Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 103
Текст из файла (страница 103)
кроме. тот, длл лнсбого фиксирооинзсого х, О < )х — хо( < дз, сущесзпоуезп предельное зз*а ссниг. ср(х) = йш Х(х,. у) и длл лсобого фиксироеанного у, О < )!у — уо! < дз, сущее го стоуст предельное зна сгнив «".(у) = 1зш Х(х, у). Тогда поогпорние предсльныс,зна «ения 1!ш !шз Х(х,у) и !пп 1пп Х(х.у) с!»щсзсгпоуюззь и риони Ь. *ог см г го По к а з а т ел ь с т в о. Так как функция и, —. Х(х, у) имеет в ЛХо(хо,уо) предельное значение Ь, то для любого - > О мозкпо указать такое 6 > О, что при !»з — хо! < 6 и (у — зуо! < 6 всгполняегся нсравенспю сХ(х, у) — Ь ! < -. Таким образом, в прямоугольной окрестности сх — хо! < 6 и (у — до! < 6 точки Лфо значония функпии Х(.г, у) отличаются от Ь не больше чем на е. Но тогда предельньсе значения ф(х) и р(х).
указанные в форхсулировзсе теоремы при х и у, у;совлетворякзщих неравенствам !х — хо( < 6 и !у — уо! < 6, также отличаются от Ь не больше чем па -. Следовате.п но, и предельные:значения этих функпий в точках хо н уо соответственно существуют и равны Ь. Теорема»заказа»за. 4(ЭО Г:1. >1 ЭХ НКННН НКСКОЛЬКНХ НИРИМНННЫХ Мовсно определип пов>пие повторного предела для так называемых двойных последовате>п настей (а„„, ). элементы а„,„которьгх определякжся двумя нн,гексами >и и и. Именно, символ 1>ш !пп а„,„означает, что сначала определяется пос.>едовагсльность (»„), о = 1пп а „, а затем находится предел этой последовательности (1>в). Рассмотрим.
например, двойную последовательность (а„,), где а,„„ = = соь"'2яп1х,х — фиксированное чис>о. Докажем,что 1, если х . рациональное число, 1пп 1пп соа' 2>гп!х =- О, если х - иррациональное число. В самом детю. асти х = р»», где р и у — целые чис>а, го при и ) у имеем соь2тп!х = 1, и поэтому 1пп сов 2>гп!х = 1. Иными словами, если х рапионап,ное число. то !1и> !пп соь" 2>гп!т, = 1.
Если же х -- иррапяональное число, то при любом и справедливо неравенство ( сов 2хт>!> ~ ( 1, и поэтому 1пп соа"' 2ятйх = О, т. е. 1пп !ш> соа"' 2я>йх = О. 3 а м е ч а н и е. Используя полученный результат, мы можем аналитическим способом задать функцию Дирихлс (см. п. 1 З 1 гл. 4) как повторный !>реда>> 11>п 11>и сов'"' 2хп1х. й 3. Непрерывные функции нескольких переменных 1. Определение непрерывности функции нескольких переменных. Пусть точка А принадлежит области задания функц>ли и = «(ЛХ) нескольких переменных и .побая еокрестность то тки А содержит отличные от А точки области задания этой функции. Определение 1. Футихцт>я и = «(ЛХ) назь>васин>я, н, е т>, р ер ь> в и, г> т>, в тп, о «к е А. если г>1>едгзлтгт>г>г> зиад>>типе зпи>т! фт>тгкцт>т> в точке А сут>!егтпвуетг> и равно чг>г и>ному зиг>чхенпю «(А).
Отметим. что так как А = 1ш> ЛХ, то условие непрерыв>г| — >:1 нос>и функг!ии можно записать в следующей форме: 1пп «(ЛХ) = «( 1пп ЛХ). Точки, в которых функция не обладает свойством т>епрсрывности, называются гг>г>чкт>мт>, рпзрыво, этой функции. Сформулируем определение непрерывности функции. используя определение предельного значения функции с помощью е и д. Определение 2. Функция и =- «(ЛХ) ья>зываетея типрерьгвио>й в точке, А, тюли для,а>обоза полооюап>елтли>яо чт>слг>, е мг>з>с— тю указать тг>г>х>г>е тшлоаюательное число О> чп>о для всех, то- 1 з ннпнш ывнын функции ннокольких пул инниных 491 ген ЛХ из облйсггш зидшгшя функций., уг)овлегпвгзрягощизг услоспгнг р(ЛХг А) ( Ь, ггытглняглпся нерггвенство !«(ЛХ) — «(А)/ ( е.
Определение 3. функция и = Х'(ЛХ) низывитйся н, е п, р еХг ы в и о гг, и й,н и о осе г. с ггг, в е (ЛХ)., если гтнй неггреХгпгвяй в кй;ггсдогУ 7ггггчне эгиоао мггггзгсст.'7гггггг., Назовем ггсри1япцениегн или полным приргищенпелг фуньт1ии и = «(ЛХ) в точке А функг1ггго Ьгг.
ггггредгыяелгуго формулой Ьгг, = «(ЛХ) — «(А), (14.5) где ЛХ любая точка из области задания функпии. Пусть точки А и ЛХ имеют соответственно координаты ам сгйг.,, г а„„и хмха,...,хьн Обозначим хг — иг = глиц, хй — ав = Ьхв, ... ..., хгя — атл = Ьхйг. Используя этп обозначения, получим для приращения функции Ьи, соответствующего приращениям аргументов с1хг,..., Ьхно следующее выралгешп: Ьгг = «(иг + Ьз М ай + йгхаг...
г игн + Ьх„,) — «(ин ав,.... и„„). (14.6) Очевидно, для нтцжрьншостлг фунхции гл = «(ЛХ) в точке А нсгобходгглго и, дотггзгггочгго., "ипобьг се пририщение Ьи ггредсггггс; вляло ггггбггй бескгонечено лгиггую в точке А фунсктгггго, т. е. необходимо и достато шо, чтобы 1пп глгг = 1!пг («(М) — «(А)) =- О или !1ш Ьи = О. (14.7) м — л м — гл нег — ггь Ья„,— гв Условие (14.7) мы будем называть 1ггсзноггггсной фггргиой условия, непрерывногггпп функцшг. и, = «(ЛХ) в точке А. Для функции и, = «(ггмхз,... гхгн) нескольких переменных можно определить понятие непрерывности по однои из переменных при фиксированных значениях остальных перс'менных.
Для определения этого понятия рассмотрим так называемые насосные ггрирйщггнпя, функции и = «(хыхй.... гхгн) в точке ЛХ(ггмггй,...,гг„г), принадлежапгей области определения функции. Зафиксируехг все аргументы, кроме первого, а первому аргументу приладим произвольное прирагцепие Лхч такое, чтобы точка с координатами ггц + гЬзгм хй, .., г гггн находилась в области задашля функции. Соответствующее приращение Г:1. Зз эа икпии нискольких пкркмкнных функции нвзываез ся чоспзлэиим приумицегизсм 1) функции в то зке ЛХ(хз э хзэ...,:лб„), соответствующим приращению Ьхз аргумента хз зл обозначается Ьт,и. Таким образом, 21«вз и = Х(хз+ Хххл.
хэ,..., х„,') — Х(гз, х2,...., тча). (14.8) Аналогично определяются частные приращения функции, соответствузощие приращениям других аргументов: Ззтеи= У(ХЗ,Х2+э-Ьсо; ЛЗ; .:Хггэ) Э (ХЗ)ЗЛЗ2~ .. ~ Зэп); (14.9) ьт „,и= 1(хз,.'гзэ.,.,х л,х +ьхлт, ) з(гзэх2,.,. эх' з) Введем теперь понятие непрерывности функпии и = Х(хз, хэ.... ..., хщ) по одной из переменных. Ф«1«аэнцлэя и = Х(злзз, хэ,.... хп,) нолыгзостпся нсэзуэгзуэыозззгэл1 о ти"зяя ЛХ(хз,х2,....х„а) гмэ по1«сменной;гь, ссяэз частное при1юи1снис ганги ээтолй функции о пзочке М гзрсдсгпгзолзяот собой бесконечно маяую гХэункцззэо от, Ьхы т. е. егмззз, 1ьпз Ьт„узз = О.
(14.10) Гьгь — эв 11ри фиксированных значениях всех переменных, кроме переменной .гь, функция и = Х(хз,х2,...,зз;,а) представляет собой функцию одной злой переменной. Отметим, что непрерывность функции по переменной хь означает непрерывность указанной функции одной переменной. Очевидно, из условия пепрерывноСти ФУНКЦИИ и, .= Х(Х1,;Гзэ... э Х,„,) В ДаННОй ТОЧКЕ М ВЬПЕКает непрерывность этой функции в точке М по каждой из переменных:гз,хэ,... „.г,„,. Однако из непрерывности функции в точке ЛХ по каждозл из персменных хз.
хэ,...,хп, пе вытекает, вообще говоря, негл1зерывзлость функции в этой точке. з)тобол убе,плться в этом, рассмотрим следующие примеры: 1'. Л)ьз будем говорить, что фуззкция и = Х(ЛХ) = У(зг,у) непрерьнзна зз точке ЛХ на нскогорой прямой, проходящей через эту точку, есгли для:побой последовательности точек (ЛХи) этой п1эятзозз, сходящщлся к то лке ЛХ, соответству|озцая ззоследогательносп (Х(Мв)) значений функпии имеет ззределом часгное :значение Х(ЛХ) функзлии в точке ЛХ. Так как на прямой функция и = Х(х,д) представляет собой функцию одной переменной, то понятие непрерывности функции на прямой совпадает, очевидно, с понятием непрерывности указанной функции одной ') Термин «частное приращениел употребляется лля того.
чтобы отлвчить зто приращение от полного приращения (14.б). соотьет<'твунэщего произвольным приращениям Ьхз. Ьтм..., элт, всех аргументов тз хт, т» С З НКН( К( ЫННЫК ЕУНКЦИИ НКСКОЛ.КИХ НКРКМКННЫХ 493 л(временной. В частности, непрерывность функции в точке ЛХ по отдельным переменным х и у представляет собой непрерывность ее па прямых, проходящих через точку ЛХ и параллельных КООСЗДИНатг(ЫХЛ ОСЯМ. эДС>КВ>КЕЬЛ, Что ФУНКЦИЯ х д хд , п1 х2 + у2 Ф 0 и= т+д прн х +у непрерывна в точке 0(0, О) по каждой из переменных х и у, т. е.
непрерывна на каждой из координатных осей, но не является непрерывной на всех остальных прямых, щ>оходящлсх через эту точку, и по:этому не является непрерывной в точке О. Каждая прямая. отличная от координатных осей и проходящая через точку Г>(0, О), может быть представлена уравнением у = йх, где лс ф О. Очевидно, на такой прямой все значения функции постой янны и равны, Поэтому, если последовательность 1ЛХп) 1+ /ге отличных от О точек такой прямой сходится к точке О, то соответствующая последовательность значений функции имеет преlг дел, Так как при ь у= 0 этот предел отличен от нуля и не 1 Е лле совпадает с частным значением функции в точке Г), то функция разрывна в этой точке на рассматриваемой прямой. Непрерывность функции на координатных осях вытекает из того, что ее значения на этих осях равны нулю.
Может сложиться впечатление, что если функция двух псрс пенных непрерывна на ллобой прямой, проходящей через данную точку, то эта функция непрерывна в указа((но(й точке. Следующий пример показывает, "лто это, вообще п>воря, нс так. 2'. Рассьлоз рлэьл функцию х д при х +д фО, е и = Х(ЛХ) = тл -(- да О при тл -(- д" = О. докажем. что. хотя указанная функция непрерывна на.побой прямой. проходящейл через точку О(0, 0), она не является непрерывной в этой точке. Н йх самом деле„значения функции на прямой д = йт. равны, л, и поэтому х + при х — э 0 и — э О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
