Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 113
Текст из файла (страница 113)
По второй леореме Вейерштрасса (см. теорему 14.7 из и. 2 ~ 3 лл. 14) эта функция достигает на указанном множестве своей точной нижней грани р, причем из положительной определенности квадратичной формы (14.71) и из тся.о, что Ь), Ьэ,..., Ь.,„„удовлетворянпцис соотношении) (14.76), не равны одновременно нулю, вытекает, что указанная точная нижняя граньлл строго положительна. Так как бесконечно малая при р — э 0 функция ст(р) при всех достггочно малых р улов.летворяет псгравенпгву (а(р)! ( р., то вс:я ьй)авая часть (14.75) явллнт)с:я полложити;)ьной ьй)и вс:с;х достаточно малых р, т.
е. Ири всех ЛХ, достаточно близких к ЛХш Это и означал)т, сто функция и = 7(ЛХ) имеет в точке Мо локальный минимум. Совершенно апа.югично доказывагиац и о в случае, когда второй дифференциал (14.69)г (14.?О) представляет собой отрицательно определепнун) квадрати шук) форму, функция и = /(М) имеет в точкс Мо локальный максимум. Докажем теперь вторун) часть теоремы, т. е. докажем, что в случае, когда второй дифференциал (14.69)г (14.70) представляет собой знакопеременную квадратичнун) форму, функция гл = Х (М) не имеет локального экстремума в точке ЛХО.
Прс"жде всего установим сщедуни|н",е вспомогательное свойство знакопеременной квадрати )ной формы (14.71). бг38 ех нкнии нкскольких пквитиинных гл. гг Если кгвагтХкгттгглчггггя фо1глго. Ф(6г,бя....,6о,) ггггггкгггтгеХгеягегггггг„тгго ггггг1дУтггггл ггвгг совокдтипостнп птейетиегигыи (6г. 6гз,... г 6г„,) и (Уг,г',тгз,....,6,„) квакве, "гтпо (6г )я + (6г )3 + + (6г )2 1 (6в)т + (6в)2 + + () и )з (14. 77) пргг нети ф(6' 6'. „...,6', ) > О, Ф()гг',)г'.,',...,6ггг) < О.
(14.78) В сггхгггкг деле. в силу определения знакопеременной квадратичной формы найду гся две совокупности аргументов (Йг, 1~я,..., 1'„г) и (г г', 1~з...., Х~~гг)., состоящие из чисел. одновременно пе равных нулнг, и такие, что Ф(1г,1з,....Хггг) > О, Ф(1г',1з,...,Хгв) < О. (14.79) Положив 'гг (14.80) и учитывая, что из определения (14.71) квадратичной формы сразу же вытекает, что мы получим (в силу (14.79)) перавопства (14.78), причем из соотношений (14.80) сразу же вытекакгт равенства (14.77).
Вспомогательное свойство знакопеременной квадратичной формы доказано. Возв1гатимся тепе1гь к дггггагггтелы:тв1 вто1гой чж:тя тегйгемы. Зафиксируем две совокупности переменных (1гг.lгз,...,й„,) и (6",, 6!~, .... )г.,",в), удовлетворякгшие гхготношениям (14.77) и (14.78), и докажем, что для любого р > 0 найдутся две точки М (2'глвя' ' ' ' 'и ) и ЛХ (2г;'та' ' ' ' "тч ) ггРОст1гаггствгг Ь такие, что р(М',ЛХо) = р(ЛХ",ЛХо) = р, причем ' = Ь,'„' ' = 1г," для всех г = 1, 2г..., тгг.
(14.81) р р В самом деле. положив для лкгбого р > 0 и для каждого номера г (г =- 1,2,...,ти) локальный экстгь>ммм 539 мы удовлетворим соотношениям (14.81), причем в силу равенств (14.77) будут справедливы равенства: р(М'.,Мо) = =Р Р(М ° Мо) = Теперь уже нетрудно убедиться в том, что для <мучая, когда второй дифференциал (14,69), (14.70) представляет собой знакопеременную квадратичнук> форму, функция и =- Х (ЛХ) не имеет экстремума в точке ЛХо, Записывая для функции и = Х (ЛХ) разложение в окрестности точки ЛХо по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пенно и беря это разложение в указанных выше точках ЛХ' и ЯХ", мы получим вместо (14,75) следук»цие два разложения; гп чп У(ЛХ') — У(Мо) = — ~~,,) оаь(х',— х>)(хь — ха) + о(ро).
(14.82) '=> в=> Х(ЛХо) — ДМ>>) = — ~ ) а,в(х" ,— х,)(х," — х») + о(ро), (14.83) ',=> в=> справедливые для всех достаточно малых р ) О. Подставляя в э>и раз>>ожени>> значения (х.— х>) и (х — х>) из равенств (14.81) и учитывая, что о(ро) = ре о(р), где >т(р) — > О при р -а О, мы придадим разложениям (14.82) н (14.83) следуюший внд; >а т У(М ) — Х(Мо) = рз > ~~> ~~ о,ь1>',Ььь+ (р) »= ь=! ап ш Х(ЛХ ) Х(Мо>) Р— 'у 'у' н>ь1>,1>ь Ь»(р) ,=.> в=> По>ледние два соотношения можно также переписать в виде: У(М ) — У(ЛХо) = Р ~-Ф(Ь',,Ьо,...,Ь,'„,) +»(р)~), (14 82") .> ( ) '~( о) Х> (2Ф(Ь>. Ьо,....
Ь и) + >т(Р)1. (14 83 ) 540 г:!. >! эь >>кции нискольких пивиминных У >итывая соотношения (14.78) и тот факт, гго вели тины Ф(6',, 6>~,..., 6'„,) > 0 и Ф(6,",, 6!'...., 6",в) < 0 не зависят от р и вспоминая, '>то р = р(ЛХ, ЛХо) = р(Мв, ЛХо),;>ы пол1">ит! и:! соотношений (14.82") и (14.83"), что для как у! одно ъ>свпюо р > 0 справедливы неравенства ) (М') > ( (Мо) и Х (ЛХ") < Х (ЛХо), которые и доказыван>т отсутствие экстремума в точке ЛХо.
Теорема 14.16 полноетью дока>ана. 3 а м е ч а н и е 1. Если второй дифференциал два раза дифференцируемой в данной точке возможного эк>>тремума ЛХв функции и = /'(М) представляет собой в этой то >кс квазизнакоопрсдсленнук> квадратичну>о >1>о1»>у, то нельзя сказать ничего определенного о наличии >>лп отсутствии в этой ~~яке .лоха.;>ьного экстремума. Так. например, у каждой из двух функций и! =- к! + й и из = к + д второй ди!)>ференциш в точке возъюжного экстремума ЛХв(0, 0) тождественно равен нули> (т. е. представляет собой квазизнакоопределенпук> квадрати шук> форму), но только одна вторая из указа>шых двух функций имеет в этой точке локальный экстремум. Для репи'ния вопроса о локальном экстремуме для случая, когда второй дифференциал представляет собой квазизнакоопределенную квадрати шую форму.
следует привлечь дифференциалы более высоких порядков, по это выходит за рамки данного курса. 3 а м е ч а н и е 2. Требование дз>>(,>>„> 0 (соопгветстветю дап(г! < О) лвллстпе>я необкодпл>ым условием лок>>лая>ого ма>тщм>! (максимума) в точке ЛХв двиоюды д>>ф>)>е>реиц>>рйемой в вп>о>! >>>очке ф>~пк>1пп, и = Х(М). В самом деле, пусть, ради определенности. н= Х(ЛХ) имеет в точке ЛХо локальный минимум, но у! п>вне е! и),>>„> 0 не выполнено. Тогда найдутся 6>, 6з,..., 6в, такие, что еп д >>~>»>, — е ~ . (ЛХв)6>Ь! < О. г=! ь=! о а о Расе:мо>рит! е)>> нкцик> Хг(1) —.. /'(л! + )6>, кя + Иа>...., л„+ И>»>), :>аведомо определеннук> >0>и веех 1, д~с~а~оч~о ма~ы~ по модули>, Функция Р(Е) обязана иметь локальный минимум в точке 8 = О, чему противоречит условие Г (0) = >1в>>~л!» < О.
8. Случай функции двух переменных. На практике часто встречается задача об экстремуме функции двух перемен- локлльный нкстримьм нык и =- Х[х, у). В этом пункте мы приведем результаты, относягниеся к этому случаи!. ди дп ди Обозначим частные производные ...—, в некоторой дс' деду дсте о точке ЛХо[х, у) символами ос!, а!2, сл22 соответс хи~~но. Сп))а!неллино сыедунпцее у т в е р ж д е н и е. Пус!тптс фусскция двух тснйи:мьчигых и = ф(стл у) од!и! рсэ„! дифо фе1ссстсцтсртуелссс в окрссстсстсс!сост! тпо'ски ЛХо[х, у) и, два раза дифферетгцируема в салат, тиссчке ЛХо и тс((стгсь ЛХо являетпся тпочкои возмог!от!ого экстремума.
Тогдсс, если в тпочке Ме вы!тол!!се!со Усссовтсе а))ахс — а!2 ) О, тпо фртскт(тсл и = 1[х, 11) ил!с!сто, в э!!сои 2 тпосчке лакал ьивсй экстпрсмум [мссксслмум артс сц) < 0 и минимум прсс, ис! ) 0). Если эне в и!очке Мо о! !а22 — а!22 < О, тпо фуикцтса и =-. 1(х, у) ие имеет в этой спичке локаатлсого экстпрелп(ми ). Д о к а з а т е л ь с: т в о. Сгйтаведливость перес!й части сформулированного утверждения непосредственно вытекает из теоремы 14А6 и критерия Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы, ибо а! ! сл!2 = а! ! а 22 — а! 2. С!21 С!22 А) = 1111 А2 — у — эс Л! = — ', Л2=— (т р получим сдеду!опгее выралсепие для второго дифференциала: 2 2 й !с[ма = р ~ ~ ас11)с1св = р [а)!Ьч + 2(п211!1)2+ а22112) = т=! 1=1 (т 2 = — [[(11!111+а!2112) + [а)1а22 — а!2)1!21. 2 2 а,сс Легко проверить, что при 111 = 1, Ьг = О и при 11! = асс +ест Ьа = ) дифференциал (Х и[ага )ла!ее! разные знаки, аы 2, тсгасс + ост с Случай асса е — а,с = () требует дополнительного стссчестованстст.
тс ) При этом р может быть как угодно малой величиной. Ус:вовне )с, -(- Б,, = т 2 =- 1 выполнено. Докажем втс!1!усс) чадить у тве()ждени)1. Итак, !!усть в точке Мо справедливо неравенство а! !а22 — аг!2 < О. докажем. что в этом случае второй дифс[!еренциад йг и в точке ЛХ(! предо тавляет собой з н а к о и е р е м е н н у н! форму. Рассмотрим сначала слу тай а(! Ф О.
Используя введенные вылив обозначения 542 гл. 11 эь нкннн нксколькнх нкгкмкнных т. е. является знакопеременной формой, и поэтому, согласно теореме 14.16, функция не имеет в точке ЛХа локального экстремума. рассмотрим теперь случай ан = О. Тогда из у<ливия гн гавэ— — а~гз < 0 вытекает„что и1в ф О. Следовательно, из написанного виню выражения для гРи! гг„получится гХ помо р 172(2н121Н + сс2262).
а 2 (14. 84) Пусть 61 ф- 0 и величина 6в столь мана (из условия 621+ 6~ ~= 1 следует. что такой выбор 61 и 6: возможен), что выражение (2а1в6~ +ивв6в) сохраняет знак величины 2а1:Ьь Тогда из формУлы (14.84) вьггекает, гго с(ви)аг, имеет Разные знаки пРи 6. > 0 и 6э < О, т. е, функция и = Х (х, й) не имеет локального экстремума в точке йХе.
Утверждение полнгх тьк> доказано. 4. Примеры исследования функции на экстремум. 1) Найти точки локального экстремума функции гп переменных и =- Лх~ +хз+ ... + х,„+ 2хз+... + 2хп,, (1485) где Л -. отличное от нуля ве1пественное число. Для отыскания точек возможного экстремума пгыучаем гыедукпцие у1)авнения: = 2Лх~ = О. = 2хв + 2 = О, ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
