Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 102
Текст из файла (страница 102)
сс Г «си)1 гельность с сез ' ), сходящуюся к некоторому чисьсу аь РассмоГ «о,)1 грим ссзответствующую подпоследовательность я ' ) последовательности вторых координат точек (ЛХ„). В силу той же Г «о )1 теоремы из подпоследовательносгп 1ля ' ) можно выделил Г Гис.,)1 подпоследовательность С лэ ' ), сходящуюся к некоторому чис- Г Г»с,П лу аз. Заметим, что поднос'чсдовательность (сез - последо- Г Гвс,)1 вагельности с т,, ' ) сходится к числу аь Игак, подпоследова- Г ( ь2)1 Г, Г а2)1 тельности (:гс ' ) и с:гэ ' ) сходятся к шслам сн и ая соответственно. Очегидно, что есзнс мы из подпоследовательности (эз)- «и:,,П лз -' ) последовательности третьих координат точек Лбв выделим сходящуюся к некоторому числу аз подпоследоватезп ность (л ' ). то подпоследовательности (лг ' ), (:с;з ' ), (лз сходятся соответстгенно к снслам ан ая, аэ. Продолжая эти рассуждения, мы, наконец, получим сходягпуюся к некоторому чис- Г «сз„)1 лу а подпоследовательность 1 л,в '" последовательности них координат точек ЛХа, причем подпоследовательносги с л, Г Свн„) 1 ( "~ ( -) (иы,)1 Г Гвь„,'з ~ тэ )...., (я~в ) сходнтсн к числам сгг, ае,..., а~в соответсгвснно.
Но тогда, !5 сизу леммы 1. подпоследовательность (ЛХвь ) последовательности точек (Л1и) сходится к точке А с коордшсатаъси ам ссе,..., а„,. Теорема догсазана. 3 а и е ч а н и е. Предел А последовательности (ЛХв) точек, принадлежащих:замкнутому множеству (ЛХ), также принадлежит этому множеству. Пгобы убедиться в этом, достато шо заметить, что в любой е-окрестности то гки А пмеготся точки Л1„„ т. е.
точки множества (И), и поэтому точка А является либо внутренней, либо грани*шой то ской ф1), а следовательно, прин адлсжит ( ЛХ ) . 3. Понятие предельного значения функции нескольких переменных. Рассмотрим функцию и = ХСЛХ), определенную на множестве (ЛХ) гп-мерного евклидова пространства, и точку А этого множества.
быть может, и не принадлежащую множеству (ЛХ), но обладающую тем свойством, что в любой е-окрестнсзсти этой то гки содержится хотя бы одна точка множества (М), отличная от А. Определение 1. Числсз Ь гссззьсвсгсзггссл и, р е д с л ьи и зс з и а ч е и и е м ф у и к ц и и и = 1'ГЛХ) е 487 1э пгкдкльнок знлчкник рь нкции т о г к е А (илп и р е д е .л о м ф у н к ц и, и при ЛХ вЂ” г А), если, для любо)) сходялцейся к А гюгигсдгннгтельноспт ЛХ), ЛХэг..., ЛХв..., точек мноьчсссгпва (М), элсмглппы ЛХ„которой, отлглчны от, А ') (ЛХ», ф А), гг)г)гг)г)ггтг)гг)вугогция, последовапгельность Х(ЛХ)),1(Мт )....
)1(ЛХь)г...;)ничгггчгг)1 функции сходится, к 6. Приведенное определение называется определением предельного зггачешля функпии с помощью последовательностей. Сформулируем другое определение предельного значения функции, используя вс д»-терминологию. Определение 2. Число Ь нвзывиегпся предельным значением функ;цш) п, = Х(ЛХ) в )почке А. сслп для любого полож))и)гель)гого 'числа е мохсно укизигггь гпакос пг)люк'гппгглгьнгнг чгн)ло д, что длл в))ах точек М из области зидггнпя функции, удовлствирягвьцггх условию 0 < р(ЛХ, А) < д, гяьтолняетпся нг)1»иеген; гпто Х (ЛХ) — 1) ! < е. 3 а м е ч а н и е.
Определения 1 и 2 предельного значения функ)гни экгивзлентны. Справедливость этого утверждения может бьггь доказана точно так же, как и эквивалентность двух определений предельного значения функции одной переменной. Для обозна гения преде.п ного значения 6 функции и = 1(ЛХ) в точке А используется следующая символика: или 11)п Х(хг. я'в)...,:г:и)) = 6, !пп Х(ЛХ) = Ь, д) -)Л в), аг., в — га), в †где а)гав,... гав) координагы то"гки А. Сформучируем определешле предельного значения функции при стремлении )очки ЛХ к бесконе )ности.
Определение Я. Число Ь назывог;тся и р е д с л ь и ы м зпгг гсписм функции, и=-Х(М)'п1тЛХ вЂ” гоо(иллг 'пределом функции приМ вЂ” +ос),сслидлялюбогономклситсльнояо числа в мосчсно уаплать пнгкос поло;нсигпельное число ач чхпо для всех М ггз облгн)ггп), задаггия фугтции, удовлегг)вг)1)ягогцг)гх уг)лонг)го р(Г)., ЛХ) ° а, выгголнясгнся нг)Хч)вг)нг)гпвг) ЛМ)-И <=. Арифметические операции над функциями т переменных, имеющими предельное значение в точке А, приводят к функциям, также имеющим предельное значение в точке А. Именно, справедливо следующее утверждение. Пусть функции Х(ЛХ) и ьн(ЛХ) илгсют, в точке А прсдсльггыс зггг)чгггггля, Ь и с.
Тг)гда функции Х(ЛХ)+8 (ЛХ)) Х(ЛХ) — п(ЛХ), Х(ЛХ). ') Это требование объясняется, в частности, тем, что функния н = 1(ЛХ) может быль не определена в тонне А. 488 гд. тт эь нкннн нксколькнх ннгнмннных «(ЛХ), 8(ЛХ) и иментгп в тпочке А ттутедельтсасе зтигчетсия. (чистнае В(ЛХ) 6 при условии с ф О), равные соатвенсснтвенно Ь+ с, Ь вЂ” с.
Ь о. —. с Доказательство этого утверждения соверщенно аналоги шо доказательстсту теореасы 4.1. 4. Бесконечно малые функции. Футскцтся, и = «(ЛХ) низтяваетпся бескане тно малой в пюсике А (при ЛХ э А), если 1шт «(ЛХ) = О. лт-,л Легко убедиться, что функция «(ЛХ) = (кт — ат)т + ... ... + (з;и, — ан,)п"', с-де птт.., тип, положитегпные числа, является сбесконечссо малой в точке г1(ат, ия,., .. ап,) '). Кали, функция и = «(М) имеетп Хятвнсте Ь тгХтедсльное знпченпе в тпачке А, то функция о(М) = «(ЛХ) — Ь янсяетгсся бесконс.чна лсалой в птичке А. Действительно, 1пп о(ЛХ) = 1пп («(ЛХ)— и — ~л Л! — тя — Ь) = 1пп «(ЛХ) — 1тш Ь = О.
Используя этот результат, мы полг — ~л и- и лучим специальное представление для функции, имеющей равное Ь предельное значение в точке А; «(ЛХ) = Ь+ о(ЛХ)т где 1пп ст(М) = О. м-эл Сравнение бескоиечио малых функций нескольких перемениых производится точно так же, как это указано в и. 3 8 2 гл. 4 для бесконечно малых функций одной перемеипой. Отметим, что, как и в случае одной переменной, под символом о()3) мы будем понимать любую стескоиечио малую в датсносй точке А функцию бстлее высокого порядка малости. чем бесконечно малая в данной точке А функция (т(М). 5. Необходимое и достаточное условие существования предельного значения функции (критерий Коши). Будем говорить.
что функция «(ЛХ) уг«авлетгтваряезп в пючкс М = А усзсствттю Коши, если для:побого положительного числа е найдется гголожительиое чисыо Л такое, что, каковы бы пи были;све точки М и ЛХ из области задания функции «(ЛХ), удовлетворяклцие перавеиствахт О < р(ЛХ'. А) < с), О < р(ЛХ", А) < б, для соотвс'тствующих значений функций справедливо неравенство йт4Х') — «(ЛХнП < Справедлива следутощая осповпая теореаса Теорема 1$.2 (критперий Коши). Для тага чтобы функцига «(ЛХ) имели конечное ттйтедезсттттсте значение в тачке М = А, ' ) Достаточно учесп., что каждая нэ функпнй одной переменной Х(тс) = =. (яс — ос.)"' является бесконечно ма. сот| а точке яс =- ас. 489 НРЕДЕ;1ЬНОЕ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ Ьй необходимо и доспнсточпо, чпсобы с»эуьскцгсл Х(ЛХ) ддсзсз»сегсяо)зила н этой тсзчке услснпио Кос»с!с. Доказасгегп сгззо этой геореъсы совергпегнсо аналоги ьио доказательству теоремы 8.2 и получается из него путем замены букв х и а на буквы ЛХ и А и замены выражений типа !сг — о! на символ р(ЛХ, А).
6. Повторные предельные значения. Х!»зя функции и = Х(хз, хг,..., » ) нескольких переменных можно определить понятие пре,сс.п ного зиачопия по одной из переменных» с при фиксированных значениях остап ных переменных. В связи с этим возникает понятие повторного предельного гномсяия. Уясним это понятие на примере функции и, = Х(», у) двух переменных х и у. Пусть функция и = Х(», у) задана в некоторой прямоугольной окрестности !х — хо( < дз, !«у — уо~ < дг то ски сгуо(хо, уо), за нсклкзчеиием, быль может. самой гочки Л!о. Пусть для каждого фиксированного у, у,совлетворякзщего условию О < )у — уо! < дг, сущсзствует предельное значение функпии и, = Х(», у) одной пораненной х в точке х = »'о: Х(х у) = р(у) о г — Фик и пусть, »громе того, суосествуст продельное значопие Ь функции «з(у) в точке у = 'уос 1пп о(у] = Ь.
зс-э сзо В этом случае говорят, что существует повторное предельное значение Ь для функции и = Х(х, у) в точке Луо. которое обозначаезся следукзщим образом: !пп !пп Х(х,у) =- Ь. о-»т * »о Аналогично определяется повторное предельное значение 1зш !шз Х(х, у). з ог зго Установим достаточные условия равенсзва двух введенных повторных предельных значений. Теорема У4.3. Пусть функция и = Х(»л у) определена о нгъоспорой прямоугольной окрестности )х — хо~ < дз (у — уо( < дг точки ЛХо(хо,уо) и ссмеегп о этой точке зсредельное гначсзнос Ь. Пзкпп.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
