Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 106
Текст из файла (страница 106)
Мо(хо, Уо) . ~ У> зо), 11оложим Ьгг: — — — — — — — — ~Г~ 2Ра 2 = х — ха, 7.:7!/ = 17 77=7 х У вЂ” Уо; 2177 = 17 — '7»о. где но = 7'(!77о, уо), и = »'(»л у). Очевидно. устовие (14.14) дифференцируемости в рассматриваемом случае можно записать следующим образом; и — Па = А(Х вЂ” ХО) + В(у — УО) + 177ЙХ + 7»эс-'су = = А(х — 'го) + В(у — уо) + (р) ди ди где А и  — постоянные.
равные частным производным — и— д* д!» в точке ЛХо. а О и 7У бес конг"гно малые при сах — э 0 и Ьу — + О Ф. ««».е=»Я '+ае Расскютрим следующее уравненгле: 17 — но = -4(:7: — хо) + В(у — Уо). Из агсалитическснл геоъгетрии и:звестно, что это уравнение определяет в дскартовой системе координат (х. у, ьг) нскозорую плоскость н. пРохоДЯщУю чеРез точкУ ЛГо(ггго, Уо. ио) и имеющУю нормальный вектор п = (А, В, — 1) ') Докажем, что зта плоскость гг является касательной плоскостью в точке Лго поверхности Ь'.
Для этого достато гио убедиться, гто: 1) плоскость гг проходит чсрез то гку Лго поверхности Я и 2) угол 777 между нормалью п к этой плоскости и любой секущей ЛГОЛ1 стремится к л772, когда точка ЛГ1 поверхности В стремится к то гкс ЛГО. Утвержденгг<' 1) очевидно. Перейдем к ' ) Нормальным вектором плоскости называется гсюбосг ненулевой вектор и, перпендикглярнь!й к этой плоскости. бОЗ ииоизводныв и диэевивициллы доказательству утверждения 2). Вычислим косинус угла гр. воспользовавшись известной формулой для косинуса угла между двумя векторами. Так как координаты вектора и равны А„В. — 1. а кооРдинаты вектоРа ЛсггЛгг секУщей Равны х — хо. У вЂ” Уо, и — ио (см. рис.
14.3). то А(х — хо) -г- В(а — уо) — (и — иа) соа гр— в 1 г — „г г„-„,г г ° -„г'' Из условия дифференцируемости функцин и, = «(х, у) вытекает. что -4(х хо) + В(у Уо) (и ио) = а(р). Понтон>> )о(р)! )сг(р)! / сов гр( ( Из этой формулы вытекает.
что 1пп сов гр = О, т. е. 1ип гр = к«2. р >сг ' р-го Утвер>кдеггие 2) доказано. Таким образом. днфференцируемость функция и = «(х,у) в точке Лхв(х. Уо) с геометРической точки зйешли означает наличие касательной плоскости к графику функции н = «(х.,у) в точке Л(о(хгг, уо, ио). Так как коэффициенты 4 и В равны соответственно частным производным. вычисленным в точке ЛХо(то, уо).
то уравнсние касательной плоскости мо>кег быль записано в виде с> — гго = — (:г: — хо) + —.(У вЂ” Уо) да да (14.17) дх ' ду 1 да да, Нормальный вектор и = г — '. — ', — 1 > касательной плоскости дх да' ~>тгняго называть гга1>малгис> к иоверхностсг гг. = «(г:, у) в то ип; г>Со(аго Уо: но). Выясним достаточные условия дпфферснцируемости функции нескольких переменных. Теорема 14.10. Кслгг, с«гуггкцггл гг = «(хг. хз,.... а:,„) ггмевт частные п1>с>ггввос)нысг гю всем арег1менстам в ггскогпорсгг1 окрест- о о а нас>пи г>гачкгл ЛХо(хг, ха,, .., хт), причем все вгпн састнгяе прагисгадггьи. кчгпрврысвны в самст1 пгачке ЛХо, пя указа>игал с«)уггкггггл дггг«х«гереггггггрдемсг, в точке Ио.
Д о к а з а т е и ь с т в о. Для сокращешля записи проведем доказательство для функции двух переменных и = «(х, у). Итак, пусть обе частные производные Д и «существуют в окрестности точки ЛХо(хо,уо) и непрерывны в этой то"гке. Дадим аргументам х и у сто>гь малые приращения гах и гту. >тобы точка )Ой г:!. |! эх нкнии ннскольких нигиминных ЛХ(хо + е.')х, Уо + Ьу) нР выходила за пределы ук|х)ае!Ной окрест- ности точки ЛХо. Полно! Нрпр ицениг 71)71 = Х(хо+.ЬХ7 уо+ ЬЕУ)— — Х(11:о7уо) можно зеи|исать в виде |1 « = [Х (|хо + е-'с1:, уо + Е-') у) — Х(хо Уо + е-')70)] + + [Х(:1:о: Уо + л70),Х(71|о: Уо)] ВыРажение [Х(хо + Лх7 Уо+ ЬУ) — Х(хо, Уо+ ЬУ)] ыожно Рассма- тривать как прирапп)ние функции Х(х.
Уо + Ьу) одной перемен- епн! 1'1, на сРгмРнтР [,го, хо + Еа|е]. поскольку фуе1кция и = Х(х. 7!) имеет частные производньп.", ук)т)анния функция Х(х,уо + ЬЕУ) диффергнциругма и е! производная по х представляет собой частнук) пронзводнун) Д. Применяя к указанному прира|цени|о формулу, 1агранжа, найдем такое О! из интервала О < 0! < 1.
что [Х(хо+ ехх уо+ !ау) Х(1о;уо+~у)] = Х,(|го+0)ех|1ьуо+еху)~2'. Рассуукдая совгрп|снно она~о~инно, получим, что д.|я нгко- торого 0а и:! интервала О < 0а < 1, [Х(хо Уо+ !ау) Х(хо: Уо)] = Х„(|о: Уо+ 0аеау)!~у. 1 ак к '|к прО! 1 )водныР Хо н Ху нРНУРрывны в 1 О |кР мо ! О Х,'.(хо+ 0|Е1Х7уо+ ~170) = Х'(хо. уо) + уе, Ху(хо: Уо + 0а А 70) = Ху(:хо: Уо) + уо; гдР е и ~3 . бесконечные малые при Ьх — ) О и Ьу — ) О функции.
Отск)да, учитывая приведенные выражения для [Х(|о+ ~х: Уо+ Аl) — Х(хо Уо+ |1У)] " [Х(хо: Уо+ !~у) — Х(хо:7)о] и выражение для Ьи, найдем Ьи = Х',(хо. Уо)ЬХ+ Х'(хо. Уо)Ьу+ !тих+ А~у. Следовательно, функция и = Х(х,у) диффгренцируема в точ- КР ЛЕО. В Гту'ЕВР фуякцяи 711, НРРР7о! НПЫХ И = Х(:у:|, 1'1:Л..., 11!ту) рассуждения проводятся аналоги пее), только полное прнращР- нпг ")и чтой функции с;пдувт проди|явить в вид!.
суму|ы Ьи = Х(Х! +ЬХЕ,.... Хт +ЬХт) — Х(Х!,... „11)т) = 'т =Е ь: а о о о о [Х (х! ..... ° хь — |; 1 ь + 7 1хы .1 а, ! + А хе-, '); ° °; 1 т + е) хт ) ь=! о о — Х(х! 7 х1)в-Е: гы |хьз + -)хи-! 7 х +ьх .)] 'Хвор!)х!а до~язв~а. 505 ПГОНЗВОДНЫК Н ДИЕЕН! ИПЦИЛЛЫ 3. Понятие дифференциала функции нескольких Переменных. Определение.
Д и ф ф е р е н ц и а л о м ди дифференцируемой в п)очке ЛХ( см х2...., сст) фУНЯЦии и, = Х(сх), х2,..., )г„„) называется главная линейная относип)елысо приращений аргументов чисть приращения оспой функ>ции в в>очке ЛХ. 2гсли все козффициен)аы А, в п1>с)дстосзлеиит (14.14) прирв,щеьися, диффергицируемой функции расты нулю, п)о дифференциал ди функции в точке ЛХ снитае)ася равным нулю. Таким образом, дифференциалоъс с)',и дифференцируемой в ТОЧКР ЛХ фуНК1>ИИ И: Х(Х):1'2 «, '1>)я) НйЗЫВВР1СН ВЫрйжРНИР ди = А! Лъх! + Аасъсга +... + А,„Лъх, .
(14.18) Ис)поль)зуя теорему 14.9, мы можем, очевидно. Пере)писать выражс'ние (14.18) для:)ифференциала ди, с;и.дующим образом: ди = Л!х) + слха +... + сххт, (14.19) дх) дх> дх Введсзис понятие дифферелсциала дх, независимой, переменной х,. Под дифферс'нциалом дх; независ:имой переменной х, можно понимать лн>бое (не зависящее ог х),:с2,, ..,х ) число. Договоримся в дальнешпем брать это число равным приращению с>хс НРЗЗВИСИМОН ПР!)РйСЕННОИ Хс.
Этй ДОГОВОРРННОСТЬ ПОЗВОЛЯРТ НВМ переписать формулу (14.19) в виде ди = дх)+ Йх>+... + дхт. (14.20) дх'1 д).г Подчеркнем., что формула (14.20) установлена нами лишь для СЛЪ'1йи, КОГДй йРГЪМРН!Ы Х>,Х2....,>тт ЯВЛИН)ТСЯ Нечйвнсниыми переменными. Однако ниже, в и. 5 этого параграфа, мы докажем, что формула (14.20) ост>)ется справедливой и для слу- ЧВЯ, КОГДа аРГУМЕНтЫ Х!. Х2,..., Сст Н» ЯВЛЯЮТСЯ НЕЗаВИСИМЫМИ переменными, а сами представляют собой диффс'ре)щирус мыс фЪНКПИИ НРКОТС)РЫХ НОВЫХ ПС)РРЪП;ННЫХ.
4. Дифференцирование сложной функции. В этом нунктР мы рис>сн10грнвз Вопрос 0 дис))ференцировйнии слс)жной функции вида и = Х(.1:!.хг......з)т). где х! — )р! (Кз; уа; ° ° °; ъя); х2 = !»В(1),!а,:!в), (14.2> ) :) т = сй|п(11; 12~ ° °; 11)). =!111 докйжем, что щ)и Опредсз>!!нных ъс!Тогиях этй стожнйя фънкция явл)птся дпфференцируемой функцисй своих йргь- 506 эх нкнии ннскольких ннннмннных г:!.
1! ментов 1!. Ха,, ..,1)г. При этом частные производные указанной СЛО КНОй ФУНКЦИИ ПО аРГУМЕНтаМ У)Л~!... !1Ь ВЫРа)КаЮтСЯ "ИарРЗ ЧИСТНЫЕ ПООИ'>ВОднь!Е! фуНКНИИ и =- Х(Х), 3:а.... !.'Сг)1) И '1РОРЗ частные производные функций (14.21) по ()дедун>п(им формулаы; ди Ои дх) дтг дх1 д(1 ди ди дх) д(2 дх1 д(2 ди дхг ди дх„, + — — "+ .. +— дхг дт) ' ' дх, дт) ди дх2 ди д! дхг дтт дх дтг (14. 22) гли = — Ьэ:! + — Ьха +... + — >))хт + д ди ди, дг! О!2 + (х! г)х! + (гаЬхэ+... + (хи Ьст, (1423) ди ди ди гдР частные производные...... берутся в то тке Лг, а о! ! Оа !...
! Ов, — бесконечно малы(' при Ьх! — ) О, г"!ха — ) О..., ди ди Ох! ди дхт ди дх,„ дт,. Ох дт. Ох дт. ''' Ох,„дтт ' Докагксхл с1Рдм101п!К) огнгттнттто т(Орому. Теорема 14.11. Пусть фттнкции (14.21) дифферегниируо о а емы в нети>тгтг>рг>71 п!очке ЛХ(11, Ха.... ! Ц)! а. фут!хзия и =,1(гс), ха!... ! хт) дифференцируема в сог>тг>вегас!!!вун>тцей точа о о о о а а ке Лт(гх) . ха !...,:ст) ! Хде гг„= (Рт (У 1, Х ...., Хтг ) ! ! = 1.
2 !..., т. ТОЕда СЛОжиая фуНКцая 71 = 1(Х),.'!Х! . >го)! Еде 1! ХВ! !гт определян>тася соотанотаениями, (14.21)! дифференцаруел!а в точке ЛХ. При эп!ом частные прг>извод!!ые эт!т, слоэюной функ; ции в точке ЛХ г>пределятопюя формулами (14.22). в коп>орых ди ди ди все частные т!роизводнь!е,,..., берутся в точхе. >)т> д>1 д22 дХ Ох, а все частныс производные —" функции (14.21) по аргументам дт> 11, Хз!..., Хь берутся в точке ЛХ. Д О К а З а Г ('. Л Ь С т В О. Прндаднн! оц)сух!(НТНМ о о о 11„1в,...,Юь в точке ЛХ(11„1а!...
!Хтг) произвольньн прираще- НИЯ СХ1! ! С!Га.... ! Ь1Ы Н(Э РИВНЫР ОДНОВ1)РЫРННО Н'г(Ч!О. ЭТИХ! п|птрап(Р!(иям соответствуют приращения глх! ! глха,..., (лэ;г„ функций (11.21) в точке ЛХ. Приращениям глх), схха!..., глгхиг В СВОК) О"П редЬ СООтнстетну("! Прнра!НРНПС ахи фуНКПИИ 'и = > (х! ! ха!...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
