Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 99
Текст из файла (страница 99)
При этом указанное предельное зпаченас иазь!застоя суммой ряда (13.117) а смысла Пуассон!! Абелл. Линейность метода суммирования Пуассона Абеля нс вьюывает сомнений. Докажем регулярность этого метода. Пусть ряд (13.117) сходится в обычном смысле и имеет сумму, равную 5. Требуется доказать: 1) что ряд (13.120) сходится для люб!по х из интервала О < х < 1; 2) что сумма Я(х) ряда (13.120) имеет в гочке х = 1 левое предельное зна гение. равное Я. Докажем сначала утверждение 1). Так как ря,! (13.117) сходится, то последовательность его членов является бгскшлси!а малой и, стало бьггь, ограниченной, г. е.
найдется такое число ЛХ, что для всех номеров й 473 ДОПОПНВНИВЗ '1'ак как )х) < 1, то ряд 2 )х(' сходится. Стало быть, в силу замечания 2 к теореме сравнения 13.3, сходится и ряд (13.120). Докажем теперь утверждение 2). Пусть Я„-. в-я частичны сумма ряда (13.117), а о — его обычная сумма. С помощью преобразования Абеля ') легко убедиться в том. что для люб!ого х из интервала О < х < 1 справедливо гождество игх = (1 — х) ~ о!.х ! — ! ! —.! Вычтем тождество (13.122) иэ следующего очевидного тождества: В = (1 — х) ~ Бх ! — ! (13.122) При этом, обозначая г! к-й остаток ряда (13.117), будем иметь 5 — ~~ иэх = (1 — х) ~ ~гэх г=! /: —.
! или Я вЂ” Я(х) = (1 — х) ~~ гэхь (13.123) ! — ! Пап!а цель доказать, что для любого - > 0 найдется б > 0 такое. что левая часть (13.123) меньше е для всех х, удовлетворяющих неравенствам 1 — б < < х < 1, Так как остаток г! ряда (13.117) стремится к нулю при ь. — э м„то „щя по;южительного числа е/2 найдется номер йе такой. что г!. < е(2 при й > йе.
Таким образом. (1 — х) 2 гьх < — (1 — х) 2 х < †. 2 'га э -ээ Остается доказать,что для т,достаточно близких к единипе, ь<, ° ! (1 — х) ~ ~гэх! < -„ 2" но зто очевидно, ибо сумма, стоящая в последнем неравенстве, ограничена. 1'егулярность метода Пуассона Абеля доказана. В качестве примера снова рассмотрим расходящийся ряд 2 ( — Ц'-' =1 — 1-Г1 — 1+.. (13.124) Для этого ряда составим степенной ряд вида (13.120) — +,г з, ! — — ! ') Преооразование Абеля (13.82) установлено нами в п.
2 З' 5. В рассматриваемом слу эае следует положить в (13.82) п = 1. Яе ! = 0 и затем усгремэпь р к бесконечности. твория числовых рядов ГЛ. 13 Очевидно. по последний ряд сходится для всех я из интервала 0 < х < 1 1 и имоег сумму. равную Ябг) = . так как 1+я 1 1 1пп 5(я) = 11ш ..-зг — о" " .:ч1 — е 1 + я 2' то ряд (13.124) суммируем методом Пуассона — Абеля и его сумма в смыслг Пуассона Абеля равна 1/2. Обратим внимание на то, что сумма ряда (13.124) в смысле ПуассонаАбс ля говпадаег с его суммой в смысле х1езаро. 'Этот факт не является случайным: можно доказан „что если ряд суммируем мез одом Чезаро„го он суммируем и методом Пуассона-Абеля, причем сумма етого ряда в смыл:ле Чезаро совпадает с его < уммой в смысле Пуагсона Абеля.
Более того, сушествук1т ряды, суммируемь~е методом Пуагсона — Абеля, но не суммируемые методом Чезаро ). Летальное изучение ш:евозможных методов обобщенною го сумкплровяния расходящихгя рядов проводится в монографви Г. Харди кЕ'асходящпеся ряды» — Мд ИЛ. 1951 г. ') Таким образом, можно сказать, по метод Пуассона — Абеля является более «сильным» методом суммирования. ~ем метод Чезаро. Г,'!АВЛ 14 Ф'УНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ й 1. Понятие функции нескольких переменных 1. О функциональных зависимостях между несколькими переменными величинами.
При изучении мне~ их вопросов естествознания встречаются такие зависимости между несколькими переменными величипахги, когда зпачеппя одной из эгих псрсмшшых вели п4п полпогтьк~ определяются значениями остальных переменных. Так, при рассмотрении каких- либо физи и;ских характеристик тела (например, его плотности р или температуры Т) цам приходится учитывать изменение этих характеристик при переходе от одной точки тела к другой.
Поскольку каждая точка тела определяется тремя декартовыми координатами л, у и а, то рассматриваемые характеристики (плотность р и:ш температура Т) определяя>тся значениями трех переменных:г, р и я. При рагсмотрспии физических процессов, меняющихся во времени,:зпачспия физических характеристик опрсделякп ся шачсииями чешмрег перемсппых; трех коордипат точки я, р. а и времени ~. Например, при изучешш звуковых колсбавий газа плотность р этого ~аза и давление р определяклся значениями четырех псрсмсииых х, р, в и 4. Для изучения такого рода зависимостей в этой главе вводится понятие фупкцгш иескольких переменных и развивается аппарат для исследования таких функций.
В теории фупкций нескольких переменных удобно пользовагься геометрической терминологией. Нспосрсдгтвсино ясно, что областьк~ задания функции двух (или трех) переменных является некоторос мпожсш во точек плоскости (или просграиства). Для геометризапип наших представлений о функции ьп переменных удобно ввести понятие гп-мериого пространства, обобппгющее хорошо известные понятия двумерной плоскости и трехмерного простра~ктва, Наше последующее изложе- эь нкцнн нкскольких нкгкмкнных гл. » нис мы начнем с выяснения необходимых нам гсомстри к>свих понятий. 2.
Понятия евклидовой плоскости и евклидова прострапства. РХзвсстньк из анадити >сгкой геометрии понятия коор,пшат точек на плоскости и в прогтрюн:твс и формула для определения расстояния между двумя точками могут быть использованы ддя анадитичсскОГО ввсдспия пОнятиЙ плоскости и пространства. ЛХнозчсество всеоозмозюнмх упорядоченных пар (х, у) втгссп>веннь>х чисел х и у называется, к о о р д и н а т; ной плоскость>о. При этом каждук> пару (х. у) мы будем называть точкой этой плогкочти и обозначать одной оуквой ЛХ.
Чи<ша х и у называются координатами >о >ки М. Запись М(х,у) оз»а,>аст, что точка М имеет координаты х и у. Координитнал, плоскость называется, е в к л и д о в о й и л о с к о г гг> ь и>, если меокду л>обькми двумя точками ЛХ'(х'. у') и Мп(х".
уп) коордг>наг>>ной плоскоспш определено расстоят>2 р(ЛХ'.ЛХп) по фор,муле р(ЛХ', ЛХЯ) = Совершенно аналоги шо вводпзтя попяпн> координатного и евклидова пространств. Мнозюество вгевоз.можных упорядоченных троек (х.у.з) чисел х, у и назьсваетгя к о о р д и н а тн,ы,м п.рост>>ро,нет,вом. Приэтомкаждуютройку (х, у, х) мы будем называть точкой этого нростграпства и обозначать о;шой буквой ЛХ. Числа .х, у и х называк>тся координатами точки ЛХ. Запись ЛХ(х. у. Я) означает, что точка ЛХ имеет координаты х, у и ". Координатное г>рострингтво назчкваегпся е в к л, и д о в ы м и р о с п> р а и, с п>, в о м, если лчео>еду любылги двумя точками М'(х'.у'.х ) и М (:г>, у,х ') координапшого г>рос>г>ране>пва определено расстояние но формуле р(М .
М ) = (хи — х') > + (уп — у')2 + (хн — з>) 2. Вводе>шыс нами понятия координатной плоскш;ти и координатного прогтргпн>гва представляют собой аналоги числовой прямой, а гвклидова плоскость и свклидово пространство представляют собой аналоги евклидовой прямой, которую можно определить как нштовбк»й>яму>о, х>г>жд1 .тюбыми дву мя тч»яами х и х ' которой ог>рсдслсно расгтотн>с р(х',:гя) по формуле я '.*"> = чч':" — '>' = 1 "— ч Расс>яотрим нскоторыс множества (ЛХ) точек евклидовой плоскости и евклидова пространства. 1'. Л1ножсство 1ЛХ) точек евклидовой плоскости, координаты х и у которых удовлетворяя>т неравенству (г — а) т(у — (>) < Л, а, а 2 'з 1 НОнзргие Фмпкц!Ги неекОХ!ьких переменных 477 как язв«ство, иазьсвасстся кругом радиуса Х? с и«итром в точке МоГа.
6). Если координаты к и у удовлетворяют строгому исравси«тву Гк — а)а+ (тХ вЂ” 6)а < Е?;', то множество ГЛХ) называется открыпстям кругол!.. В свкяидовом врос:транствс хи!еже!ство (ЛХ) точек, коорд!шаты к, у и - которых удовлетворяют асравсш тву сет — а)з+ (у — 6)-+ Гв — с)- < Лз, как известно, называется исаролс, радиуса Х? «центром в точке Мо!а, ?>, с). Если координаты св., у и г удое„сстворяк>т соотвс;г«твуквцсму «трос ому неравенству, то множество ГЛХ) называется г>ттзкрытгзькм шаром ). 2'. Л)цожс«тво ГсЛХ) точек свк:сидовой циск:ко«ти Ггсвк,и!дива пространства), коорд!и!а!ы к и у Гя, у и г) которых удовлетворяя>т неравенствам (х — сз~ < д! и )у — ?>/ < да Гуг: — сс( < дт, /у — Ь! < дз и !!г — е~ < с?сз), иазывастс:я коордсснсгтньсм прямг>дгг>с!в!иском Гкт>г>рдтт!!с>тстнтм параллелепипедом) с и!!и!роя! в точке ЛХо(а„Ь) (зз точке Мо(а, Ь, с)).
3. Понятие функции двух и трех переменных. Используя геометрическую тсрзишодогик>, можно сдсдутощим образом сформулировать ужо известное иам понятие функции о;Гной псрсмсииой. Если казссдг>17 тск>чке ЛХ из некоторого .мнг>зюесосеа ГЛХ) точек евклидовой прял«от7 стаеитася в сс>оп!в!наставав по азов«и!ному закону в«копн>рос число и. тао говоряте чпи> на я!нолт>ест!!всс ГЛХ) зада!!а функция и = иГМ) или и = Х(ЛХ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
