Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 108
Текст из файла (страница 108)
Градиент. Пусть функция и = 1(>г„сд, з) трех пс рсмс'нных х„д и з задана в неко- тоРой окРестности точки Мо(хо.до, ко). РассмотРим некотоРое направление, определяемое едишгшым вектором а с координа- тами сов||, сов1), сов у'). Проведем чсрез точку Мв ось 1, на- правлеш|е которой| совпадает с направ,н)ншм в| ктора а, возь- ксек1 е|а этс)Й Оси прои|вольнук) то'Еку М(х> сп >) и Обозна'Н1м 'Есь рс)з 1 в|с|и сину на1В)авен)нного Отрезка МОМ указанной оси ). Р1з аналити |ее||ой гс)ометрин известно, что координаты зх, |б к точки М онредс.,|я|отея равенствами х = хо+(совст, д = до+Рс:ов(Ф, з = до+(сов У. (14.34) ) Из ана,ситической геок>стрип извес) но, что если единичный вектор а составляет с осями координат утпы о.
д.;. )о координаты этого вектора равны сово, соед. сюяч. ) Величиной >' направленного отрезка ЛкеЛХ оси 1 называется число, равное сто длияе, взятой со знаком плюс, если направление этого отрезка совпадает с направлением оси 1. и со знаком минус. если направление этого отрезка противопопо)кно направлению оси 1. 511 пгоизводнык и диэегл внцнллы ди ди д,г ди Уу, ди <гв +, т д1 дг. <и ду о1 ' дг гй <1х ду <Хв Так как — ' = совы, — ' = сонг>, — = сое у, то из посл<дней <и ' <11 '' ' гй форму.зы находим ди дт> дт> ди — = —,'<тоагт+ — сое1>+ — сов у. д1 дх ду дг (14.35) Введем понятие градиентно дифференцируемой в точке ЛХо(гсо> уо; го) функции и = ф(х, у, г).
Г р а д и е и т о м функции и = ('(х,тбг) о точке Мо называетпся векпп>р, обозначаел<ьгй н>м>н>лг>м ага<1<> и имеюи>т>й д дад координатна>, соотиветсп<венно равные производным —, дх' ду' дв' озятпым в пточке Мо. Таким образом, / ди ди ди1 йгга<1 и = ) —, —, —, ). дх > ду: д.
Т' (14.36) Используя понятие градиента функции и учитывая, "по вектор а, ощ>еделяющттй на>травление оси 1, имеет координаты созга <'аз<3, соз у, представим выраженп< (14.35) для произвол,. ди ной — по направлению 1 в виде скалярного произведения векд1 торов йга<1и и а; д1 д .г.1 т) (14.37) Покажем, <то градиент функции и = г(х>у, ) в и<очке >Мо ггаракп>ерт>гзтуегг>, направленлие и величину,л<аксил<ального роста этой функции в тпочле Л1<т. Именно, убедикня, что производная > Напомним, что скалярное произведение двух векторов.
определяемое как произведение модулей (длин) векторов па коеинус угла между низа<, в глучае. когда векторы заданы координатами, равно сумме произведений одноименных координат зтих векторов. На указанной оси 1 функция и = )'(х.у.г), о тевидно, является <>ножной функци<й одной переменной в<личины Е Если эта функция имеет в точке 1 = О прг>т>звг>дн1>то по переменной 1, тпо >лог> тгроизводная т<г>зт>ггтг>егггся и р о т> з в о д и о й и о н оп, р а в и, е н и ю 1 оп> функции и = 7'(гг> тб г) в точке Мо и обода значаептся символг>л< —. Согласно замечани<о к теорем< 14.11, дг в случае дифференцируемо«ти функции и = ) (гг> у, и) в точке Мо ди производная — может бьнь вычгтстгена по форму.зе (14,27)> в д1 которой аргумент 1 нужно заменить на Е Таким образом, 512 Г:1. 11 эв нкнии нкскольких ниримннных функции и В то лке; Мел но нели(зввле;нллкл, елп1111де1ляе"мелыу Ервдие'нтОм э'ГОЙ функ1Лии В укйзвннОЙ тОчке', имел'"Г максима!1ьное лнв п*.ние по срнвненикл е: преи11лвелдне1131 по .Еклбому другел»г, ннпрнвлщппо в ТО~НЕ.
ЯХе1, и знн ление у кв;"липой п(клизводпой равно ( игас) 11(, т. е. длине вектора йгае1 п. Перепишем формулу (14.37) В ВИДР— = (а! ! Йгае) и ! сов ер, д( где р — угол между векторами а и исае) и. Так как ди )а( = 1, то — = (Йгае) и(сов ер. д( Из поегледней формулы вытекает, гго максимальное значение (-) ди '1 — производной по направлению будет при сов ер =- 1, т. е.
юах когда направление вектора а совпадает с направлением игае111, 1 до Л ПРИ ЭТОМ ( — ! = ((гГНЕ)и(. шах Зля выяснения геомелрического смысла вектора Вгве( и введем понятие поверхности уровня функции и = Х(ес,у. ). Нвзовем поверхностью уровня функции и = Х(к,у, х) каждую поверхность, нв которой функция и = Х(ес.у.
к) сохраняет постоянное значение, Х(х, у. х) = с = гопвг. Нетрудно убедиться в том, что вектор Кгвс( и в денной точке зло(ка, ув, ко) ортогонвлен к той поверхности уровня функпии и = 1'(х, у, к), которая проходит через данную го псу Луо. 3 и м е 1 и» и е. В еллучне фу~~И~~ 11, = Х(:»:, у) двл;х пе(именных и и у едлпшчный вектор а. определялощий направление в точке ЛХО, имеет координаты совет и эшен Поэтому в уклулнннохл е лучио формусла (14.35) прянллмнет вид ди ди ди — = — СОВ О + — ВШЕК Отметим, *ело в случае функппи двух переменных градиент дифференцируемой функции и(и, у) определяется кнк вектор.
имеюд д щЕЕЙ координаты —, и —. Формула (14 37), очевидно, справеддт ду' .,1иВВ и В слсчаел дВУх пе11111ме'нллых. Дли фхнкции 'О = л (же, из,... ...,;Гт) т ПЕРЕ МЕННЫХ ИЕ, И., 1:и, ПРОИЗВОДНаЯ ПО НВПРНВ:и'- нию и градиент определяются аналоги1но. Именно, производди нВЯ вЂ” в точке Мв(ил,л:т,...,:11т) по напРавлению 1, котоРое задается е,Еиничным вектором а = (1ов а1., сов Етв,..., совам) ') В аналитической геометрии т-мер~ого евклидова пространства единичный воктор а определяется квк вектор с координатами сов ос, гов ою... ..., соко„„где гоьхо1 Л-соева -Ь... Ч-говхо, = Ь ! в ш оизводпыи и диеев! в~циялы высших погядков б!3 определяется как производная по ( (ложной функции а о о Е (Х1,Х2, ° ° Хто) ° 1/л(" 11 — -).! + (СОВП) а)В =ХВ + (РОВ ОВ, о ,:Хгн =Х)н + !СОВОнп В СЛУ П)Р, ЕСЛИ и = Е(Х),азх,...,Х„) дпффе!)ННПИЕ)уехлвя (()дикция, для и!)О!с)водной по пвлравлщлик) имРРт ЫРсто фо!)му!в ди ди ди ди — .= — сова)+ — сових+...
+ — сово, . д! дх( дх) дхо, о о о ГРаДИЕНтОМ фУПКЦИИ В ДаПНОЙ ТОЧКЕ ЛХВ(Х),(ХВ,...,Хгн) ННЗЫ- вается вектор, обозначаемый символом ьтга((п и имеющий коорди ди ди динвты †, †...., †'., при п)м указанньн)производные бед(()( дх) дх рутся в точке ЛЕО. Для производной по направлению дифф(рен- цируемой функции в .= Х((х(. хв,..., х: ) спрввсдлива формула (11.37). в 5. Частные производные и дифференциалы высших порядков 1. 'Частные производные высших порядков. Пу(ьгь ди частная производная — по аргументу;г., функции а дх, Х(х(,хв,...,(гн), определенной в области (М).
су!Пеству- ет В каждой точке области (ЛХ). В этом (лучае указанная частная производная щ)едставляет собой функпию переменных :г), х),... „,х,, также опр(дел(иную в области (ЛХ). Может (луди читься, что эта функция — им(лт !нотную производную по дх, и!)гумепту (хь в некотороп точке ЛХ области (ЛХ). Тогда укж)ан- нУН) частнУю пРои;)воДнУю по ВР).УмептУ;гв пазыввн)т втоРой частной прон:)водной или частной производной второго порядка функции и = Х(а)1,:гв,..., х„,) в точке ЛХ гнала.)н по ар) умен- ту,г„а затем по аргум(опту хв и обозна !Нют одним! из следую- щих символов; да и,<в! О(х! д'и П!Нл этом, (сли 1 у-'- й. то *)встпвя щ)оизводнвя ' нв)ыввдх( дх ется ся(етанно(1 частной производной второго порядка.
Пос)п) того как введено понятие второй пн)тной щюи)водной, можно по(вп'.ДОВатРЛ! по ВВести поняти(', т!)Вты'Й чпстнОЙ щ)оизгодной, затем ютвертой и т. д. Е())пл предположить, лто нами уже введено поняти(1 (и — 1)-Й г)сгной щ)ои)водной функции и — Е(Х). ХВ,..., Хто) ПО НРГУЪП Итти Хб. Х,,..., Х,, (ОТДЕЛЬ- ньи. и„1и дажР В((' ноы('.~)в кото!)Ых могбт ООВпвднть) и что 17 ВЛП Ильпн, Э.!1 Позняк, часть! Г:1. 11 ФУНКНИИ НЕСКОЛЬКИХ НЕРЕМЕННЫХ зта (11 — 1)-я частная производная имеет в точке ЛХ частнук) производную по аргументу:г,,„, то указаннук) частную произ- ВОдну1О называя)т 1)-11 частнОй Н1)ои')водной (или частнОй производной и-го порядка) функции и = 1(х), ха....,.х,„) в точ- ке Л)( по ар(ументам х„,х;,,...,х;„,,х, Таким образом, мы вводим понятие 1),-й частной производной индукнпипно, перехо- дя От первой) ч к;гной производной к по( и.
(уклцим. Соотноше- ние. определяющее 1);и частную производнук) по аргументам хн, .'еа) ° °..., хы 1, х(„, ихп)ет ВИД д" и д ) д" Если не все индексы 11, 1 >,..., )и Совпадают между собой., то частная производная называется с.((сп((и(но(1 частной производной 1);го порядка. Так как частная производ- ная ())ункнии по аргумент) х, Опр(.д(ля()тся как Обыкновенная производяая функции одной переменной х, при фиксирован- ных значениях остальных переменных, то методика вычисления частных прои:)водных высши( порядков предполагает умение вычислять только обыкновенные производные первого поряд- ка.
В качестве примера вычи( ~п(м частные производные второго порядка (1)ункцин и = агс1и —. Имеем и ди у ди х дх х' з- у' ' ду х'-' з- у) ' д и тху д'и х — у )х) 1 ()))" дхду (х) 1 у)))' ди х — у ди еху д(дх (х)З „)))' д 2 (х) 11)))' В рас()мОтр()нном примере схи'п1ашп*п! '1астньи'. Производны(1 ди ди и ' равны друг другу. Вообще говоря, значения смс- ду дг д,х ду )Ванных производных зависят от порядка, в котором произво- дятся последовательные дифференцирования.
Убедимся, наприди ди, мер, что смешанные частные производные, и ' функпии ду дх дх ду ) ) ху ',, ', при (г +у фО), з у 0 пр 1 +;1'=О в точке 10, 0) существук)т, но не равны друг другу . 1ействитель- но. (х); у'у) д) 0 при хе + 11в = О. ! ь пвоизводпыв и д!ивов! кнциллы высших погядков о(о Поэтому д» д» дг =0. ~л» дх ~ >пп дудх,--о, у=о у- о у д'ы ПУОИОдя аналогичные вы'1ис'пс!Иия, ПОлу 1иь1 = 1.
~» ду »=о,у=о дга, да Таким образом, в точке [0,0),' ~, ' . Выяс;ним лодг. ду ду дх От«то и!ь«! условия независиг«к:ти зна«гний емец!анных п(>оизводных От порядка, в котором п(юизво.(я!гя по<лс!дева г<л!— ные дифферспцпсрования. Предварительно введем понятие п, раз дифференцируемой функции нес>кольких переменных. й>ункгция !С = С [;1>1, сгг...., Х»с) Нагксаа<.П<ая и. р а г д И ф ф <в 0 0 0 р с н ц и р у с лс о й в точке Ма[!к!,д>2,..., х,»), если всс частныс прс>изввдные (г! — 1)-го порядка этой' функции, являются диффаранцссрусмылли функциялли в точке ЛХо. Отметим следуюгцее утверждение. Для гогого чгиобьс функция и = 1(хг, х2,...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
