Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 98
Текст из файла (страница 98)
1 2 3 Учитывая. что т = йп -1- 1, будем иметь вш плО з„(злл — 1)(т — 2) = соя " Π— соя " О лш О +... слыпО 1 2 3 В правой части (13.108) все показатели при косинусах и синусах зстнме, так что е<щп заманить сов ' В на 1 — гйп ' В, то в правой части (13 108) аолучитсл лтозочлеи, стспсэзи и ослсазэсэлтельно ывз О.
Положив = ыпз О, обозначим этот многочлен символом Е(з). а его корни символами он. оз,..., а„. Так ') Нас в дальнейшем будут интересовать значения О лишь из интервала 0((О(( г. твория числовых рядов ГЛ. 13 как " = аше 0 — ! 0 при В -э 0 и поскольку левая часть (13.108) стремится к единице при В -э О, многочлен Г(2) можно представить в виде = Г(я) = (1 — — ) (1 — — ')... (1 — — ) . ОСтается определить корни ог,н ,...,о,. Замечая, что эти корни соответ- ствуют нулям функции егп игр, получим ; 22, и.г сг = н!и —, ..., гг„= вгп ги гп 2 ГГ о! = яп! т Тел! самым формула (13.107) установлена.
2'. Положив в формуле (13.107) д =- х/т и считая, что 0 < /х) < кт. придадим этой формуле вид 2 Х вгп ыпх 1 1 и! т агав ш, т (13.109) Фиксируем любие (отличное от нуля) значение х и возьъгем два, произ- .И вольных натуральных числа р и и., удовлетворяющих неравенствам 2 — < а т,— 1 < р < и = . Тогда формулу (13.109) можно записать в виде 2 е эш "."'.
= П ' —, 1",.', "'( ) т эгг!— агп т (13.110) где л,()= П (13.11Ц т — 1 Прежде всего оценим ггг(х). Поско.гьку 2 — < р < и = , то аргу!! 2 менты всех синусов, стоящих в формуле (13.111), принадлежат интервалу ( — х/2. х/2). Кроме того. ясно. что для всех к, участвующих в этой формуле, ~х~ < 1.я/2 и, стало быть, )" Йл г 1г гг 2 1я 1З ибо — < —, т. е.
— < —, и поэтому сов — > — ). Так как для любого гп 2' 2т 4' ' 2т 2) /) из интервала 0 < 8 < 1/2 справедливы неравенства 1 > 1 — !3 > е ' '), ) Правое из этих неравенств элементарно вытекает из формулы Макло- рева: е " =- 1 — 213 + — —... < 1 — 2!3 + 26 < 1 — г, так как 232 <,.9. л,, (23) 2 2 ып 0< .,1х вгп и! ., Йя аш 2п! ягп т 1 1 .,1х 2 4сояа— 2т ДОНО:!ПЕНИЕ 2 го для всех номеров й. превосходящих р, т Х 81П 81Л > ! — 11 >11р . Ах ., 1л 81В щп щ т (13.112) 1 1 > Вг(я) > ехр — 28ш — ~~ . (13.113) 1П ..„!111 /! 11"-.881 81п" — / Имея в виду, что арг!"мент йл/п1 лежит в первой четверти и что для любовш,З 2 го 3 из первой четверти 1 ) —,' ) — ').
получим я Таким образом, ехр — 2 сйп — ту ) , йх/! ь=рв1 81П > ехР— — сйв — хт 1 — — ~ = ехР ( - — аш 2 ш !й — 1 й)/ (, 2р т) 1=~Н-1 Последнее неравенство позволяет следующим образом усилить оценку (13.113): ш . т,! 1 > Лг(я) > ехр ( — —, 8!и — '! . 2р гп) (13.114) 3'. Устремим теперь в формуле (13.1!О) число ш к бесконечности, оставляя фиксированными значение т, и номер р. Поскольку 111п гл сйп — = т. ,АК; 1 йш тл 81н — = й 1г, то существует предел левой части (13.1Н!), рав1Л 8 г 81П ный гйпг/т, и предел коне щого произведения П 1 — ', равный П1 . ~иг — 1 ещ ш ящ /! ) Эти неравенства вытекают из того, что отношение — ' при изменении ,Д 13 от О до к/2 убывает от 1 до 2/к.
Факт убывания функции еш,!/д в свою гсйп,31' совд очередь вытекает из того, что ( ' ) =,, (!1 — !я 13) < О всюду на О) 18 интервале О < 13 < к/2. Почле1шо перемножая неравенства (13.112)„записаняые для значений к = = р -Ь 1, р -Ь 2, ..., и,, получим следующую оценку для Лг(я): 470 теория числовых рядов ГЛ. 13 1 > )7г(х) > е Формула (13.110) в пределе при т э оо дает (13.115) "",'=и( -„".',) (13.116) 4'. Остае гся.
сохраняя фиксированным х „устремить в формуле (13.116) вомер р к бесконечности. Поскольку левая часть (13.116) от р не зависит, а предел !пп ))р(х), в силу неравенств (13.116) и теоремы 3.14, существует н равен единице, то существует и предел Тем самым разложение д:и вш х (13.102) установлено. 3 а м е ч а н и е. В полной аналогии с разложениями (13.102) для эш т и (13.103) для соэх можно получить раглошсеиил е бесконечные прогыеедегнзл гиперболических функций вЬ =, П (14- — ',,~ г.—..г г (2й 1)гкг Заметим, что глз разложений для э1п х.
сов гс вЬ х, сЬ х немедленно получа- ются разложения в бесконечные произведения функций гях, сгях и ГЬ х. сгЬ т. ДОПОЛНЕНИЕ 3 ОБОБЩЕННЫЕ МЕТОДЫ СггММИРОВАНИЯ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ Во всей гл. 13 мы намываю суммой ряда иь = и~ -1. и -1- иг -1-... -1- иг -1- .. Е г — ~ (13. 117) предел Б последовательности (о';,,) частичных сумм этого ряда (при условия, что этот предел сущесгвуег).
В ряде задач математического аиализа. представлягощих как теоретический, так и практический интерес, приходится оперировать с рядами, у которых последовательность гастичных сумм не сходится и суммы е ркагшишы е гл. 13 обы гном сльысле гш существует. Естественно, возникает вопрос об обобгцении попятил суммы ряда и о суммировании расходяпгегося в обычном смьюле ряда (13.117) с помогцью каких-либо обобиге1н~ых П(-„г„ (1 —,, ). Далее мы будем считать, по последний предел отличен от нуля, ибо когда он равен нулю, в1пх = 0 и разложение (13.102) установлено.
Но тогда существует и предел 1(ш Ег(х). Обозначим этот предел через Лг(х). Из неравенств (13.114), справедливых для любого яол1ера т, и из теоремы 3.13 вытекает. что ДОПОлШВВВВ 3 мтавдвв. В настоящем дополнении мы и осщновимся на некоторых обобщенных методах суммирования расходящихся рядов.
Прежде всего дадим общую характеристику тех методов суммирования, с которыми мы будем иметь дело. Разучшо требовать, чтобы обобщенное понятие суммы включа,лв в себя обычное понятие суммы. Точнее, рлд, схвдлщийсл в вбыщюм смысле и имемт)ий обычную сумму 5, двлзсеп имать обвби)снпую сумму, и притом таквюс равную Ь'. Метод суммирования, обладающий указанным свойством. называется регулярным. Далее, естественно подчинить понят»ие обобщенной суммы следтюшему условию: если рлд 2 иь имеет вбвб»»)еп»~ую сумму Гг, а рлд 2 гь имев»а. ь=г вбобч)гн»ц~н~ сумму 12 тв рлд 2 (йи» -)- Вгг), гдг А и  — лн»быс посгав- 1 — 1 лппые, имеет вбобще»трю сумяп) (ЛС -)- В1'). Рйегод суммирования, удовлетворяющий указанному условию, называют линейным. В анализе и в его приложениях, каь правило, имеюг дело лиигь с рвгулл)тыми яшмам»ими метода.ии суммирова»сил.
Остановимгя на двух методах обобщенного суммирования, предсзавляющих особый интерес для приложений. 1. Метод Пезаро ') (нли метод средних арифметических). Говорят, что рлд (13.117) су.имируем методвя~ гуезарв, если пбчдгствует предел средних арп4мегаичесьч»х ~аст»»»пых сумм зтвзв ряда 1пп (13.118) Посьолыгу все че»пныг частичные суммы Я „этого ряда равны нулю, а все нечесаные частичные суммы Вг„~ равны единице, то предел (13.118) существует и равен 1/2. Таким образом, рассматриваемый ряд суммируем методом Чезаро и его сумма в смысле Чезаро равна 1/2.
2) Считая, что х любое фиксированное вещественное число из интервала 9 < х < 2 г, рассмотрим заведомо расходящийся з) ряд сов йх = сов х -)- сов 2х + соз Зх -)- .. Е ь=» (13.119) ') Эрнесто Чезаро — и гальянскнй математик (18о9 — 1906). ) Расходнмость ряда (13.119) без труда усматривается из приведенного ниже выражения для его частичной суммы. При з7лвм предел (13.118) пазьщагтсл вбвби)ев»~вй в смысле Чгзаро с))мя»вй ряда (13.117). Линейность метода суммирования Чезаро очевидна.
Регуллрпвсть метода Че ~яро вытокщ т из примера 1, рагсмотренного в Дополнении 1 к гл. 3. В самом деле. из указанного примера вытекает. что если после;ювательность (5„) частичных сумм ряда (13.117) сходится к числу 5, то предел (13.118) существует и также равен 5. Приведем примеры рядов, не сходящихся в обычном смысле, но суммируемых методом т1езаро. 1) Рассмотрим заведомо расходящийся ряд 472 твория числовых рядов ГЛ.
13 Частичная сумма этого ряда Я уже подсчитана нами в примере 2 в конце '3 5 1'! х вш(п 4- -г!х — в!и— 2) 2 .5' 2вш 2 Подсчитаем среднее арифметическое частичных сумм: 5! 4- Я 4-... 4- Я, 1 вш т4- 2п, ыи— 2 1 (гов лгх, — гов(т -г 1)х) 4п в)п' —, 2 1 сов х — сов(п -~- Цх 1 2 4пв(п! х 2 2 Отсюда очевидно, что и! тяа4-...4-Я 1 и 2 Таким образол!. ряд (13.119) суммируем методом «1езаро и его сумма в смысле Чезаро равна ( — 1/2). 2. Метод суммирования Пуассона ) — Абеля. Этот метод суммиро!! ванна состоит в следующем. По данному рлду (13.117) состаеляе!пел степе!тай рлд и! т, = и! 4- изх 4- ивх +... 4- ивх Е ! †! г ! ь=! (13.120) /тле~ < 37.
(13.121) 11спользуя неравенство (13.121), оценим модуль й-го члена ряда (13.120). считая, что х — любое "!испо из интервала 0 < х < 1. Полу гим ~иах"-'~ < М~х)ь-' ') Симон Дени Пуассон — французский математик (1781 — 1840). Ясли указанный степе!и!ай ряд сходи!пел длл всех х из и!опсраала 0 < < х < 1 и соли сумм!а Б(т) этога ряда ил!сет лещи: пределы!ае,зпа !тше 1нп Я(х) е то'ом х = 1, та говоря!а„что ряд (13.117) суммируем метов !!-О дам Пуассона Абеля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
