Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 93
Текст из файла (страница 93)
Пусть к — любон номер, удовлстворяюший ус;ювию Й > т+ 1, а:г, --. л1обос значение аргумента из сегмента й — 1 < х < в:. Так как по условию функция «(х) нс возрастаст на указанном сегменте, то для вссх х из указанного сегмента справедливы неравс истаа (13. 36) «(Эс) < «(х) < «(Э' — 1) Функция «(х), оудучи ограниченной и монотонной, интсгрнру- сма на сегменте Эс — 1 < т < Эс (см. и. 5 э' 4 гл. 10). Более того, из неравенств (13.36) и из свойства 3' (см. и. 1 ~ 6 гл. 10) вытекает. что или «(ь) < «(х) дх < «'(Э; — 1). (13.37) Неравенства (13.37) установлсшя нами для любого Эе > гп, + 1.
Запишем эти неравенства для значений й = т ч-1.гп+2,....и, Правда, в конце и. 2 мы установили, что при о < 1 ряд (13.33) расходится, но остается открытым вопрос о сходимости этого ряда прн а > 1. В этом пункте мы установим сгцс один общий признак сходимости ряда с положительными членами, .из которого, в частности, будет вытекать сходнмость ряда (13.33) ирна>1. Теорема 1о. 7 (гаеорема Копли — Маклорена) . Пусть функция «(х) неотрицательна и пе возрастает вс~одЭЭ на ьиь лунрямоа .г, > им где т - любав фиксированнья, номер. Тогда числовой ряд гяды с ноложитильными члкнлми где н любой номер, превосходящий гас т+1 «'(н(, + 1) < «(х) дх < «(1п), гпн-2 «((а+2) < «(х)(1х < «(!г(,+1), т 1-1 «(и) < «'(х) дх < «(н — 1).
п — ! Складывая почлснно записанные неравенства, получим и — ! Е 1((пр*! 'пав!(1 (1338! М=пп-(-1 и Договоримся обозначать символом Яп !1-ю сумму ряда (13.34)„ равную 5„= '~' «(®). Ь=пп Приняв это обо:значение п учитывая обозначение (13.35), мы можем сх(сдующнм образом переписать неравенства (13.38)( Ьп — «'(га,) < ип < Ьп (13.39) Неравенства (13.39) позволяют без труда доказать теорему. В самом деле, из формулы (13.35) о 1евидно,. (то погщедовательность (ап) является неубывающей. Стало быть, для сходимости этой последовательности необходих!а и достаточна сс ограниченность. Для сходимосги ряда (13.34) в силу теоремы 13.2 необходима и достаточна ограниченность последовательности (Ьп). Из неравенств (13.39) вытекает,что последовательность (Яп) ограничена тогда и только тогда, когда ограничена пос!сдоватет!ьность (ап„), т, е, тогда и только тогда.
когда последовательность (ап) СХОДИТСЯ. ТЕОРСХ!а ДОКазаца. П р н м е р ы. 1) Прежде всего применим интегральный признак Коши 54ак,юрена для выяснения схолимостн обобщенного гармонического ряда (13.33). Поскольку ряд (13.33) можно 1 рассматривать как ряд вида (13.34) при гн = 1, «'(х) = — и Х" функция «(х) убывает и положительна на полупрямой х ) 1, теория числовых рядов гл. !3 вопрос о сходимости ряда (13.33) эквивалентен вопросу о сходи- мости поп!сдовательнопгн (ап), где й х' х='й и1- — 1 и — дт — 1 гг х — ! 1 Г 1 й 1их~,, =1ип !грп о ~1, при ш = 1. Е.п. 1 й!п«й Ь=2 (13.40) где !л' фиксированное положительное вещественное число. Ряд (13.40) можно рассматривать как ряд инда (13.34) прн гп = 2 и 1 1 (х) = я . ПосколькУ фУнкниЯ 1(ш) неотРицательна и не воз:я !пя х растает на по.!упрямо!4 х > 2.
вопрос о сходимости ряда (13.40) эквивалентен вопросу о сходнмостн последовательности (ай), где < 1п ' х 'г з« 1и| в и — 1в' Я 2 1 — д х=2 1 — д !и1их~',' = !и1и ы — !и1и 2 г=.з и 1 ,~ . !пях 2 при д ф- 1. при !з' = 1. Из вида элементов ай вытекает, что последовательность (ип) сходится при д > 1 и расходится при 13 < 1.
Таким образом. ряд (13.40) ся;одгт«ишя нрн, д > 1 и расин«)пгися, г«1ш 13 < 1. б. Признак Раабе. Признаки Далак1бсра и Коши бьыи основаны па сравнении ралхматриваемого ряда с рядом, представл пошли собой сумму геометрической прогре«тии. Естегтвепно, возникаег идея о получении более тонких признаков, основанных па сравнении рассматриваемого ряда с друшлми стандартными рядами, сходяШимигя или расходяшимися «мсдлснпес», чем ряд для геометрической прогрессии. В этом пункте мы установим признак, основанный па сравпспии рассматриваемого ряда с изученным в продьнц1.шем пункте стандартным рядом 1 1 1 — = 1-!- — -!- — -!-... !г 2" 3".
я —.. 1 113.1Ц Из вида элементов ап вытекает, что последовательность (ап) расходится прн сх < 1 и сходится при гх > 1, причем в пош!однем 1 случае !пи ип = . Таким образом, рлд (13.33) 1шсшодпьчся, й — гх: о — 1 прп ш < 1 !это мы уже установили выше другим способом) и сшодигпся ири гх > 1.
В частности, при ш = 2 ряд (13,33) переходит в ряд 113.24), сходимость которого мы теперь можем утверждать. 2) Ис«шедуем вопрос о сходимости ряда РУ1ДЫ С ПОЛОж14ТЕПЫ1ЫМИ "1ЛЕ11А5414 й(1 — ' ) >д>1 ~й(1 — ч ) <1~, (1342) то ряд 2 рь гходится (расходтпгя). П. Если срщссгпвуегп предел 11гп (1 — ) = 1, рь-~-~ ь рь (13.43) то ряд 2 рь гходиглся ори Е > 1 и расходится при Е < 1. Теорему П обычно называкэт признаком Раабс в предельной форме. Д о к а з а т е л ь с т в о. Разберем отдельно теоремы 1 и П.
Ц Для локазатольства теоремы 1 перепишем иеравспсз во (13.42) в пиле <1 — — )1 —— (13А4) рл й 1 рь Так как д ) 1, то найдется пскоторос чисто и, удовлстворяюпссс неравспсз вам д > и > 1. Разложио функцию (1 4- х) по формуле 54аклорспа с осзаточным членом в форме Пеапо (см.
и. 2 5 15 гл. 8), будем изшть (1-~ х)а = 1 4- ох -~-8(х). Полагая в последней формуле т, = — 11'й, получим (13.45) Поскольку пог гсдовазст носов являезся бесконечно малой, то ва- 8%й) 1,й чивая с некоторого помора йо, справодливо неравенство 8(1/й) (13.4б) Сопоставляя (1ЗА5) и (13.45), получим неравенство 1 — — ) ) 1 — — (при 1с > йо).
( Т- (13.47) Срапнсоис неравенств (13.41) и (1ЗА7) дает рьт~ г 1 1 (1п+~ 1) — < 1 — — — > 1 — — (при й > йо). ') Иозеф Лксдвиг Раабс швейцарский математик (1801 1859). ю ) )топочно. при ятом предполагается, что ряд 2 рь, по крайней мере ь 1 начиная с некоторого номера, имеет строги полвэкитгльнмг.
вишни. Теорема 1о.д (привнок Раобе) ').!. Если для всех номеров й. или ао кратшй мере почивая с нскотороео номера й, справедливо нгравгнствое) ГЛ. 13 теория числовых Рядов После,гнив неравенсгва можно переписать в виде 1 1 !м'г я" Рмг~ /г — < — ' > /пргг к. > 1-о). ь!3.48) рь Рг !й — Ц" 1; — 1 Поскольку ряд 113.4!) сходится при о ) 1 и расхо:!ится при о = 1, то неравенства /13.48) и теорема сраввения 13.4 позе«с««ног утверж;ппъ, гго ряд 2 рг сходится (расход«счев). Теорема 1.!оказана. ь=! 2) То шо так же, как и в признаках Далаыбера и Коши.
ыы сведем теореб — 1 му и к теореме 1. Пусчь сначала Т > 1. Положим е =, 2=1-!-е = Т вЂ” е. 2 По определению предела /13.43) для етого е можно указать ноыер /го, наРг» \ чиная с которого lс (1 — — — ! / < е, и, стало быль, справедливо левоо Рг неравенство /13.42). Если же 1, < 1, то мы положим . = 1 — Ь и, испопызоя определение предела !13.43), получим, .гто, начиная с некоторого номера йо, спрагед:шво правое неравенство /1ЗА2).
Теореыа 13.8 по.,шестью доказана. 3 а м е ч а и и е. Отан гиы, что в теореме 13.8 С!) в левом неравенстве /1ЗА2) нельзя гзять й = 1 /при эгоы сходимсюгь ряда может не иметь места). При Ь = 1 теорема 13.8 !П) «не дейсгвуег» !возя|ох«на и сходимостть и расходимость ряда). П р и ы е р.
Исгшедовагь вопрос о гходимосги ряда 3 Х: '- 3+г" рг, где рг. =о ч з ь 'г /а =сове! ) О). ь=г Легко проверить, что признаки Даламбера и Коши в применении к этому ряду «не действуют». Примеяпм при гнак !»ааб«ь Легко проверить. что Нетрудно сообразитгн что последняя дробь при й -+ оо стремится к производной фынкгппг о» в точке х = О., т.
е. стремится к 1по. В силу признака Раабе рассматриваемьш ряд сходится при 1п о > 1. т, е. при о > е., и расходится пра 1па < 1, т. е. при о < е. При о, = е вопрос о сходиыости ряг!а требует дополнительного исследования, гак как прим|ак Раабе «не действуег».
/1!гугим примером ряда, в применении к которому «не действует» признак Раабе., ыожет служить !гяд /! ЗАО). 6. Отсутствие универсального ряда сравнения. л!ы уже отмечали., гго признаки Д шамбера и Коши основаны на сравнениях рассматриваемого ряда с рядом для геометрической прогресс:ии, а признак !'аабе -- на сравнении с более ыедленно сходяшимся !или рагходяшиьюя) рядом /13.41). Естественно.
возникае г вопрос о гом, не сущестеушп ли токой универсалыгмй !предельно медленно!) сходящийся !или рлстодящийся) ряд, сравнение с которым позволило би сделать заключение о сходимошпо /или расходамости) любого наперед озшпого рядо, с полохсютельными членами. ~з йвсолютно и условно сходящинся ряды 445 Докажем, что шкот!! универса. гьного ряда не су!и гщпеувп. Пуст ь даны два сходящихся ряда ~ рг, и ~ рг,! обозна шм символами г„и г',, соответь=! ! †! отвеина их и-е остатки. Будем говорить. я!по рлд ~ р! !теди!псл мгдяень=! т„ нее, лм рлд ~ ргз если 1гш —," = О. Докажем, чгпо длл каждого сходяь=! — а т', щегасл ряда сущеглпеуетп ряд.
сходящийся медлешше апшгь ряда. В самом де !е, пусть ~ рг . шобой сходящийся ряд; г, - его и й остаток. Докажем, ! — ! что ря,ч ~ рг, где ! рг — — !т! ! — фт. сходится медленнее, чем рял ~ р!. !! г=! В самом дело, если т'„-- п-й остаток ря:!а ~ р'„, то т„ 1ш! —, = 1па = О. г!!окажем теперь отсутствие универсального сходящегося ря;!а, сравнение с которым позвогшло бы сг!слать заключение о сходимосги любого ааперед взятого схо:!ящегося ряда.
В самом деле, если бы такой универсальный сходящийся ряд ",, рг, существовал, то, гзяв для него построенный выше ряд г=! р!,, мы получили бы, что г=! 1па —, = 1па = 1ш! Ятт .! ч- !гтгг) = О. р! тг ! — т!.„. ! — ! р' г-! ьгть ! — 'ги ь-. Таким образом, иа сравнения с рядом " р! нельзя, едала!ль ла лючевая а г=! схадимости ряда ~ р', Аналоги шо г!оказывае!.ся отсутствие универсал!— ! ! ного расходящегося ряда, сравнение с которым позволило бы сделать заключение о ргнжодимосги побого наперед взятого расхо гящегося ряда. я 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
