Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 110
Текст из файла (страница 110)
дх), дх) =. дх,..., 6х„, = дх,. а20 еь икиии инскольких пивнмниных ГЛ. 1! гп г)2!! = й1(11!) а — — Б гг — ()хь и=! п)г,„— г|.г, 6:гг=г(хг, 6х„, — —. ((4 „, —:."~дх 'х1 г>г „-',.1'" "(дх) й=! В=1 Ы,„= г(.» гп гп гг" г|(.„|)~,, =~' (*,~,г (г")г;;~ в =1 г=! ~г)г:„,- (|4, 6:гг =- г(г',г 4>:„, = ((4, | а с пг гп (1.х, (Ьь ь=!| ! пг гп =,'> '~',"; )хгахв В=1 г= (14.43) 1;(4ы воспользовались е|це и тем, что для два раза диффер(нцируе|и>й функции смешанные производные второго порядка ш. заВисят От ТОГО, В какой по(ш(|дОВйт(л!.ности щ>оизВодится >ти()>- ференцированпе.) Итак.
мы получаем. что в случае, когда аргументы х|,.!Тг... „х,п явля!Отея н(.зйвисимык|и перемепнымн, для Второго дифференциала два раза дифференцируемой в данной точке фУнкЦии а = ~(х>, хег... г х,„) спРавеДливо НРеДставление: гп гп (1 и =- ~> ~ (Х:|:,()хы !14.44) г=1 й=! ВетстВук>щ(1(! число раз диф()>е1>енцируеыыа!и ()>ункциями неко- тОРЫХ НЕЗаВИСИ Ъ|ЫХ ПЕРСМЕННЫХ !!. йв, .., г $В, Рй(>СЫОГРИК! Спйзйдй !ТЕРВЫИ ( !УЧйй|, Е( !Н (Х> г (ГЗ...., Хг(г Яв- ляются н е з а В и с и и ы и и переменными„то к|ы и>|ее: ! щ>ВВО СЧИтатЬ, ЧтО (1Х!г(|(ГВ,... г(1Хг НЕ ЗаВИСят От Х|,Хег...,(Г,„. кажды!1 дифференциал ()ху, мы можем взять равным одному П ТОК|у жс Прирйш(|НИК> ЬХВ ДЛЯ ВСЕХ СОЧЕН М((Х>,.!Вг ...Д(|ггг). При зток| мы получнмг что 4()х,.) = ~ ~1"х|)йх, = О.
дх, г=! Посчеднее соотношение и правила дифференцирования, уста- новленны(! в конце п. 5 ~ 4, позволя|от пах| записать для дВВ раза диф()>ере|щируемОй В д>шной точке >г| ()>ункции и = Г1х! г хе,,, ., х|п) ((ледук>шу|о цепочку равенств: 521 3 ам с ч а н и е 1. Функция т переменных 11,12,...,1т), вида и) (п ф = 2 2; а(Е(ч(Ь, Гдс апь — НОСтаяННЫЕ ВсщсетВЕННЫС ЧИСЛа,, (=! !.— ! наз!1Вается к В а д р а т и '1 е1 О Й ()) О р м О Й От п(11юмее!ных 1(. Й,,,,, Есг), а ЧИСЛа аьь ЕЕ КОЭффИЦИЕНтаМИ. Кв)тдратиче!В)1 с))орма е!Взывается симметричной.
(1(.ЕВ ее ко- эффициенты УдовлствоРЯют Условию а,е = аы 1длЯ всех ! = = 1. 2,.... т: lс = 1, 2,..., Ис), Полученное нах!и выражение 114.44) позволяет утверждать, ч'го ДлЯ щг)' 1ВЯ, когДа а1ИУЕ!енть! х(1, сгг,.... хсп е!ВЛЯк)тсЯ независимыми переменными, второй дифференциал два ра- за ди(1)(1)ерснпщ)уех!(н1 В дае(нОЙ точке ЛХ с))уе1кции 'и = «(х),схэ,...,хи,) представляет собой симметричную' ), квн- дратичпу!о (1)орму от первые!нных с)х), ьехэ,..., (/х„п. коэффици- енты кОтОЙОЙ раВны сООтВетстВукццим частн! 1м щ)ОизВОдным ВТОРО(О НОРЯдк1 ())Ункцни '!1 = «1х!. .'гй,...,.гсп), ВзЯтым В данной точке ЛХ.
Отметим, что п(ыученное нами выражение для дифференци- ала второго порядка 114.44) можно переписать и в другом виде, используя формальный символ (4 = (Хх! + йхэ +... + (Хх,п . (14А5) д д д С помощьк) этого символа выражснис' 114А4) может быть пе- реписано В Вид(1 (1 и = ) (Хг,! +(1хэ +... +((хп, г! и. 114.46) ПО индукции ле кс уоедиться В том, 1то В (Ету (ае. кОгд1 ц)- гУменгы х),хэ....,хгп а Раз лиф())еРенЦНРУех!ОЙ В ДВНН~Й !О !ке ЛХ(х(, хи...,:г„,) функции и = «1(г), хв,..., хгп) являются неза- висе!Мыми переменными, для а-го дифференциала этой функ- ции сщ)аВедлиВО про'и'таВл((ни(г сп и) пг ()пи = ~~ ~) ...
(( " (1х„(1хгг... с)хг„. ')' " ! '! г б=! )=1 ы=! Это представление с помощью формального символа 114.45) может быть переписано в виде (Х и = ) Ах! — +(1хг — +... +йхи,— ) и,. (14.47) д д д~п дх! ' дхг ' ' ' '' и'д.г,„ СиммЕтричность Этой квсс(ратичиой формы вытОкавт из равенс:тва 1гЕХ) =-,, 1М). с ь пгоизводпыв и диээвз иицийлы высших погядков 523 3 а и с. ч а и и е 2.
У)сажс))1 важныЙ частньш случай. Когда, второй и послсдукнцие дифференциалы функции га от псзрсмсзнных и = — ф(х), Х2,..., хга) все же обладают инвариантпос тью формы и определяются той самой формулой (14.47), что и для СЛУЧаЯ НЕ:ЗаВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ Х),Х2,...,Хнс. ЬЪДСМ ГОВОРИТЬ 1ТО ПЕРЕМСЗПНЬН', Х1,,'1)2.....;1)~п ЯВЛЯК)тСЯ л н н е Й н )1 и и 11) у н к ц и я м и нс'.завис:имых ссс;рс;мс)нных 41, 72,..., 7ы ес чи они огй)сделяются равенствами х, = а;о+ с),)41+а,242+... + а,гав (с = 1.2,....т), в котоРых чеРс з а;о, а,),..., аси обозначены некотоРые постоанные.
ЗаМЕтИМ. Чта ССЛН фУНИЦПЯ Н = Х(Х1. Х2,....Хга) ЯНЛЯЕтся 'и 7ин с)7)ффс7)с)111717)1/емосс е с)аниса п1очис' ЛХ(х), х2., т,п), а сс сй)аУмсз)ипы х), хв,,... хта Яйллюп) сл л)гнсйным77, фУ)си)47)Я- лис 7)евиенсилсьсх 71177)емя)с)зьсх 71,72.... ЛЫ псо 71-й ослффе7)с)71747)- ал ф77нииаа и = 7(х), Х2...., х„,) ог)7)есуеляс)гпс)я гной сисе сали)й фо7)мумий (14.47), что и с)ля случил неааепспмых переменных "' 1 °:) 2 ° ° ° ° .) ги . Чтобы убедитыя в этом, заметим, гго поскольку 41, 6),..., 477 являк)тся н е з а в и с и м ы м и ш)ременными, то и-и дифферсзнциал:г, как 11);нкций 11)гуассзнгов 41. 42,..., 7В опус)дсзляс.)ся равенством типа (14.47), а точнее равенством д )'а с)пхс = (с)74 — Р й12 — +... + с)бь — ) х,.
" йч йсэ '" ''ЙСьУ' "' Но любая пн;тная производная вылив первого порядка от линейной функции сг, равна нулн). Стало быть, 172)г) = О, с))зх, = О, ..., с))'х, = О. Равенство 112Х, = О (при всех 7 = 1,2,...,)п) и представление (14.48) днк)т право заключить, что д 7) определяется ра- 2 венством (14.46). Совершенно аналогично, используя соотнсипсния дз:с, = О...., с)вхс = О, мы по индукции докажем, что д' 71. 17: 7),....
дни Онред) Л))ЮтС я РВВС Петнпю (14 А с ) . 3 а м е ч а н и е 3. При проведении вычислений иногда )ребуетс:я расшифровать равенство (14.47) и, учитывая, что в этом равенстве имею)- си совпадая)щие члены, выписать все ралли сные члсны этого равснства со стоящими перед ними коэффициентами. Для этой це.пл может быть использована формула и о л и н о м а Е1ьютона, имеюшаявис (о -7-оэ+ .. -)-о„,)! о)!оэ!... о ! гз- (14.49) б24 Г:[.
11 Фу нкннн нисколькнх нигимннных [суммирование в правой части этой формулы идет по всем целочис;генным инлексам ат, ат..., а„„каждый из которых удовлетворяет неравенствам 0 ( а, ( и при у>ловил, что сумма всех этих индексов ат + с>2 +... + а„„ равна и) Формулу [14»49) нетрудно установить по индукции. В т:амом деле, прн ги, = 2 и при любом натуральном и эта формула заведомо справедлива, ибо опа переходит в известнуто формулу бинолта Ньютона. Предполо>киьт, что зта формула сп[>аводлива для некоторого яоьптра ш > 2 и любого натурального и» и проверим, тто в таком случае она сараведлива и для номера иг, Е 1 и любого натурального и.
Представив [ат -~-ат -'с... т а„, + а,„, ~ т)" в виде [ат + а>-Ь... Е а„„,тт)" = [[ттт + аг-~-... Е а„„) + тт„,тт)", подсчитаем с помо>ныо бинома Ньютона коэффициент при а',"аз... а„„'"а„,"т,'. В сил> равен>так ат + аг +... + с»,.тт = и. форму.— лы бинома Ньтотона и предположения о справедливости формулы 114.49) д»аи номера т, я гпобого натурального и, этот козтрт)>яциент равен ') [ат -~- а2 -~-...
Е а„,)! [ат) ° [с>2) ... та ). [ат + ат -'с .. ж а„, -~- гт„ , т )! [т»т -Ь аг -~- ... -1- а„,)! (а„,эт)г[а + а. +... + а„,). '[а )г[а )К. Да„,)[ [от ж а> а... -1. а, ж на ьт)! [ат)![ат)К .. [а„,)![а, ет)! Полученное выражение для котэ>)>фнпиента прп а»' а. -...а'„„"» а„,"тт~ в то шости совпадает с тем выражением. которое полу штся нз формулы [14.49), если в этой формуле заменить номер т на иг, -Ь 1. Инлукция завершена, и формула 114.49) доказана. Формула 114.49) дает нам право переписать выражеяие [14.47) для и-то дифференциала в сттедующем виде: г[-г>[лу) = х-, „,, „,, „Ди).И>ч)- .9422)-2.(гйг„,)--. д н 3.
Формула Тейлора для функции утзпеременных с остаточным членом в форме Лагранжа. >ты будем обозначать дифференциал )с-го порядка функции и = у '[тг>1, же,... лпи,) В [ОЧКЕ 214 символом т[ тт(м. Докажем сче;[у[от[[у[о теореъту, й и! ) Мы учитываем, что С„=, » и потому кцг> — й)! ' 1 В П1'ОИЗВОДПЫЕ И ДИФФЕРЕИЦИА:1Ы ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 525 Теорема .Ц.15. ХХрсгпгэ г»1гдэтцая и = )'(ЛХ) = Х(хг.,га,...
э ..., х,„,) видана в некоторой е-гэкресггггггэстгг ) тп гкп Л40(гс1, ь ь хг„..., хт) и и. + 1 раз диЯеренггпруелла в указанной е-окрестнгэсггггг. Тогда полное прорнийенпе гдгг, = Хэ(ЛХ) — Х (ЛХо) эггггэй гХэйнкцгги в тпо'псе ЛХ0 для любой гпюпкп Л4 ггз указанной е-окресгггносггг11 мо;ясгпп быть предспшааено в следующей дгорэме; гди = дп, + —, доп +...+ —,дрп +, грэ'и , .(14,50) прп этом ЛХ -. некоггггэрвя точка ркозинной е-окрестности, зависящая., вообще гзоворя, от, ЛХ(т:1, хо,..., хгп).
гл дгг~~нДереггцгга; лы дги переменных х,. входящих в вырггэюеэгггя дкгг) Ме гг д"е'гг/»у, ривньс Ьхг = х,— х,. Формула (14.50) называется формулой Тейлора для функции и = Х(ЛХ) с центром разложепия в точке ЛХ0, Д о к а з а т е л ь с т в о. Для сокращения записи проведем рассуждения для функции и = Х(гс. р) двух перемешгых д: и р. Предварительно запигпем в специальной форме формулу Тейлора для и + 1 раз дифферегщируемой в некоторой окрестности точки»0 функции п = г'(») одной перемеппой». напокгпизг. что формула тейлора с центром разложепия в»0 для фупкции и, .= Р'(») одной переменной имеет следующий вид (остаточный член взят в форме .1аграпжа): Е(») р (»0) + 1 (»0)(»»0) + 21р (»гг)(»»О) + ' ' ' + рр4п)(»о)(» »0)" + „ , Р "+')(»о + »»(» »о))(» »о)п 0 < о ( 1.
(14.51) Так как аргумент» является независимой переменной, го приращение гд» = » — »0 представляет собой дифференциал д» независимой переменной». Поэтому ХД')(»о)(» — »о) = »гг 1(»о)д»' = г»»г(»о) = г» эг)г ГЛп )(»о+ й(» — »о))(» — »о)' = г»" гг~геэл»г-ге) (14 52) Если мы обозначим разность Р(») — Р(»о) через сап, то. согласно (14.52), формулу Тейлора (14.51) можно:записать в следующей ) Вместо е-окрестности точки Ме можно взя гь так называемую з в е з дн у ю о к р е с т и о с т ь этой точки, когорая определяется как гикая окрестность точки ЛХе, которая вместе с каждой своей точкой М целиком содержит отрезок МьМ.
526 ээ нинин нксколькнх ннинмннных ГЛ. 77 специальной форме: Ьсс = с177 + —,с)277 +... + —,К"и +,с11в"'1и сс, 2! с„в' с„( ч- 7)! с„-,-сссс — 771 (11.53) Рассмотрим теперь в е-окрссстности точки ЛХе(хе, уе) произвольную точку ЛХ(хе+Ьх7 ус7+сху) и соединим точки Ме и ЛХ прямой лилией. Очевидно. координаты х; и у точек указаппой прямой представлл7ог собой следусо771ие усссссе71777яе Ясснк717777, попой переменной й х =-хе+1ьх., у =- уо+1ьу; (14.54) при этом координаты точек отрезка МеМ соответствуют значениям переменной Е слз сес-мента [О, 1].
Отметим, что звачешсю 1 = 0 отвечает то пса ЛХе. а зпачесппо 1 = 1 точка М. Так как по условию функция и = Х (77ь у) двух переменных х и у в рассматриваемой окрестпости точки ЛХе и, + 1 раз диффереппируема, то из формул (14.54) вытекает, что ва 771псксссй МеЛХ эта фупкция является сложной функцией перемеппой 1, (и + 1) раз дифферепцируемой по крайней мере лля всех зпачеиий 1 из сегмента (07 Ц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
