Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 107
Текст из файла (страница 107)
! тт) В точк(' 1)г. По(ко>!ы(у сринкция и = Х(х!!гса...,хт) предполагается дифференцируемойт в точ- кР Х, указанное приращение (ли этой функции могкет быгь !вписано в виде 507 ПГОНЗВОДНЫК И ДИЕЕК1 КПЦИАЛЫ ..., ЬХн, — ) О ФУНКЦИИ. РаВНЬН; НУЛЮ ПРИ,Ьа>1 = ЬЯ:а = ... ... =- Ьх,в = О. Подчеркнем, тто в соо)нопп>нии (14.23) с.'тхм олХа> ..., олХ>п !й>едетаВЛЯЮТ СОбей Прнрап)ЕНИЯ фуНКцИИ (14.21), отвечанлцие выбранным приращениям,ЬХ>, Ьйг,..., А2Хь аргументов этих функций. В си:су дифференцируемости функо о о ций (14.21) в точке ЛХ(11.
1а„..., Хь) указанные приращения Ьхс, можно )вписать в следун>п1ей форме; Л:13 = — х" Ы1 + — '* ЬЬ +... + —," с."2сь + о(р) > (14.24) 2 = 1.2„...,т дх, дх, дх, где тастные щ>оизвс>дпые —, —..... — берутся в точкс*, ЛХ, и дт! ' д>2' д>1 р = (л11)а+ (м)а+ „, + (ыу)' Ъ1ы до.гкны убедиться в том, что пос.>е подстановки в пранук> часть (14.23) выражений (14.24) приращсние >ли может быть приведено к виду — А слс + Ао,~а+... + Аьи~ + о(р). где А,= '+ ' +...+ ", 2'=1.2,...,Й.
(14.26) дх1 дт, дх2 дт,, дх„, дт, ' Тем самым доказательство теоремы будет завершено, ибо фор- мула (14.25) ус>танавлива т факт дифференцируемости сложной функции, а выраженис (14.26) представляет собой частпун) про- изводнун> ую)з;>Иной с >о>к>п)п функ>)ии (см. тео1н му 14.9). При подс:тановке в правую часть (14.23) выражений (14.24), кроме группы спи аемых А>ЬХ>+ А слХа+... + АьЬХы мы полу- чим и другие группы с.>агаемых. Нам нужно убедиться в том, что все другие группы слагаемых представлян>т собой величи- ну о(р). Это вытекает из сыс'дун)щих соображений: 1 . Все часп>ниле производные — в формуле (14.23) беру>с>; дт, сл в точке >У, тп.
е. предсвсавллн>тп собой постполаьгме. числа, кс>торые т>ри умнова>енисс, на о(р) датта снова, величину о(р). 2'. Все Ьхс (2 =- 1,2....,>п) удовле>оворя>от неравенстпву (Ьхс! < сопв1 р. Зп>о нет>осредственно вьстекает иа формул (14.24). 3". Все о> в фс>рлсуле (14.23) 2>редсп)авл2ают собст" бесконечно лсалые пуи Р— > О фУнкиии. В самом Деле. все сто Явлин>тс'и бссь конечно малыми при слх> — > О.
Ьхя — > О, ..., слх — > О. Но все функции (14.21) дифференцируемы, а стало быть, и непрерыв- ны в точке ЛХ, и поэтому Ьх>, Ьха..... с>х стремятся к нулю при р -+ О. 808 эь иннин нкскольких пипимкннык Г:1. 11 -1'. Кс>1>сс>дое произ!с!>дене!с>О,ЬК>! прес11>енс>с>ляе>сс собой величину о(р). Это испо!рсдс;твенно вытекает из пп. 2' и 3'. Теорема доказана. 3 а и е ч а и и е. 1'ассмотрим важный частный с>чучай, когда функпии (14.21) Еависят от одного аргумента 1, Тогда мы имеем С'ЛОЛСЕ1>'К> фуНК1СИК> ОДЕК>й ПЕРС'.МЕН!В>й Е! П = Е (ХЕ.
Хя! ° ., Хсп)! ЕЕ!с гле х, = ср>(с). Прои!водная — этой сложной функпии опредейс Л51ется следу 1Опсс'й форьг! ЛОЙ: Йи ди с1хс ди ссх:2 ди сйх,. (14.27) йс дх! сй дх2 сд дх„,, >ЕЕ Применим формулу (14.27) еля доказателытва теоремы Эйхссрв, об однородны с фуснкиияхь Функция и = Х(гс,х>,... !:х,„)! заданная на множестве (М), называется однородной функцией степени р на эсом множестве, Если для калсдои то Еки ЛХ(хс!Тэ!... ! хт) множества (М1 и для каждого числа 1э для которого точка Е>е(схс,йха!...,Хх> ) принадле кит множеству (ЛХ) вьспс>лняепсся равенство Х(йх>, Ххв!..., Ххи!) = 1~1(сх>, хя!...;дхп!).
(14 28) Теорема 14.1х (гаеорема Эйлера об однородных функциях). Если и = Х(хс,:св!... ! Ехт) являесося в некоторой обласгпи (ЛХ) дифференцаруесмой однородной функцслей степени, р, то в ка;>юдой, точке М(х>!ха..,.,:с,„) области (М) справедливо равенспсво ди ди .ТЕ + хэ +... +:х„, = ри. (14.29) ди дх! дхп дс: о о о Д О к и 3 а т с, л ь с '1' в О. Пусть ЛХО(х!1!хэс....х>и) произвольная точка области (ЛХ). Рассмотрим сложнук> фуспс- ПИК> и = Х(:ГЕ!те!...,:Гп!), ГДЕ ХЕ = 1Х,; (1' = 1с2.... !ПЕ), т.
Е. о о о функцин> и = Х(1х1.1ха.., ..яхт), Так как при 1 = 1 функпии о Х! = С Х! Днф11>СоРС'НЕЕИРУС'ЫЫ и СЕ>УНКЕСИЯ О = Е (Х1с.'1;2!..., Стт) Диффс>уенциурс'ма в соогвс>тств'!"юсцс"Й тО*1кс' ЛХО, то! согласно тсь ореме 11.11 и замечания> к этой тсореме, мы можем вычислить >1 и производную — указанной сложной функции в точке 1 .=- 1 по Лх о формуле (14.27). '1ак как — ' =хь то с11 сЕи ди о ди ди — х1+ 11:2+ . + (14.30) сЕЕ 1.— 1 дх ! дх 2 дх ди где производные — берутся в тоске Л4О.
С другой стороны, в с:илу (14.28) рас:сматрнвас мая сложная функция может быть ш онзводныв и диэенгв!!цилг!ы пр(дота)вгп)на следукнцим образом: . = П(,,'с),1'':и,..., й,и) =, Л(~)! гсвг...,,~би). (14.31) о о о Из (14.31) вытекает, что — = р1 !'(х)г хвг... -,.'си)), т. е. (и — = Р((!))г Х...:С„) = РИ. (14.32) г!! Сравнивая (14.30) и (14.32), мы получим соотноп!ение (14.29) для точки Мо. '1ак как точка ЛХВ - произвольная точка области (Л4), то теорема доказана.
5. Инвариантность формы первого дифференциала. В п. 3. мы ввели понятие первого дифферешплала (1и функции нескольких переменных и установили. что когда аргументы .'С), Хг,..., )сги ЯВЛЯК)ТСЯ НЕ)аВИСИМЫМН ПЕРЕХП)ННЫМИ, ТО ДиффгР(ншпги! ()1! МОЖНО ПРЕДСтаннтЬ В ВИДЕ фи = (1сс! + — (1хв+... + (14.20) дх) дхг дх В этом пункте мы докажем, что формула (14.20) является универсалып)й и справедлива также и в том снучае, когда аргументы сс), х...., !г,„сами являются дифференцируемыми функциями новых п( ременных 1! г 1в ....., 1ы Указанное свойство п( рвого дифференциала обы !Но называют свойством инвариинтноспгп его формы. Пусть аргументы х),ссгг... гхиг функпии и = ) (х),хг„...
...,:г,„) пред(тавляк)т собой диффере!щируемые в точке о о о А(11, 1ег....1!) функции:г,; =:р,(1! г1!,..., 1!), а сама функо о ция и = ! (г 1, )г; )., и,„) дифференцируема в то"!ке В(х), ссв,... о о а о а ..., ()и) ), где х;= у)((11, 1г...... 1с). В таком случае мы можем рассматривать и как с.южную функцшо аргументов 11,1е,... г1), которая, в силу т("ор('мы 14.11, является дифф(ренцирусмой в точке А. Поэтому дифференциси! ()и этой (ложной функции и!О)кно про,)(:тавить В Виде г)и = — ((11 + — псв + .. + — (11(з (14.33) дсг дсг д(( ди ди гле — определяются и) соотношений (14.22).
Подставляя — из ди (14.22) в (14.33) и собирая коэффициенты при —, полу !им дх, ' (((! = !у — ((('.! + — (((в +... + — Мьу +... ди ('дх) дхг) дг) дх1 ( д(! д!г д!! ди /дхо, дхо, дх,. + ( — (!г! + — Мз + + — ' ((гв) дх,. дс, ' д!а ''' д(, б10 Г:Е. 11 эх нкции нкскольких пкркмкнных ОСТЗЕТСЕЕ Затн)ТИТТН ЧТО В ПОСЛЕДНЕЪЕ ГООТНОПП'.Нии Козффи!СИС'НТ дп ПРИ вЂ” РаВЕН Днфф|РЕНЦИаЛУ йс, фУНК|СИИ:С; = СР>(11.1й,, .. д., ...,15). Х1ы полу |им для дифференциала ди сложной функции формулу (14.20), в которой дифференциалы йг; будут диффс реещиалами функций х> = сре (1], Хй,..., Хе). Иеевесрие)нт)101>ть формы первого дифференциала установги на.
Свой|ство |сесне)Весе)нгнос:ти фора|в| пе))восо дифс))с)рс нпиае|а позволяет установить с>леду|ошно привила дссфс1)среесцироттия. Пусть и и и — дифференпируемые функции каких-либо переменных. Тогда с)(сял) = се|и (с = с>опв1), сК(и хи) = с(и х й>., с1(ии) = ис1и+ исйп, сК( — > = ' (В последней из написанных формул и не обращается в нуль). ,>до)се)жс.кс, па|В>имс)р, спрввсдливосгь третьей из указанных фо~)мул, Расс:мотрим функция) и> = ид> двух пс)ременных и и и.
Дифференциси) этой функции йв равен сси> = — с(и + — сй.'. ди да дп ' дг ди дю Так как — = и и — ' = и, то йп = ий> + иди. В силу инвадп дг риантности формы первого дифференциала выражение и пи + + ийи будет дифферешеиалом функции ип и в случае, когда и, и и сами являя)тся дифференцируемыми функциями каких-либо переменных. 6. Производная по направлению.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
