Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 100
Текст из файла (страница 100)
Введем теперь понятие функции двух в«ременных. Если ка„вгдой точкг: ЛХ из некоторого мнтнссепсоа )ЛХ) точек ее!глодовой плоскости ставипсся в соответгтеие тн> извсстиному закону некоторое вс>ло и. псг> гг>вг>ряс!с, ипо на мнозюестсзе ГЛХ) задана фут!к!ус>я и = иГМ) али и = Х(ЛХ). Зал!стих!, что понятие функ!Гии двух в«ременных отличается ог сформулированного вьивс понятия функции ошой перемшиюй диц!ь '!ох!, 'с! 0 вян сто слОВ с!евклидова прямаяв испол!- зустся термин «евклидова влоскостьн Совсршсиво аналогично вводится понятие функции трех и«рсмс!шых.
Дзся этого вместо множества )М) точек евклидовой плоскости иужшз в:зять множество ГГМ) точек евклидова простравс:тва. Так как точка М евклидовой плоскости определяется двумя координатами:г в у. а точка ЛХ свк.шдова пространства тремя координатами к, у и г, то ддя функций двух и трех цсрсмсшсых мы будем употреблять соотвстствгягио обозвачсиис и = Х(к,у) и и = )бт„у, г).
Есди функция и = ХГМ) задана иа множестве (М), го это множество Называется облаепсьн> задания фт?нкт!Ни и = Х !ЛХ). т!ису!о и, соответствующее данной точке М йз мио- ) Очевидно, круг в !вар про к сввляки сооой множества )ХсХ) го сек плоскости и пространстве, для которых рГЛГ, ЛХо) < Хй ЕЬ НКЦИИ НКСКОЛЬКИХ ПИ1 КМКНИЫХ и:1. 1! жсгзва (Л!)у будем иэзыВать 'чау)77)ныи )ипчхтииом функцтл77 е тво"лке Лт. Совокупно(ть (и) всех частцых зиачстшй функции и = т (Л1) называется лбножесп)вом значений зпнуй функции.
Д,тя функции двух псрсмс(шых можно ввести понятие !рафика, именно: гРаф(лкоци фУнкЦтл и = 1(худ) называетсл иоогРхноепгв, пбоцгти! коп)оРблй !лате!стул кбтоуд(!!лат!ттул (х. У. 2" (х. У)). Рассмотрим примеры функций двух и трех нсрсмсццых. Г. = ут::Е- уу '.Об, . »: цфу «тки-, °- ется круг радиуса 2 с центром в на (ало координат, а множество значений представляет собой сегмент 0 ( и ( 2.
б 2. = .Об.:«-;: бфу «ц» е — ц зт ' ".«,," ' """- 'уу' уег(ус ус ов у. в иа (ало координату а множество зиачсций представляет собой открытук) полупрямук) и > О. 3'. — ~(: л у ~ут). Облгкт тгц»: б фу ци стоя миожс(ггво (М1 точек, коор;цшагы которых удовлстворянп исравшнтву сов(:г, + у ) > О. Это исравсигтво эквивалентно неравенствам 0 < х + у < — ', 2Лл — — < х + у ( 2Лл + —, 2' 2 ' ' 2' 1) = 1,2,...
Таким образом, (Лл ) состоит из у круга радиуса ~,у)л,т2 с центром в точке О(0.0) и кольцсобразиых областей (рис. 14.1). 4'. и = 1вхтте. Областью задшшя втой функ- ЦИИ ЯВЛ5(СТГЯ МНОЖССТВО (ЛХ'1 точек, координаты 0,(л Зл бл (тл 19л х которых удовлстворяп)т н71)зв!'.нств')' (7)77 ) О, и множеством зиачсиий вся ншто)зая прямая — ос < и (+ос. 5'. и =х +у +х. Областью задания чтой фУИКЦИИ ЯВДЯСТСЯ ВС!) СР- клядово цропграиствоу а Рве. 14.1 множеством зцачсиий— полупрямая и ) О. 4. Понятия гп-мерного координатного пространства и т-умерного евклидова пространства. Л4ноечсеепшо огевозуиохеных упорядоченных об!ту!тку!!7(оетт)етй (х!.
хау.... хо,) пл чисел иоиятик функции нкскольких пкркмкииых 479 хэ.лез.....ха натывглетосл т мерным коордп на та и ым п р о с т р а и с т, в о.лл Аш. Прн этом каждунэ уёорядочсннуэо совокути<ость (хт, хть ... хш) мы будем называть точкой этого пространства и обозначать одной буквой М. )игла,гт<хл<....хп, лла!зыватотся координатами точки ЛХ. Запись ЛХ(хл<хэ,...,х„,) означает, что точка ЛХ имеет координаты х!. хл,.... хо<. Вводом понятие т-мервигг> евклидг>ва тлростравствш Кг>г>рдинат>лтлг>гз прг><гпэратлствг> Ага называепссл т-л< е р н ьл м е в к л и д о в ьл м и уэ о с ил о а и с ти в и .лл Ел!. гели .незя>ду лтобткми дву.нл тпо чка.мн М'(х!! . лг!,..... х'„л) и Ми(х!', ха...., х",в) коордпнипни>го прог>ттэ)хлнг>т>лвг> Ав' определено рглг>ггплоянтле ) р(М', ЛХи) тло формуле Х>(М™) = (14.1) Ввсдслэиыс нами нопятия пимсрного коорди~атното пространства А'в и пэ-х<е)>ного евклидова пространства Еп' нрсдставля- Евклидово то-мерное пространство тйэодставляет гобой так называемое мгшааоческое итюлэшринсп<ео.
Прон!во>о,ное множег !во (ЛХ). з.<ементы которого именуиэтся точками, называется мегри <егким проггранггвом. сели сушествуег правило. с шэмошью которого любым двум точкам М и ЛХ множества (М) стагптся в соответствие некоторое чигло р(ЛХ . ЛХ ), называемое Хэлл<лет!<окинем между этими го <каин. При злом указанное правило должно оыть таким. чтобы выполнялись слолхкэщие акгиомы (аксиомы меи<ричыкого птэг>г<тт<Х>ги<гэтгэег<)! 1) лля любых ЛХ' н М" р(М'.
ЛХ") = р(ЛХ". ЛХ') (симметрия расстоянна); 2) для .,побых ЛХ' и ЛХ" р(ЛУ!. М ) ) О, причем, если р(М<,М! ) = О. го гочки ЛХ! и ЛХл соила;июг; 3) для любых трех <очек ЛХ', ЛХ" и ЛХл' вьпкпшяется неравен<жво р(ЛХ'. ЛХ"') < р(ЛУ', ЛХл) З- р(М". ЛХ'") (неранено! во треугольника). Убедимся, что ьв<денное нами енклидово т-ьярное простраю"п<о лойггвигольно являелся метрическим пространством.
В самом деле, справедливое п первых двух аксиом мегри <еского простраи< тва очевидна (см. 4>ормулу (14.1)). Убедимся в справедливости третьей аксиомы. Пуггь х',. х",, э,л координаты точек ЛХ', ЛХ". ЛХ'". Имеем р'(ЛХ', ЛУл') = = Е((гу —,') + ( '," —:'',))л = Е( ' —:,')' ч- и Е(К" —,'И '," —,) ч- -Л- ~„(хэ, — х<) . Полагая .л,'! — х,! = а, н х!' —.г! = 1>, н и<.пользуя неравенство Буняковского (см, неравенство (10.30) в Дополнения ! к гл. 10), найдем, <то х (х, —:г, )(г, — т,) < Л (х',о — <г,<)> Л (г" ,— <г',)э.
Отсюда еле>ЛУст .= ! <го р (М',М"') < Х,(г'," —:г",)з -~- Л,(г" ,— х)э . т. е, р(ЛХ'. ЛХ"') < =! < р(ЛУ'. ЛХ") -~ р(М", ЛХ"') 480 ГЛ. !1 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ к>т собой обобшеция указанных вьппс понятий координатного пространства н евклидова пространства. 5. Множества точек тп-мерного евклидова пространства Е™. Символом (ЛХ) мы будем обозначать некоторое множество точек гп-мерного свк.аидова про<чтранства Е"".
Рассх<отрим не<колько примеров множеств в т-мерном евклидовом про< тр<нп тв< Еп' 1". Множество (ЛХ) всевозможных точек, коор;ншаты Хс. Хг.., ., Хкь КОТОРЫХ УДОВЛЕтВОРЯЮт НСРааснетВУ (Хс — .Г 1)- + ..о > +(<г'г <1:г) + ° ° .+(.'г>»> — гх>») ~ (1<, па:сывает<'я гп-мерным в<аром радиуса П с центром в точке ЛХе(хс> ха..... хт).
Таким образом, .0.,0 „О гп-мери! <Й псар огй>слоняется как множесч во (ЛХ) во<возможных точек ЛХ, ра<ттоянис р <и кал<дой из которых до некоторой точки ЛХо (центр шара) у;[овлстворяст неравенству р(ЛХ. Мо) < П. Если расстояние р(ЛХ> Мв) от каждой точки множества (ЛХ) до точки ЛХе УдовпетвоРЯст стРо<омУ неРавснствУ Р(ЛХ. ЛХв) < й, то хшожество (М) называется опгкрыть<м т-мерным шарам. 2'.
Множество (ЛХ) точек, расстояние от каждой из которых до некоторой точки ЛХс удовлетворяет соотношению р(ЛХ>ЛХс) = Л, называется гп;мерной сгрерг><с радиуса Л с центром в точке ЛХв. 3'. Множество (ЛХ) точек, координаты хс.хг>, ..,.х>ь которых удоьсютворянуг нс1нсвшн:таам )хс — <г;1! ~ (д1. ~ха — ггг( ~ (а>2 ..., (х„с —:еп,! «(„„нгзывастсЯ сп-.меРнылс кооРдинатным па,в ра>слелеп<сссг>дг>м. При ятом точка Мс(хнх, ...,х,) называет,,о„о „о ся центром чтото гп-мерного параллелепинс,!а. Если координаты хс. <гг.....
хь, точек мпожсства (ЛХ) у,юв. <етворяк>т строгим неравенствам ~хс — хсс~ < д<, )ха — х~~~ < дг, ..,, ~х>ь — ге~~„~ < й,„, то множество (ЛХ) называется г>ткрыпсь>м, т-мернылс координат; пьсм параллелен ппедвлс. Ввсдеь< понятия е-окресгпноспгп точки ЛХс евклидова пс-ькрно<о Рй>осгранства и прямоугольной окрест>икхти ягой точки Мо. Будем ссазывать е-г> к р е с гп и с с т, ь ю гп о ч; ь и ЛХв(хс, <ег,..., гг.„,) т-.мерного евклидова прастра>сства Е>ь открыпсый ггс-меХ>яьсй <аар радиуса е с <!енгг>Х>влс в точке ЛХв.
Прямвугвльносс оьрестног ть>в спо'ски Мс(хс.ха»... хт) пс-л< рнвго евклидова проспсран<тва нагыва,о .о ,.о стася любо<с г>гпкр>ыг>сы<1 сгс-мер>сьг<1 квврдинатньпс параллг>леп<спед с ценп>рвм в <почке Мо. Справедливо следукпцес очевидное утверждение. Л>абая е-г>крессгсносггсь точки Мв евклидова т-мерног» прог>гг<Ххснсп>ва Е"' сг>де!>:ьс<ст, неквтврук> прямоугольную окрест; ность отой тг>чк<с.
Л<вбвя прямоугг>льпвя окрест>ность точки ЛХв сог)ерв>г>ит цекоп>пруса е-окрсспгпость пи>чки Ме. понятии ех11кц!1и нискольких пьвимилных 481 Пусть (ЛХ1 нскоторос множество точек евклидова пг;мерного простран! тва Ео'. Введем !тодуа>щис понятия. Твчгслл ЛХ множесплва (М) нт>ьяается в и у т р е ни е й точклт э!ного мгложества, если срщегплвует, некотория е-вкрестноспль пн>чки ЛХ. все> пло лк!л коп>арой принадлежат, множесгпоу (ЛХ).
Точка ЛХ ) низьлвае!ги>я, г р а и и ч и, о й !почкой множество. (М), если любая с-окрестность этой' плочки содержппл как гглочклл, при!ладлеэ>!сащие множеству (М), так и не принадлежищие ем!р Мгллхпсесг>лоо (ЛХ) глХ>г>сгг>Ххлнл>гглва Епг низыоаепяя о т к р ьлпл ы м м н с> ж е с и, в о м и л и о б л а с т ь ю, если гиобая точка этого множеспяа внугпренняя. Если кчзждая граничная точка м!лл>эчсества (М) является точкой это«о множесп!оа, то множесгпво (ЛХ) назь>яается з а м к и у тп ы,м. Елыи множество (ЛХ) представляет собой область, то хшожсство (ЛХ). полученное присоединенном к (ЛХ>! всех граничных точек этого множества, называстся,з а м к и д т, о й областью.
Отметим, что сели все точки области (ЛХ1 находятгя внутри нскоторого шара, то эта область называется о г р а н и ч е пи о й. В дььтьнсйн!см нам понадобится понятие соятнв«0 .м!10>>к>е— сгпва. Прсдвари гсльно мы введем понятие непрерывной ърллвой в многомерном пространстве Еп'. ХХепрерьяной кривой Ь в простринспяе Е™' ллы буде..м, назыоапль мнлппг>лют!>о (М) точек сапого прог>пух>нег>лва, координагпы хл, ха,.... хт квгпорыпе предстивллиот собой непрерьлллные 1Х>р!лкц!ллл парохилп>ра й; Хл = Лрл(!), Э2 — Лра(!) ° ° ° ° >>>а = лрн>(!), О ~( ! ~( /3. (14.2) Л1ы будем говорить, что точки ЛХ'(>гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
