной функции нескольких переменных. Пусть функции к! трт (1!т л2 ° 4) кг = трг(1ы Хъ...,Ху), (14.11) кю трот(ум Хг;...: Хп) заданы на множестве (Лтт) евклидова пространства Е у (ХмХв,...
тЕь координаты точек в этом пространстве). Тогда каждой точке лтт(лт.хв„..., хв) из множества (лтт1 ставится в соответствие с помощью формул (14.11) точка ЛХ(кт,:л;г,...,к„„) евклидова пространства Е". Обозна тим через (ЛХ) множество всех таких точек.
Пусть и, = Х(кл,кг,....кю) функция т,-переменных, заданная на указанном множестве (ЛХ). В этом ттучае мы будем говортлтгч тто па множестве (Лтлт евклшдова пространства Ь+ определена слооюнол функция и = У(:лгн кг,...,:с:,о), где кь кг,.... кю являютля функциялти переменных Хь 8г...., Хв. причем эти функции оттределяются соотношениями (14.11). Справедливо следующее утверждение. Пустнь:гт = трл(бт, б?,,,. т Хл), кг = тр?(ут, Хг,,,., Хв)., ..., лсю = трю(Ет. Хв,..., Ул) непрерывны в пю?чке А(ат, ав...., оп).
а фтрлкцлля и = Х(гп,.лтг,...., к,„) неттрерыонп о тпочке В(бн бг., .. ....б„). где бл =- рт(ал,аг.... так) т' — — 1т 2, .... тп. Тогда слт?ото?тая фт/икцтля и = Х(кт кв, ., л:то). гдтт:лц,.л:2:;:ттттт представляют соботл определенные вьиш. фултлктлтлтл, орту?метл; тпов Х?.Ха,...,Хв. тлеттрерллтттто, в точкт. А(ал,ог,... „ат). Налттг— 1 3 непРеРНВные Функции нескОл!эких пеРеменных 495 тим основные этапы доказательства этого утверждения.
Пу<'ть (!гУв), <Уь ф Л, ПРОИЗВОЛЬНаЯ СХОДЯП<аЯСЯ К Л ПОС;ЬЕДОВатЕЛЬ- ность точек из области (Л<) задания фупкций 1о;(61,12,..., !ь). а (ЛХо) со<лвет<ьтвуюьц<ья последовательцо<ть то ьек, координаты х, ! которых равны <р,(61 !. 6(2 !... у( )). В силу непрерывности функций <у>< в то <ке Л, пос'и",довательиость (Мв) сходится к точьсе В(61.
62,.... 6т) (ие исклю «сна возможность совпадеиьья точек ЛХв с точкой В). В силу непрерывности в точке В функции и = У(хь, хг...., «;„„), последовательиость (Х(мв)) сходится к Х(В ). Но зта последовате.п по<-и представляет собой последовательность зпачеиий сложной функпшл, отвечакпцую сходящейся к А посаедовательиости (Л<„) то гек области ее задания. Так как мы убедились, что последовательность (Х(ЛХь)) <ходится к ьастиому значению 1(В ), то тем самым непрерывность сложной функции доказана. 3 а м е ч а и и е. Приведенное здесь доказательство представляет <'обой обобщение иа случай нескольких переьнгииых доказано>гьсз ва теоремы 4.5 о иепрсрывиости сложной функции одной переменной. 3'. Теорема об устой ьивости знака непрерывной функции.
Теорема 14.4. Гслв 1У>уункцьгя и = Х(ЛХ) не!!у>еу>в<она в точкез А салль<доев пу>оспгуя>н<пгоо, Ет и, если, Х(А) ф О, то с!!и!ещивуе<п <покоя б-оку>еспгность пяти Л. в ггунделгах ко<<!ау>ой во всех точках обло< пи< своего задания Х(ЛХ) не обух>и!аег<гся в нуль и !змеев!, <знак. совьадаьоьцьгй со гнвколг Х(ЛХ). Справедливо<ть этой теоремы иепосредствеиио вытекает пз определсиия вепрерывиости функции в терминах «е — бм 4'. Теорема о прохождении непрерывной функции через лн>бее промежуточное значение.
Теорема 14.Б. Пуствь <)>уунь<г!ия и = Х(ЛХ) непрерывна оо ос<>х 'и«> <ках <.*вягья>го мыоо<сесгггва (М) евклидова, 1<у>оспгуя>н<и<во Е'". <гу><!чем 1(Л) ьг 1(В ) — вначеная эпи>и, Х>ункц<г<г в ьооч; ках А и В во<ого множество,. Пусь<и. д<глее. С лн>бое 'ч<гсло, ;гокаюченное методу Х(Л) и Х(В).
Тогда на любой, !ггпу>еу>в<оно<У, кроет, Хо соединяюгцей точки Л и В и целикол< расп<пьогантгейся в (ЛХ), нойделпся точка Х токая. чпго Х(Л<) = С'. Доказательство. Пусть = ьРь(1); х2 = ь<>2(6)... ° хы = <Р~ь(6) <г ~ <6 ~< 1>. уравнения непрерывной кривой В, соедиияюшей! точки А и В множества <<ЛХ) и целиком располагающейся в (ЛХ) (см. и.
5 9 1). На сегменте (о, у> определ<па сложная функция и = 1(«>1, ье2,... ...,:е, ). гд<' х, = <уь<(6). г = 1,2,<п. о < 6 < /3. Очевидно. гд. 77 етункцнн ннскодькнх пуп кмкнных зиачсния этой функции иа сегменте [отЯ совпадают со значениями функции и = ) (ЛХ) иа кривой Е. Указанная сложная функция одной переменной т, в силу утверждения раздела 2' этого пункта, непрерывна па сегменте [о.
Я и, согласно теореме 8.6, в некоторой точке С сегмента [о, Я принимает значение С. Поэтспту в точке 575 кривой Х с координатами 7577©, срг(С), ... ....стэн,(с) справедливо равенство Х(57)) = с. теорема доказана. 5'. Отраиичсииость функции. Неьсрсрывнои иа замкнутом ограниченном множестве.
Теорема 14.6 (первая тпеоремо, Вейерштрасса). Есм л,и функция, и = 1(ЛХ) непргръсвна на, замитпутппм ограни"сенноль лслтож:еспиьс (ЛХ), псо она ог)татстсчсьтиь на зисом многа'естпже. Остаиовстмс'я иа доказательстве ограниченности тл = 1(ЛХ) сверху. Предположим. что и = 1(М) ис ограни сева свсрху на (ЛХ), Выделим (как и в доказательстве аналоги той теоремы 8.7) последоватцтьиость (Ма) точек множества (М)7 для которых Х(ЛХП) ) и. В силу теоремы Бодьцаио — Вейерштрасса (см.
п. 2 ь) 2) из (Мп) можно выделить сходящуюся подпоследовательность (ЛХсы), пре;тел ЛХ которой. в силу замечания к теореме Больцаио — Вейерштрасса. принадлежит множеству (М). Очевидно. Пос тедовательиость ( Х(ЛХь„)) бесконечно большая. О другой стороны. в силу непрерывности функции в то тке М, эта последовательность [1(ЛХь„)) должна сходиться к Х(ЛХ). Полученное противоречие доказывает теорему. 6'.
Достижетттле функцией, непрерывной иа замкнутом ограниченном множестве, своих точных граней. Теорема 14.7 (витория теорема Вейершттсрасса). Еслз, функция и = — 1(ЛХ) ти551151515ысьна на,;самкиутаоль огринссчеином мнОзтсестстве (ЛХ), П10 Она, дстсстпттгасстп, на, э7пол1, множесстпсте с151тих' питчных верхней и тстсоютьсч', граней. Дотсасьательс1тво этой теоре; мы совершенно аналогично доказательству теорсхты 8.8 (вт.орая теорема Вейерштрасса для функции одной переменной). 7'. Понятие равномерной непрерывности функции нескольких переменных. сХтункзтья и=1(М) нажывается равномерно неирврыви о й на множестве (ЛХ) ) свкллсдова ироспсраиства Е'"', если для любого иолосяситиельиого числа г можно указатпь тпакое иоложитпслъиос 11, завтитисцсмз только Отп с, что длж ллобътх двус точек ЛХ и, ЛХ множ;есспва, (ЛХ), удствлсттьворяиттцть715 условиит р(М'„ЛХП) < б, выполняетися неравенс1пьво /Х'(ЛХП) — Х(ЛХ')! < г.
1'1меет место следующая теорема. ') Нря агом Предполагается, что множество (Л|) нсютно в себе, т. е. в лтобой г-окрестностн каждой точки И этого множества нтьекттся отличные от ЛХ точки тшожества (5ЛХ). 497 ироизводнын и дневи нпциллы Теорема 14.8 (тпеорема о равномерной непрерывности). НепХтерыттная на залткттутвм ттгдяттттнтеттттом лотожтктаве (ЛХ) фуна:ттпя рптттчттлтттХттто непрерывна на этом лтнттжесттттэть Доказательство этой теоремы совершенно ана.тогично доказате,;тьству теоремы 10.2 и полу тается из него путем замены термина есегмент (а, Ь)» термином емножество (М)тч замены буквы:с на букву ЛХ и замены выражений типа (з;и — х'( на символ р(Л|'. ЛХв).
3 а и е ч а н и е. Назовем дтзттлтттптуттлт огратттл тетшого множества (ЛХ) то тную верхнюто грань тисел р(ЛХ',ЛХп). где ЛХ' и ЛХ' — — всевозможные точки множества (ЛХ). Используя понятие диаметра хшожесттза. отметим следующее свойство непрерывных на замкнутых ограни тенньтх множествах функций. Пусть (1)уттткптття и = Х (ЛХ) нсттрттрытзтто, на замкнутом ограниченном мттттэтсттт:твтт (ЛХ).
Тогда, для любого ттогтттжтттттттлттттого числа г можно указать такое б > О, что на каждолт, ирттттаг)лтн жащем множеству (ЛХ) замкнутом тнтдмножестве (ЛХ), дпо.— мвпт(т ктттпттХтттгтт лтсньптет б, колебание ит ) дтунктттттт, Х(ЛХ) мвньтие г, Доказательство этот о свойства совершенно аналогично доказательству следствия из теоремы 10.2. я 4. Производные и дифференциалы функции нескольких переменных 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
