Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 90
Текст из файла (страница 90)
). Таким образом, справедлива формула | в — 1 в--1 |(х) 12х = — |(и) + )'(Ь) + 2 ~ |(хгл) + 4~ тягле ~) +Л !7=1 !=О (12.29) где Л остаточный член. Формула (12.29) называется формулой пирабол или формулой Сом!ге!гни Докажем, что !кззп функция ф(х) имеет на сегменте "!и, Ь] непрерывнук1 четвг7ртунз производную, то на чтом сегм! нтг найдется такая точка 97 что остаточный член Л в формул. (12.29) равен (12.30) 1 Ь вЂ” а ) Из примера 2 п.
4 Ь' 2 гл. 11 вытекает, что выражение (Л(хгг . ) -1- бв Ь вЂ” о гя — хзл 4-47 (хвг 1) 4-7 (хег)) г учетом того, что =, пре„гсгавляет бп, б собой и гонга„гь, лежащую под параболой, проко Гящей через три точки графика функции Л(х) с абсцисгами хм 1, аггг 1 и х л. пгиьлижинныьс мктоды ГЛ. 12 Мы получим, что найдутся точка ~< на сегменте [ — 1<, О] и точка 62 на, сегменте [0<+1<] такие, что Г +1 24 24 о <'"« <1<а — с)г('--") с,— -6 -~ ' Х<'0(8 ) -ь Уео(Ы 00 ),1, У( — М -Ь 41(0) -Ь У(М 21, + Д и и 0 ь (12.35) где (12. 36) У( — 6) -~- 41(0) -Ь 1(6)) 'рак как величина (~ ') 1( ~~ ) 26 претставляет собой площадь фигуры, л< >кащей< под параболой и заштрихованной на рис.
12.10. то формулы (12.35) и (12.36) док<шывают, что опшбка, 6 совершаемая прп замене ] 1(и) <1и указанной площадью, имеет — 6 порядок 1<Ь. Ь Для вычи<шения ннтограл / 1(;г) <си, так же как и в хн'тодах о прямоугольников и т1<ап<ьпий, п1<едставим зтот нпт«г1оал в в«де суммы и интегралов <с с< ко 1 (и) <4г, + 1(я) Ии +... + 1" (;г) Йт. <сО :!: Применяя к каждому нз зтих интегралов формулы (12.35) и (12.36), мы и придем к формуле Симпсона (12.29) с вь<ражениеь< для остаточного члена (12.30). Сравнивая остаточный тлен (12.30) с остаточными членами (12.20) и (12,25)< мы убеждает<си в том, что формула Симпсо- Снова используя замечание в конце и.
1, мы получим, что на сегкюпте [ — 16+6] най<д<отся точка 0 такая, что б ж го -6с Г,(.<)» (12.34) 24 00 Из (12,33) и (12,34) окончательно получим 6 Вы'1ис:1ение ОН1'едк, !еннь!х интег!'АЛОВ 425 на дает ббльшукз точность, !см формулы прямоугольников и трапепий. В качестве нллю<трашлп применения формулы Симпсона о'о обрати.лся к вычи<леншо интеграла «[;го) = / с " <4л'), ограо ничиваясь д:!я пр<сстоты и!а*!внииа!и т<! Из «1!тип!тт! 0 ( л:0 ~ (1. Т10лагая «[Г) = е " и Ры'п1спяя п1зоизводц110 «<'![л) = 4[4х — 12<ге + 3)е "", без труда убедимся в том, что для всех л из с< гмента 0 ( л ( ло ( 1 во всяком случае ] «И![я)] ( 20. Исходы из оценки [12.30), можем УтвеРж,!атсч что ]с!] ( .
Ста.н! 1447<< быть. разбив сегмент [О, ло] всего па пять равных частей и заменив !за<к:мат1зиваемый инт<.с!зал с! мной, с!Оясцей в !донной !асти формулы Симпсона, мы вы пп лим этот интеграл с точностью до 1 ! 144 5' 90 000 б. Заключительные замечания. Еаждый из изложенных в этой главе методов вычи<лешия корней уравнений п определенных интегралов < о<серяк!<с<с! четко сфоряс!!ас ср<с<за!с!се<<1 плгор<спсяс для проведения вычислений. Другой особенностьи! изложенных методов является стсрсот<свссость !ех вычшлительных операций, которые приходится проводить па каждом отд< „сьпом шаге.
Эти две особенности обеспечивают широко<' применение изложенных методов для проведения вычислений на современных быстродействующих вычислительных машинах. Выше для пр!<бди>к<!нного вычшленпя интеграла [12.18) от функции «с1:и) мы исходили из 1зазбиения ~~~~~~~~~ сегашита [а, 6] на достаточно большое число и р а в н ы х частичных сегментов одинаковой длины 6 п из последующей замены функции «[х) на каждом частичном с<шмснте а<ногочтн',ноя соответственно нулевого.
первого илп второго порядка. Пег!я!и!иост!а во:!ника!о!цая при ~а~о~ подход<, ~~~а~ »<. 1"пстывает индивидуа.сьных свойств функпии «[л), Поэтому, естественно, возникает идея о варьировании точек разбиения основного с<!гасе!<та [а< 6] и выборе для каждой фиксированной функции «[л) !якого оптимального 1зазби<ни!! Основного ссгапнса [а, Ь] на сс„вообще говоря, не равных друг другу гастичпых ссгхсентов. которо<1 Обеспешвато бы мипихпп!ьну!О ве.и!н!Иу погрешности данной приближенной формулы.
В Дополнении к гл. 14 мы <х:тановпмся на реализации ука:занной идеи, принадлежащей Л.Н. Тихонову и С.С. Гайсаряну. ') Рассматрпваемьш интеграл н< выражае*ся через элементарные функции. Этот интеграл снироко применяется в статистической физике. теории т епдопроводности и диффузии. глйил зз ТЕОРИЯ х1ИСЛОВЫХ РЯДОВ Еще в элементарном курсе приходилось сталкиватьс:я с суммами, содержащими бескоис сисе число сюагаеъзых (ззапример, с суммой бесконечного чис за элементов геометрической прогрессии).
Такого рода суммы, называемые рядами, и пзучгнотся в настоящей главе. Мы установим, что при некоторых условиях ряды обладают свойствами, аналогичными свойствам конечных сумаз. й 1. Понятие числового ряда 1. Ряд и его частичные суммы. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Рассмотрим бесконе сную числовую последовательность из. иа,..., иь....
и формально образуем ззз элементов этой последовательности выражегпле вида из+из+,,.+ссь+... = ~с иь, ь. (13.1) Выражение (13.1) принято называть числовым рядом или просто рлдолз. Отдельные элементы изо из которых обре:зовапо выражение с13.1), принято называть члююми дазсиого ряди. Как правило, мы будем пользоваться для обозначения ряда символом суммы ~ . Сумму первых и члсзсвв датсого рлда будем зссззьсвапзь и-й ч а с т и ч и о й с у м м о й дазсивгв рада и обоз>зачать симова лом асс. Итак, о„= из+и„+.,.+иа = ~ иы Ряд(131) зсазьюаь=з ется с х в д,я щ и м с л.
если сходится пвследовательивспсь 1осс) часгпзсчзсьсх с умм этого улда. Прсз:этом ззредсл о' иоследвввтельзсвспга чхютичиых срмм 1оа) зсвзываеснсл с У и м в й дсисиого ряда. Таким образом, для сходящегося ряда, имеющего 427 понятия пьолового гядй 1+ д + (12 +... + (1'+... = ',1 ' (7Ь-'. 1:.— 1 и-я частичная сумма Я„этого ряда прп (1 ф 1 имеет впд 113.3) е Очевидно, что при ((7( ( 1 последовательность частичных ) В современнон математике, наряду с указанным выше понятием суммы, вводится поняти(" суммы ряда в различных обобщенных смы(.тах. Это позволяез суммировать в обобщенных смыслах многие расходящиеся ряды 1сы, дополнение 3 к втой щ(аве). сумму о', мы можем формально записать равенство В=~ Ь=-1 В супйчие. если 1пп Яв ие суи(сстоует, рлдлвззынаеппл р а, си — (ж тодлшижсл, Подчеркнем, что понятие суммы определено лишь для сходящ(тося ряда и, в отлн ше от понятия коне гной суммы, вводится посредством предельного перехода ).
Заметим. что рассмотрение числовых рядов есть новая форма пз1 и".Пия чи(ьловллх поспедователл.по(той, пбо: 1) каждохлу данн(ьв!у ряду ОднолнячнО ОООтветству(гг по(ледОВаплльность его чщг1и'1ных (1Ь1а1; 2) казкдои д1ннои по(-пдОВН(-11ьно( (п 1ог() Однозначно сООтветству('.т ряд, для которого эта последОВательность является по((ледовательностью его частичных сумм 1достаточно положить члены ряда равными иь = В, — В;, 1 прп лс) 1ии> =Я(). Одной пз главных задач теории чп( ловых рядов является установление признаков. По которым можно релшлть вопрос о сходимости нлн расходимости данного ряда. Примеры числовых рядов. 1.
Изучим вопрос о сходимостн ряда 1 — 1 + 1 — 1 +... = ~( ( — 1) ь '. (13.2) Ь=-1 Поскольку последовательность его частичных сумм Ял = 1. Яв = О, ..., Я.в 1 = 1, Язв = О, не имеет пр(*дела, ряд (13.2) расходится. 2. Рассмотрим ряд, составленный нз элементов геометрической прогрессии: 428 ТЕОРИЯ ЧИСЛОВЫХ 1'ЯДОВ ГЛ. 13 1 сумм оп сходится и имеет предел, равный . Таким обра1 — д зом, прн )<1! < 1 рассматриваемый ряд сходится и имеет сумму, 1 равную 1 — 4 При ~д( > 1 из равен<.тва (13.4) о <еввдно, что по<шедовательность оп (а стало быть, и рассматриваемый ряд) расходится.
11)н< (<)! = 1 расходимость ряда (13.3) усматривается непосредственно, В самом деле, при д = +1 о„, = и, расходпмость после,<овательности ло очевидна, а при <7 = — 1 ряд (13.3) переходит в изученный выше ряд (13.2). 3. Пусть и любое фиксированное число. Докажем, что ряд т А — — 1 сходится н имеет сумму, равную е". В п. 2 3' 15 гл. 8 мы получили разложение по формуле Маклорена функции еи е — ! 1+ + + "+( )+Д(): (136) Где. Л (л) = — ',е"' (0<0<1). Из формул (13.6) и (13.7) мы получим (13.7) 1+ — "+ — '+... + ',~ — .'"' < ~"~ е~'~. (13.8) 1! 2! (и — 1)! и,! Обозначая через Ьп «-ю частичную сумму ряда (13.5), мы можем переписать неравенство (13.8) в виде (13.9) Поскольку прп,побом фша;нрованном и 1ш< — =.
О в), и кое о! ') Символом О! мы обозначили число 1. е) См, пример 3 из и, 3 3 3 гл. 3. то правая часть неравенства (13.9) представляет собой элемент бескон<.чно малой по<:<едоват<.льностп. Н<з зто и о<зтп<чает, что по<хледовательность (оп) сиодпп<си к '<ислй е". Стало быть, <л ряд (13.5) сходится и имеет сумму е".
ПОНЯТИЕ 'П1ОЛОВОГО 1'ЯДА 4. Совершенно аналогично, используя формулу Маклорена для функций вш т. и сов х, можно доказагь7 что ряды 3 1,7 '- 1 1)7 1, лс — г з! вг) 21 ' " 12У вЂ” 1)! Я=-1 и ~бп.с.р — Я„~ < е. В качестве !следствия из этого утверждения мы шглу шм следующую основную теорему. Теорема 13.1 (критерий Коши для ряда). Для того чтобы ряд 2; сля сходился, псобходгсмо тл доститпотсо7 чтобы Ь=т для любого тгюлоэю1птлельтсого чтссли г тсогиегсггя !соме)г лч тпихоп, что для осех номеров тс. удовлетворяющих условию гс > Х й для осгх тситурилютых чисел р тс-'-17 ссл < г. ! — --пэ ! (1 3. 10) Для доказательства этой теоремы достаточно заметить, что вели шна, стоящая под знаком моду.,ля в неравенстве (13.10), равна раЗНОСтИ ЧаСТИЧНЫХ СУММ Япг., — О',7,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
