Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 105
Текст из файла (страница 105)
с1астиые производные функции нескольких переменных. Пусть точка ЛХ(трхй,.,.,х„,) является внутренней точкой области задания функцитл и = Х(:сд,,та,...,:ттв). Рассмотрим в даттттслл фиксированной точке М(хт, хэ....., х„а) отношение частного приращения Ьх,тт (см. и, 1 ~ 3, формулы (14.8) и (14.9)) к соотвен:твуюшему приращению т)т.т:тт аргумента хй, .'а„и Х(хт,х...х» т,х» -~- Ъх»,хетт.....х,) — Х(тт,х .....х, ) (14.12) Отношение (14.12) представляет собой функцтткт от Лаям определенную для всех, отличных от нуля значений ьа:сть для которых точка М(хм юг....., хтт м:сй + Ьзтохт,.
ьр..., хтв) принадлежит ооласти задания функции и Определение. Если сущсшттвусти предел оптнопгензтя (14.12) чостпного путпХЯттйенттл, Ьтчи тХтУнктттттз в точке М(хм ха...., хттт) ') Козебаниезт «: функции Х(ЛХ) на множестве (ЛХ) нсоывается разность между точной верхней и точной нижней гранями функции Х(ЛХ) на этом множестве. 498 ев пкпии нкскольких пн! нмннных ГЛ. 1! к соогллвегллсгллвдюи1егл1л! гл1ллл1ялгл1еглллло л.'г;сд в1легученпллл хд при л."лхд -э О., глллл э!поил глйледел гювьлоосгпсл ч, о с лн и о Й л, 1! олл з с! с! д н с! гл, с1кункллллллл и =- 1(хл,хз,...
лсю) сл |!!очке М по аугулленлтл1! хл, и обогллачвсгллсга однилл лы следующих симеонов! ди дт л л Таким об1лазохл — 1пп (14.13) дхл. ьхл — ло -гхл. Отметим, что частная про!!вводная фупкцлли и = 1(лсл.лсз,... ..., х„,) по аргументу хл- представляет собой обыкновенную пронзводллую функцин одной переменной я:л, при фиклчлрованных значениях остальных переменных.
Поэтому вычил.ление частных производных производится по обычным правнлам вычисления производных функций одной переменной. П р и м е р ы. а х ди у ди — х 1. и = агс1н — , — ' = дх хг + уг дд х -л- уг и = хед + 1п(х — й+ х), — = ев + ди уг 1 дх х — дэ-г ди, уг 1 ди 1 — =хге — . —, — хуе + ду х — уэ" дг ' х — у-л-г 3. о лл = 1к ллх — уг, ди х элгй — ух сояг г,лхг — уди дгл у дд 2 лслгг — ухсояг Лгг дг дг 2тллгэг — дг сояг л,лгэг — дг 3 а м е ч а н и е 1. 1Лз существования у функцилл в данной точке всех "ластных производных.
вообще говоря. не вытекает непрерывность функции в этой точке. Мы ухке убедилллсь, что функция при х +у фОл и,= 'с +У з ь у л 0 при хе+ уз — 0 не являетл:я непрерывной в то лке О(0,0) (см. пример 1' п. 1 з 3). Однако в этой то лке указанная функция имеет ластные производныс по х и 1б Это следует из того. что 1(х, 0) = 0 лл 1 (О, у) = О. и поэтому =0 и — =О. дт д~ д.
!о,о1 дд (о,о) 3 а м е ч а н и е 2. 'лЛы опр!'делили понятие ластньлх производных для внутренних точек области задан!!!! функции. ПРОИЗВОДНЫИ И Д1!ЕЕК! ИПЦИЛЛЫ Для граничных точек области задания данное нами определение !астных производных является, вообще говоря. непригодным. В частности. это связано с тем, гго в граничных точках облагти задания функции нс всегда можно вы"пилить частные приращения этой функции (так. например, обл тоит дело с грани !- ной точкой ЛХо области. изображенной на рис. 14.2). Поэтому обычно частныс производные в грани шых .го !как области задания функции определяются как предельные значения этих производных. 2.
Понятие диффереицируемости функции нескольких переменных. Напомним. что приращснн- 1'ис. 14.2 ем (или полным приращением) функции и = «(х!. хг...., и„,) в точке ЛХ(х!. хг,.... хп,), соответствующим приращениям Ьхм ЬХ2, ..., Ь;Л:т аРГУМЕНтОВ. НаЗЫВаЕтСЯ ВЫРажЕНИЕ схлл = «(х! + лд:! 1..'л.з + лмхз,.... хт + ~Уэо) «(х! ° х2 ..: ' пЭ. Определение. Фвнкцллл и = «(х!.:хг.....хт) навыввспи:и д и с«) !«л с р е н ц и р у в ли о й в данной точки 'И (х!. хг,..., х,в), вел:и ве ьоллнсж т!рнрагцвгиав в этой то гке я!ожег!! бъсть предо!павлина в вндс галл = А! л)мп! + А2Ь:льг +...
... + Асяс ~ |т + О! Ьх! + схгЬ!!2 +... + гпплдхио (14 11) аде А!. Аг..... „А„, -- неъхппорыв нл. вввисяъцив от Ьх!. лдхг.... ..., лдхэп числа, а сх!. ог...., оп, бесконечно мал!лл! нйт лах~ — э О, лххг — + О, ..., ла:лйо — пэ О л«)йннллллсл, Хлавллъи. нрлпл пртл лдх! = Л'.мл;2 = ...
= лдх,о = О. Соотношение (14.14) называется 1!лсслооллем д!лффлэреллц!!улус.иоспмл, функции в таиной точке ЛХ. Условие (14.14) дифференцируел!ест!! функции можно записать также в иной форме. Для этого рассмотрим бесконс шо малую при лдх! — Э О,,Ьхг — Э О..... Мх -Э О функцию р = Лак! + лд,хг +... + лЬ.лдн ') и отметим, лто эта функцлля обраи!ается в нуль .лишь п[эи Ьх! = Ла,л:2 =... = лдхн, = О. Ъ оедимся теперь. лто входящая в правую часть соотношения (14.14) сумма смрад + огг)сл:2+...
+ о„Ьхт представляет собой бесконечно малую более высокого порядка функцию по сравнению с р. ') Геометрически эса функция предо!являет собой расстояние между точнами ЛХ(хохм..., х„,) н М'(х1 Э- -тхь ел + !хе, .. х„, +.хх„,), 500 Г:1. 11 эь икиии нескольких переменных Иными словами, убедимся. что эта сумма представляет собой выражение о(р).
В самом деле. при р ф О справедливо — '' ( 1. Р Р и поэтому (Ст1ЬХ1 + Стг,ЬХя +... + СтюЬХ„в! ~( (~ (~тт1) + )Стг( ' +... + ~етоь~ ! Хх|) ).Ххт~ )Ьх„, ~ ) Р г ~ (()ст1! + (ОЯ( +... + )стл,,()Р = О(Р), Таким образом, условие (14.14) дифференцируемости функции может быть записано в следу|ощей форме: Ьи = Л1Ьх1+ ЛеЬхв +... + Л„„Ьх,„, + о(р). (14.15) При этом величину о(Р) мы считаем равной нуспо при Р =- О.
Чтобы доказать. 1то условие (14,15) эквивалгнтно условию (14.14), нужно убедиться, что из представления (14.15) в свою очередь вытекает представление (14.14). Для этой цели. считая, что не все Ьх1, Ьхв, ..., Ь;т:„, равны ну.по ), представим о(Р) 1~ в виде о(р) р о(р) Ьх1 -~- .ах~ ~-1-...
-1- Ьх о(р)— Р Р о(р) Ьх1~ л 1о(р) Ьх ) л ~~о(р) 1х, ) л хю ° Р Р! ~р Р Полагая — ' = ьи и учитывая, что о, является бесконс гно о(р) Ьх, Р Р малой прп р — ~ О (а стало быть. и при Ьх1 — э О, Ьхо — э О.... ..., Ьхо, -э О) функцией, мы придем к представлению (14.14), Итак, ус:ювие дифференцируемости функции можно запи- сать как в виде (14.14). так и в виде (14.15). Если хотя оы одно из чисел А1. Лй.., .. Л„„, отлично от ну- лЯ. то сУмма Л1Ьх1 + ЛгЬхг +... + ЛсвЬхов пРедставлает со- бой глитл~ро. ллигейнрдо опоил.итгльно тчидлицсний оргр иенувоо часть приращения дифференцируемой функции. Отметим.
что при определении понятия дифференцируемости функции ъсы не исключали возможности обрагцсния всех чисел Л~. Лв, ..., Лю в нуль. и поэтому, если приращение Ьи функции может быть представлено в виде (14.14) или (14.15) при А1 = А ... = Лп, = — О. то функция двфференцируема в данной точке. Справедлива следующая теорема. ') Если все Ьх,, равны нулю, то все члены в правой части формул (14.14) и (14.15) равны нулю. 5О1 пгоизводнык и диеекд кпциллы Теорема 14.9. Есэстс функция, и = Х(;тдэхгэ....хт) дифг)эе- ХэетссэсэХэтделга в тшэ ске ЛХ(з:д.хо., э;сы)с то в зпипс точке су- щег:пэвутопс чаг пигые пргтзводные по вселю аргументом, причем ди — = Лн где А, определятопюя иэ целовал (14.14) или, (14.15) дифференцпруемости Хэутсктэсстэ., Д о к а з а т е л ь с т в о.
Из условия (14.14) диффсрен- цируемости функции в точке ЛХ(хд, хг,..., т;и,) вытекает, что ее частное приратддстндде слх,тэ, в этщл точке равно с5,„, и, = .4,с'.дхц + .т„, и + сэ,сл:сц Отсюда вытекает, что "' = Лс+ ос, дт поэтому, так дх, д,„,и ди каке, — «О при слзц -э О. 1дш '"' = — = Лс.
«о .лх, дх, Следстпвие 1. Угнссэгэтсгэ (14.15) диг(эсХэедэггтсцтгХэусгглсгэстгэтэ, функ- цтси в дгэтстсгэсу псочте ЛХ можно заалкать в следующей, форме: слтс = 'лздд +, саста + ° ° + слэ'ги + сэ(Р) ). (14 15) дх! дхт дт' Следстпвие 2. Если функасия и = Х(хдэхгэ, .. эх ) диф- ференцтсруеля в ттсгэчкдгс эдХ(тд.:тг,..., хв,)э то предстовлгисие ее тэХ«тэдтдтцентся сЛтс в форлсе (14,14) или (14,15) едтснственно. В са- мом деле. коэффициенты А, ад дсх представлений равны частныьд ди производным — в дантсой гпо ске ЛХ и поэтому определяются дх, единственным абра:дом.
Убедимся в справедливости следующего важного свойства дифференцируемых функций. Если функция и, =1(гсд,зг,..., хи,) дифференцируемя в пнэ с- ке ЛХ(хд. з:г,..., хы). то она и непус1эъиэно, в этой точке. В са- мотт деле. из устовия (И.14) дифференцируемости функции в точке вытекасд; по 1пп с.'дтс = О. а зто и озна дает, гго функсдхс ге, ахт -«о.,' аэт — «о ция непрерывна в точке ЛХ (см. п. 1 3 3, формула (14.7)). В случае функции и = Х (х. у) двух переменных условие диф- ференцируемости может быть иллюстрировано геометри сес:ки. Введем поняпле касательной плоскости к поверхности в точ- ке Хдто. Плгэсктэстгэь тс, про;содятцая через псочку д«то тсгэсэссХэхтсгэг:ттэ,и. называется к а г.' в т е.л ь и гэ й тс л о с к о с тп ь я в этаотс птич- ке, есллс угол, ли.жду этой тслоскоспгью тс гэсэлзэссдетс, ироходятцей через точку д«то сэ, лпэбую точку д«тд тюверхности, сттсдэемтстгэя к тгулпэ, кгэгдв, пючк;а эУс сттсдэемтсттсгя к Лто (рнс. 14.3).
ди э Згсесь все частньн: пронтводныс — берутся в данной точке ЛК дх,, 502 Г:1. 11 Эь НКНИИ НКСКОЛЬКИХ ПИРИМНННЫХ Ес;си в точке Хо сУществУет касательнаЯ плоскость. то очевидно. по касательная в точке Хо к любой кривой, расположенной на 170НР1»х!7огт'и и 1Ц)0- ХОДЯЩРЙ *П717РЗ 777о, ЛРжи1 в указанной плоено й71 КОСТН. -и ",и У ,. белимся, гнэ из головня дифференцин йго! руемостн функции и = = 1(х,у) в данной точ! ! ке ЛХО(хо, Уо) гзьпекает существование касательной плоскости к г1711фнку Я этой функхо Ции в точке 7"т'!7(хо, Уо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
