Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 114
Текст из файла (страница 114)
„' — 2х,„, + 2 = О. дх1 дх2 дх ™ (14.86) Пз уравнений (14.86) заключаем, что единственной точкой возможного экстремума является точка Ма(0, — 1,..., — 1). Чтобы исследовать функции> (14.85) в этой точке Ма с помогпыо достато тных условий экстремума, вычислим второй дифференциал Х и~гуа — — 2Л(дх1) + 2(Ххв) +... + 2(сКх,,а) . (14.87) Очевидно. что при Л ) 0 все значения второго дифференциала (14.87) при гХхы дхв.....
с~х„„одновременно не равных нулкн являкнся строп> положительными. т, е, при Л ) 0 второй дифференциал (14.87) представляет собой положительно определеннук> квадратичпук> форму. Поэтому при Л > 0 функция (14.85) имеет в точке ЛХо(0, — 1,..., — 1) лока. и ный минимум. При Л < 0 второй дифференциал (14.87) положителен при с(х1 = О, .... г1х и 1 — — О, г(х„, = 1 и отрицателен при г(х1 = 1, г(хэ .= О, ..., г(х„, =- О.
Это означает, что при Л < 0 второй дифференциал (14.87) представляет собой знакопеременпую квадратичную форму. Поэтому при Л < 0 функция (14.85) не имеет в точке ЛХе(0, — 1,.... — 1) локального экстремума. Ь' 7 ГГАДИЕН'!'НЫЙ Ь!ЕТОД НОИСКА ЭКСТ!'ЕМУМЛ 543 2) На, плоскости даны н то гек Мь (ив г Ьь), Л = 1, 2.... г |г, в которых сосредоточены массы гггь > О. Требуется найти на этой плоскости точку ЛХО(хагйО) такую, относительно которой момент инерции указюшой системы материальных точек является: |иннмальным.
Так как хюмент инерции указанной системы материальных точек относптелыю точки ЛХ(х, у) равен и Х(х, 'г!) = 7 'гггь[(х — ггь) + (9 — Ьь ) (14.88) ь=.! то задача сводится к отыскашпо точки МО(хаг де)г в которой функция (!4.88) достигает оно|его минимального:значения. 1.,гя отыскания точек возможного экстремума функции (14.88) получаем следукпцие уравнения: и и — =. 2~~| ть(х — ггь) = О, — = 2 ~шь(9 — Ьь) = О. (14.83) д1 д1 дх дя Ь=! Ь=-! Из уравнений (14.89) заключаем, что единственной точкой вггзмогкноггг экстр|*мума функции (14.88) является точка '!ХО(ха, ЦО), координаты которой равны ггггаг -!-тгаг -!-...
-!- т„а„пг|Ь, -!- тгЬ„+ ... -!- т„Ь„ хО = РО т| -!-нгг-!- ... +т„г ' пгг -!- тг-|- ... -!-т„ (14.90) а д|1 т — г д|1 д"1 Так как а|! =,, = 2 ~ шь > О, <л|я = „= О, гггг = —, дхг дхдй ' дуг а Ь вЂ” ! я = 2 7 |ггв > О, то а||иве — и|я > О. и согласно утвержденшо, Ь=-! доказанному в п.
3, функция (14.88) имеет:юкальный минимум в точке ЛХО(хО, уе) с координатами (14.90). Легко убедиться, что значение Х(хг 9) в этой точке ЯвлЯетсЯ минихпшьным. Заметим в заклк|чсние, что формулы (14.90) опрсделян|т координаты центра тяжести рассматриваемой системы материалы|ых точек. 9 7. Градиентный метод поиска экстремума сильно выпуклой функции В этом параграг(гс излагается теория широко применяемого на практике градиентного метода поиска экстремума сильно выпуклой функции.
Идея этого метода чрезвычайно проста. Для приближенного отыскания точки минимума функции т переменных используется тот факт, что градиент этой функции имеет направление, совпадакпцес с направлением наибольшего возрастания й44 Г:1. 1! эь икции икскольких пигкмкниых этой функции. Стало быть, вектор — йг?1() «'(ха) в каждой точке а О а Э'О: (Х|, Хт,.... и и) ННП1)ЗВЛРН В СТ01)ону НЙИО(ШЬШ( ГО уОЫВН ния функции «(х) = «(х(, Х2,..., х„,). Это дает основание ожидать, что ести., отправляясь от некоторого нулевого приближспия (со = (э;|,ээ?,,,.,х„,), мы пост1)о(1)л т(-е (ц)1(ближ()ние хь ь ь ь = (х|дс2,..., х ) по рекуррентной формуле : ь?1 = ь — й в~«(хь), то при достаточно мало?(положительном о последовательность точек (хь~ со|лдется к точке минимума функции т(х).
Строгой реяли:)анин этой простой идои и посвящен пастоящи!л нщ)?нй)в(1). 1. Выпуклые множества и выпуклые функции. Пусть ! 2 Х! = (Х|„Х2,..., (1)п>) И Х? = (Х|„Х2„... „Хт) ДВЕ ТОЧКИ тпмерного евклидовапространства Е"', которые мы можем рассматривать квк векторы в Ет с соответствуюп|ими координатами. Нвзовем О т 1) (1 !'3 к О и, со('.Диня!Оп|им тОчки х| !л х2, множество точек пространства Ет вида (г| +1(Х2 — х!), где 4 . любое число из сегмента О < 1 < 1. Будем обозначать отрезок, соединяющий точки х| и х?, симВОЧОВ1 .1:!(72.
Определение 1. Мнаэкесп)ва (~ тпачек праспърянства, Е'" нвэываепия в ь! и, у к л ы м, если ана абладаеп), след(|та(йил( свайствал(1 каковы бы ни были две. точки х| и х, принадле; жалцие мнаэн есп)ву с(>, атпреэак х!.с?. их саединяюший, также т!ринвдлсжит э!пажу мнагисеств у. Примером выпуклого множества в пространстве Е"' может служи|в 771-ь!ейный и!?11) (без1)аз.!ичио, о!крыты)! !|ли з?)мкнутый) |лли полупрострвнство х„(> ) О (т. е. множество всех точек (х|, (г,..., Хп,) и1)остр?н!Ств?1 Е~, пмя координата которых удовлетворяет условию х, ) О). Примером множества (>>, не явл)пощегося выпуклым. может служить дополнение т;мерного шара или и(;мерный шар, из которого удалена хотя бы одна точка. Пусть с) - некоторое множество точек пространства Е">, В (г, любая фиксированная точка этого пространства.
ННЗОВ()м 1) в с с т О я и и е ь! 01' тОчки х дО множества точную нижнюю грань расстояний от точки х до всевозможных точек этого множес|ва. БЛСТ(лтл Обо:Лнв шть 1>ас(тонн|И( От точки х до множеств?! О символом р(х, О). ГГЛДИЕНТНЫЙ МЕТОД ПОИСКЛ ЭКСТ1'ЕМУМЛ 545 ! 7 Итак, по определению Р(Х, сь)) = >П! Р(Х,У). уеС> Для любого множества Я> пространства Е'и и л>обой точки >г, этого щ>остранства существует расстояние р(х,1,>) '). В частности, если точка х принадлежит множеству С), то р(х, С>) = О. Однако у множества б> нс вс1>гда существует точка у такая, что р(х, у) = р(х, б,>). Т>к, например, если множество Ц представляет о т к р ыт ы Й >п-М1)>ный шч>, а х точка Рвт, лежащая вне этого шара, то у такого множества бь> не существует точки у такой, что р(х.
у) = р(:г, !ь>) (ибо для всех точек у открытого пира сь> справед,шво неравенство р(х, у) ) р(х, ф), Если все же у множес>ва б> существует точка у такая, что р(х„у) = р(х„б,>), то эта точка у называется п р о е к ц и е й точки т, на множество С>. Проекцию точки х на множество б> буд1>м обозначать символом Рг)(х). Подчеркнем. что если точка х принадлежит множеству б,), то Рг>(х) = х. Итак. проекция Рг>(х) точки х> на множество бь) ощ>сделается соотношением р(х, Рд(х>)) = р(х, б>) = !пГ р(х, у). веО Поле:зно отметить, что может существовать несколько проекций точки х на множество Сь>.
Так, например, если (,> — гп-мерная сфера с центром в то 1ке:в, то:побая точка б,> яв:шется проекцией точки х на множество б,). Справ>>д:п>ва, однако, сп>ду>оп)1>я ~с~~а. Лемма 1. Если мноо>сесп>во б~ п)>остринствв.
Е" является въ!пухли>м и замкнугиым. и, х лн>бвя то>ки, Е™, пъо гуп!еспп>уеп> и г>)и>твом едпысгавеннт>я, проекция точки х ни мнотсе; сп>во !ь> .х о к а з и т е .л ь с т в о. Сначала докажем существование х О т я б ы о д» о Й проекции то.>ки х на впюж1>ство бь>. Обозначим р(:и, бь>) )>асстояние От точки х до множества ьс ПО определению р(х, с)) как точной нижней грани >п) р(х,у) най- веО дется последовательность (ут>Т точек множества !ь> такая, что р(х,. у„) — > р(х, с>).
По определени>о предела числовой последовательности для л1Обого е ) О все элев1тг1ы !1/н, начинен с н>.ко10РОго 1п>м>й>а ') Ибо множество р(х, у) для всевозможных у, иринадлежан>их ьг', всегда ограничено снизу (на>>ример, час юм нуль). 18 В.Л. Ияьпн, Э.Г.
Позняк, часть 1 646 ФУНКНИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Г:!. 11 удовлетворяют соотнопн<нию Р(/г. С/) — е ( Р(хх уа) ( Р~,:Г,С/) + е. Ото!ода с"!сдует, что поссчедовательность (у„) точек пространства Е'"' во всяком случае является ограниченной и потому в силу теор<!мы Больпан<1. Вейерштрасса (см. и. 2 '2' 2 гл. 11) из этой НОследовательнос"гн можно Выд<пп!'гь сходни<у!Ося поднесл<'.довательность (уь„), где н, =- 1,2....
Обозначим через у предел подпоследовательности (!/У„). В силу замкнутости множества С</ точка д принадлежит этому множеству. Остается доказать, что Р(<с., у) = Р(;е, С!) = 1пп Р(х, уь„). <<.>ж Р(Х; ) < Р(Х д<) — Р(" уг) (14.91) очевидно. Докажем теперь неравенство (14.91) в случае, когда ф. У! + У! ф х. Заметим, !то в силу неравенств треугольника р(х,у/и) ( < Р(х, У) + Р(д, У/ „) и Р(х, У) < Р(х, Уь„, ) + Р(дь,. У) спРаведливо соотношение Ц!(/г. уь„) — Р(х, !у) ! ( Р(у. Ув,). Из этого соотношения н из сходимости подпоследовательности )уу„) к у вытекает, что 1<ш (х, уь„) = Р(х, у), т.
е. Р(х, С/) = Р(х. у) . п эьь Тем самым дока:!ательство сун<ествования хотя оы Одной проекции то !ки х на множество Я завершено. Докажем <еперьн что существует 1 о л ь к о о д н а проекция точки х на множество С,). Предположим, что су!цествуют две р а з л и ч и ы е проекции у< и у точки х на множество ф 1ак как множество С! является выпуклым, то весь отрезок у<у/, соединяющий точки у< н Уз, принадлежит множеству С,/.
В част!</! + У' ности, множеству С! принадлежит середина ' ' указанного 2 /' У! -Г!/ 1 отрезка. Ъ</едпмс<1 в том, что расе!полипе р(х, ' ) от тс/ч- 2 ки х до ука/занной середины отрезки у<у/ строго меньше. !У<се!полнил Р(х„ //<) = Р(х, Уг). Иск/почим из рассмотрения тривиальный случай, когда У! -1- !/г...,, /, У! -~- У '1 =:г. В этом случае р(х., ~ ) = О., в то время как 2 " (, ' 2 р(х.у<) = р(:е,уг) ) О, ибо ш!ачс (т.
е. в слу пю равенства //(х, !/1) = Р(<е~ уз) — 0) 00<! точки у< и уг совпада,1и Оы с х и ш. У! + Уь могли оыть различными. Итак, в тривиалывзм с"!учае ' = х перав<"нство 2 17 и лдиннтный митод ноискл нкстрнмь мл 547 Используя свойства скалярного произведения двух векторов 1Ц)ОСТРННСтиа Ел' '), МЫ ПОЛУЧИМ СОО1НОШЕННЕ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
