Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 112
Текст из файла (страница 112)
еслсс, она имеет, в этой спочеке. либо локальный максимум, либо локальтсьсй минимум. Установим пеобходимьсе условия локального экстремума функции и = «(И), обладшошей в данной точке ЛХсс частными производными первого порядка по всем переменным. Докажеьс следующее у т в е р ж д е н и е: если функция о а и = «'(ЛХ) = «'(тс, ха,..., хтв) пбладатп в пспчке Мо(хс, сгг., .. о ...,х„п) чохтпиеыми просыводнылмс, первого порядкп тсо всели переметшым хс, хз,., ., стоп и имела в отпой точке локальный экстремум. то все "састтньсе производные тсервого тсорядка обрасцаютпся в пючке Мо в нуль, т,.
е. стсуаведгсссвьс Этавентпва: — (ЛХо) = Π—., (ЛХо) = О., -,, (Мо) = О (14 68) Д о к аз а т е л ь с т в о. Установим справедливость первого равенства (14,68). Фнксируеьт у функции и = «(хс, хг,..., х„п) аргументы хть хз...., хт, положив их равными соответствукь о а щим координатам точки Л1о, т. е. положив хо = сев., хз = сев, ...
о о хсо хпс . П1)и этом мы полу сим с)п ссксси!0 и «(х с ссг о ...,хп,) одной перемешюй хс. Производная этой функции ода ной переменной в точке хс =.тс совпадает с частной производной дхс тасс как функция пс пс1зсмепссых и = «(М) имеет локалысый экстремум в точке ЛХо, то указанная функция одной перемена ной и = «(гссхг,....сгт) имеет локальной экстремум в точке хс =сгс, и поэтому (в сносу результатов п. 2 с) 7 гл. 8) производная этой функции одной переменной в точке хс = сес, совпадающая дсс с частной произвотной —,(Ио), равна пулсо.
йгс Первое равенство (14.68) доказано. Остальные равенства (14.68) доказывасотся аналогично. Подчеркнем, что равенства (14.68) (т. е. обращение в пуль в данной точке Ио всех частных производных первого порядка) являются липп необходимыми и не являются достаточными условиями локального экстремума функции и = «(М) в точке сосо. локальный экстгпмим 533 дсс~ ъс„= с)ЛХо) дх с +, ' (сссХо) дст:г +... +, (ЛХо) дхссс, то из равенств (14.68) вытекает, что ири любых дх) „дхг,..., дх,в справедливо рави)ство ди/ла) — — О.
2. Достаточные условии локального экстремума. При формулировке достаточных ус,ювий .,юкальпого экстремума функции нс перемеапых и = ДЛХ) важную роль будет играть второй дифференциал этой функции в обследуемой точке ЛХо. В п. 2 3 5 этой главы мы убедились в том. что для с:тучая, когда ар) умсвгы:гс, хг,..., хи, два раза дифференцируемой функции сс, = Х(хттдгг,... „се,„) )тали)отса лссоо стезввисимыми пе1кв ъачшыми, либо листе)с)сьсхссс функциями некоторых независимых перемеппых, второй дифферспшсал этой функции в данной точке ЛХо представляет собой квадратичную форму отпосительпо дифференциалов аргументов санхо),сдхг,...,с)х,в с"телующего вида; вс св с1 сс.~зс„= ~> ~ ись сХх; Йхсв г, с=т ь=т (14.69) где с)сь = иьг = .
УХО). д и дх, дхс (14.70) Наттриьсер, у функции двух переменных и, = стцтс обе частные дл ди производпыс —, и — обращаются в нуль в точке ЛХо(0.0), ио ди ду пикакого экстремума в этой точке Мо(0,0) указзштая функция пе имеет, ибо эта функция и =. ху равна пулю в самой точке ЛХо(0., О), а в как угодно малой о-окресттностти этой то'тки прииимает как положительные, так и отрицательные значения, Точки, в которых обращаются в пу.,сь все частные производш те первого порядка функции и = Х(ЛХ)., пазываются т о ч к ими возможпого экстремума эсойфункции.
В каждой точке возможного экс трех)ума у функции и, = Х(М) могкет быть локальный экстремум, одпако наличие этого экстремума можпо установить лишь с помощью,)остаточных условий локального экстремума, выясвепик) которых будет посвящшт след)нос)тай пу тткт. Из доказанпого вы)не утверждения вытекает и другая форма необходимых условий локального экстремума: если сХ)уннцссл и — )(ЛХ) дсссХЛ1)ерсснцссрдеми в и)вине ЛХо и изсесессс в >ссиис сионист локально)и, вне)врез)ум, твв дссффс)рссн; циил.
с)а)~ми эттсвб сХ)утснцсссс в стсоике Мо ривеп нулю тоисс)дестветто относительно дс)Янрессциигсс)в незивисимых иеременных Йхзт. дог,..., дх,„,. В самом деле, поскольку о84 Г:1. 11 Эт ПКПИИ НИСКОЛЬКНХ ПИРИМКННЫХ Для фслрм)оплрслвклл достаточных условий локального экстрсл— мума нам понадобятся некоторые сведения нз теории квадратичных форм, которые мы для удобства читателя приводим ниже ).
Квадратичная форма относительно переменных 6.1, 62, ... ; 6т т т Ф(61, 62...., 6„п) = ~~с ~~с а,с.йлйь (14. 71) яазывается п о л о ж и т е л ь н о о и р е д е л е и н о й (отрицательно определенной), еглидля любых значений 61, 62.. 6п,, одновременно не равных нулю, эта форма принимает строго псьтожительньле (строго отрицательные) зпа сепия Квадратичная 111ормгл (14.71) лгазывается з п а к о о п р е д ел е н н о й, если она является либо пололсительно определенной, либо отрицательно определеннолл. Квадратичная форма (14.71) называется з н а к о и е р ем е н н о й, если она припп:чает как строго положительные, так и строго отрицательные зна гения.
Квесдрати*план форма (14.71) ~аз~~ае~с~ к в а з и з н а к оо и р е д е л с н н ой, если она принимает либо тольлсо неотрицательные..плбо только неположительные значения,но при этом обращается в нуль для значений 61. 62, ..., 6по одновременно не равных нулю.
Сформулируем так называемый «сритслйппй Спльслеспс)т знакоопределенностн квадратичной формы ). Назовем .мапцлпссе11 каас)7лапспчпос1 форлсьс (14.71) следуюплунл матрицу: сп1 а12 а1т с121 а22 ... 122т (14. 72) Слгвл Слт2 ° ° Сгтп~ Если все элементы матрицы А удовлетворянлт условию агй = алл (1 = — 1, 2,..., ПС4 6 = 1, 2,..., ЛГ1), ГО уКаэалщая Матраца называется с: и м м е т р и ч н о й. 1с гс Вс:е приводимые здегь определения и узвержденпя можно найзи, например, в книге: Ильин В.А.. Позняк Э.П Линейная алгебра. — Хлл Наука, 1978. ") Дж. Сильвестр — английский математик (1814-1897). локальный нкстнимьм 535 Нааствеьт ! л а в н ы и и ь! и н о р а 31 и снмхютри !ной матрицы (14.72) следуюн!ие определители: йт! й12 ас;! й21 й22 й23 тс31 сл32 тс33 а!! й!2 2 ал ! агг Ас =а!,, и! 1 а12 ° ° СЛ1т а21 а22 ...
агт Атсс = ат! Ссасг ' ' ' асили Критерии С!тл!ьвесттртт фстрь!улируетси в виде сь!ад!кинах двух утверждений: 1'. Для итого чпсобьс, квйд?инни'исая форми (14.71) с силслстнйртнисст .мапйтцсй (14.72) являлась тсолкистлпсстльтсо сирс!деленной, необходтсмо и доспситочтсо. чпсобьс все глйатаые ми!сары матрицы (14.72) бьсли ттолоьчтсспселтсы, т. е, 'пйобьс были стс)хлввдливы нероьвенстна А1) О, Аг ) О, ..., Ап, ) О. 2'. Для, того чтобы каидралттчтсая форма (14.71) с симмет,— рссчтсой матрицсй (14.72) явтлялась опсрицительссо определенной, тсеобходимо и дослсйсйочтсо, чтнобы зтсикп глав!!ах миноров митртлцы (14.72) чередовались, пртсчем зтсик А! бьсл отйрицаснслен, т,. е.
'пнобы бьыя, стс)лссведлтлвьс не?хсвеистнй Ас <О; Аг>0 Аз<0; А!>О, Тенстрь мы подготовлены к тому, чтобы сформулировать и доказать теорему, устанавливаюшукс достаточные ус!повии локального вист))емума. Теорема 14.16. Пуспсь фуиьция т, тсерелстсиые и = Х(л)Х) = ф(тс, х2,..., х„ь) один раз д!лфффферетсцтл?стрел!а, в тсекопсорой о о с отресансости точки ЛХа(хс, хг,.... хи) и два риза, дифференцируема в самой точке ЛХа. Пус!тнтч кроме тпого, т!!очка ЛХа являет; ся тйо'чкой возлахлтнииго экстремума, футскцьис и = ф(М)„ттс. е.
дтл(чть = О. Тогда, если тиарой даффе)теисцнал (14.69)т (14.70) тсрттдспсссвляетсс собой, полозы!тселлисо определсиисун! (отйрьилитнельно а!Оседав!гипсу!о) кссслд?тссттстс~стсуто фтл)сму слтн псс?темесстаыа! дхт, Йхт...., дхи,. псо функция тл = Х(М) тс.,с!ест в точь е Мв ,ссоксласьтсьстй лс!стс!смум (линк!льный лсйкснлц)м). Балт! отсе в!по?сои днфференптлал (14.69), (14.?0) представляет с!обой знакоперемтс ную каадрапначнуто форму, та футскцпя и = Х (М) ссе тл лсстслттс локального зкстрелсуми в точке ЛХв. 536 Г:1. 1! Эь НКНИИ НКСКОЛЬКИХ НИРИМИННЫХ До к а,з В тель г: т В о. Докажггм снюгала нерву к! часть теоремы, предпо,,ищая, ради определенности, что второй дифференциал !14.69), (14.70) представляет собой положительно определеннУк! кваДРатичнУю фоРмУ от пеРеменных ггх! „?1т;2...., г)х,н.
Докажет?, что в этом случае функция и = Х !М) имеет в точке ЛХо локальный минимум. Р?гзг?ожив! функции! и =- Х(М) в окрестности точки Мо по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано, беря в этой формуле и, = 2 !). 31ы получим при этом, что Х(ЛХ) — Х(Мо) = гЬ! + —, г12гг/ + г)(рз)„(11.73) 5?о 2 ! ?Ио причем в равенстве (14.73) дифференциалы г)хь пг!ров!генных:гы входящие в выражения для гХгг!5!о и гХ гг!5?гг, равны г:оответствую- 2, щим приращениям (хь — гх!г) этих переменных, а величина р равна Р = (Сйх! )2 + (ГХхз)2 +... + (г)хн,)2 = (14. 74) По угловик! теоремы точка Мо является точкой возможного экстремума.
Поэтому на основании результатов предыдущего пункта гггг(,!хо = О. Учитывая это равенство и полагая в выраже- о ниях (14.69), !14.70) для второго дифференциала ?Ххв = хь — хы мы придадим формуле Тейлора (14.73) гледукгщий вид: ггг Х(ЛХ) — / (Мо) = — гг ~ гггь1хг — хг)(хв — хь) + г?1Х! ). (14.76) г=! ь=! Достаточно доказатьг что для всех достаточно малых р правая часть !14.76) положительна. !Это и будет означать, что в достаточно малой окрестности то гки Мо разность / (М) — Х(Мо) положительна, т.
е. функция и = Х(ЛХ) имеет в точке ЛХе локальный минимум.) Положим 6, = " '. где г' = 1. 2,..., ги. Тогда пз выражения гг (14.74! !для р вытекают следующие соотношения: !гг, ~ ( 1г Ь.! + Хг~ ~+... + гг„'в = 1. (14.76) ') Доги функпии и = Х?ЛХ) выполнены при и = 2 все уг нгвпи теоремы 14.15* (ем. и. 4 2 5 атон главы). локальный экстгнммм 537 С помощью введенных обозначений равенство (14.75) )н)жет быть пс".~)спнссг)нс) в вид); ггг и Х(ЛХ) — Х(ЛХО) = ~ ) )г слг)г)1)ЬЬ + о(Рэ).
(14.75~) г=) й — 1 Отношение —, представляет собой бесконешо малун) при и(Л') л)г Р— ) 0 (ИЛП1 ПрИ М вЂ” ) ЛХВ) С()уи)СЦИН)г КОтору1О МЫ ОООИ1а'1ИЫ Ст(р). Введение этой функции псювсняет иам записать равенс:тво о(р ) = р .сг(р), с: поъющью которого мы придадим соотношении) (14.75") вид: гп т Л (М) — У(ЛХО) = Р ~ 2 „)' оглйгЬ)г + с)(Р) . (14.?з ) г=-1 лг.=! Теперь уже нетрудно доказать, что правая часть (14.75"") является положи)в.льной д,)я всех достаточно малых р. Квадрига нг тичная форма Ф = 2 2 агьЬэЬИ предс:тавляет с:обой функцию, г=) Ь-.) определенную и непрерывную на поверхности единичной сферы (14.76), представлян)щей собой замкнутое и ограниченное множессво.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
