Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 91
Текст из файла (страница 91)
ПОдЧЕрКНЕМ. ЧТО КратЕрИй сходимости Коши представлясст в остновном теоретический интерес. Его ис:пользование для практических потребностей установления сходпмости или расходимости тех или иных конкретных хт л' х ч ( — 1) хт 1 — —,' + — — — '+...=~ 2! 4! 6! (2У вЂ” 2)! тс-..1 при любом фиксированном значении х сходятся и имеют суммы соответственно равные вшх и сов т,. ЕПредоставгтяеьг чптате„ио самому убедиться в этом.) 2.
Критерий Коши сходимости ряда. Так как вопрос о сходимостп ряда. по определению, эквивалентен вопросу о сходимОсти пО( 7!едоватстльиОсти стгО частичных си ыхт. то мы получим необходимое н достато !нос уг:ловие сходимости данного ряда7 сформулировав критерий сходимостп Коши для пос тседовательности его частичных сумм. Ради удобства приведем форМуЛИРОВКу Крвтсрня КОШИ д.,ся ПОСсгЕДОВатЕЛЬНОСТИ.
ДЛя тюгО чтобы последовителысосхпь 1'Огст! была сходя!с)етуся7 необходимо и достаточно. чтобы для любоггг полггоя итпельтсоггг числа г ссаилелся, тюлсер Х тпаксгй7 ыпо для осех номеров п„удоолетсорятощих услооито тг, ) Хг и для все е патурильтсых р (р = 17 2. 37... ) 430 ГЛ. 13 ткогия числовых рядов рядов, как правило, сопряжено с трудностями. Поэтому наличие критерия Коши не снимает вопроса об установлении других практически эффективных прллзнаков сходимостн лл рассходллмости рядов.
Из теоремы 13.1 легко и:лале'ль два элементарных, по важных слслдствия. Следспсвие 1. Если ряд 2 ив сходгипссй то последоаательссость гп = 'л„иь является бесхосючпо малой. ага+С Принято называть вели лину г„п-м, о с т а сп к о м ряда 2; иы Чтобы доказать с'ледствие 1, достато пло доказать, что в=1 для,;побого е) 0 наидется иохю11 %таков. лто ~ссп~ ~ (е п1ли сс )Лс. Поссюднее иеравслн:тво непссс1ледственно вытслкас;т из нсл1лавенства (13.10).
справедливого для любого р = 1с 2, 3,..., и из теоремы 3.13, Следствие й (пеобходимое условие сходимости ряда). Длл сходимост:и ряда 2; ив пеобходпмос чтобы послсдоеаСс — —. 1 тЕЛЬЛСОСтЬ ЛСлс Плп иэ,... ЧЛЕССОО СППОга ряда яаЛяЛаСЬ бЕСПОССЕЧНО лсалой. ..1остаточно доказать, что для данного сходлпцегося ряда и для любого е > 0 найдется номер сло такой, что прп и ) Ло (лс„) < е. Пусть депо любое е > О.
Согласно теореме 13.1 найдется ллссхле1л Ж такси, *сто при сс, ) )ссс лл д„ля лсобоео лсслт11сального р выполняется неравенство (13.10). В частности, прп р = 1 это нс"равсснство ихюет вид ~~С,с+1/ < Е (Прн и, > Х). (13.11) Если теперь положить номер Ха равным Хв = сл" + 1, то при и ) СЛсСС В ССЛСЛ1 НСРаВЕНСтВа (13,11) ПОЛУЧПМ (ССсс! < Е, Чта И тРС- бовалось доказать.
По другому следствие 2 можно сформулировать так: для сходимости ряда 2 ссь пеобходимсс, чпсобьс 11ш пв = О. Таким об- Ь вЂ” с асс рсшом, при исследовании на сходимость данного ряда следует прежде всего посмотреть, стремится лп лс ллулю й-й член этого ряда прп Й вЂ” л эо. Если это не так, то ряд заведохис расходится. Так, например, ряд 431 нсгнятин ик:лоного гядя заведомо расходится, ибо 1пп иь = 1пп, = —. ф О.
уг 1 ь †, в-э,. зуг -'; зову э Аналоги'сно 1гасходнмоссь угкс! гыу я!нного Вы!!се 1ггсда 2 ( — 1) ь-! ь=! вытекает нз того. что 1пп ( — 1) ' не еущеетвуеш !с в — гсс Подчеркнем. однако, что стремление к н1лю К-го члена ряда при )с — г оо яв.'сгсетс!г! лисаь необходимым, но не доетатошсым условием еходимоети ряда. В качестве примера рассмотрим ряд (13.12) я вЂ~ Этот ряд обычно называсот горл!отеческим рядом. Очевидно, что для н!1гыопичеекого ряда выполнено необходимое ус!тонне еходимоети.
иоо 1ш! — = О. Докагкеьс, однако, что этот ряд рас!с-гж у ходится. Вос:пользуемся критерием Коши. Докажем, что для положгвгельного числа е = 12!2 не еущеетеует, такого номера Х, что при н ) Х для лнгбого натурального р (13.13) я †! В гамом деле, если взять р = н,то для еколь угодно больисого и 2п Е 1 1 1 — > — и=-. У 2а 2 ь=н-~! (Мы уч.тп, что в поп седней сумме н слагаемых и что наименьшее из этих слагаемых равно 1!!2!!.) Итак. неравенство (13.13) оказывается невыполпсгнныьс, каким бы бо„гьшнм мы ни взяли номер Х. В силу критерия Копш ряд (13.12) расходится. 3.
Два свойства, связанные со сходимостью ряда. 1". С2снб2гаеыеание к!!меч!с!гас! игала члшшв ряда (ил!и добавление к ряду коне а!!ого число, членов) не агпсяеп! на еходимоеть или раеходимоспсь этого рядо,. Чтобы убедиться в этом, достаточно заметитсь что в результате указанного отбрасывания (и.си добавления) членов, вее чаетнчные суммы этого ряда, начиная е некоторого номера, изменятся на одну и ту же постоянную величину. 432 Г21. 13 ТЕОРИЯ ЧНС''!ОВЫХ Р51ДОВ 2'.
Если с оспличная осп нуля постол!исая, исс, —— — сит пи) ряд ~, сс~ с:ходится тогда и сси)лько тогда, когда схс)дссгсс— й-.! ся рлд 2 иы ь=-! Если обозначить п-е части !ные суммы рассматриваемых рядов соответственно через о и эсс. то очевидно, что э, = сэп. Из последнего равенства вытекает, что 1пп Я,', существует тогда и и — с э« тс)лько тесла, к()гда сУЩОГ! ВУс)!' 1)ш Оп. с), 3 2.
Ряды с положительными членами 1. Необходимое и достаточное условие сходимости ряда с положительными членами. В этом параграфе мы рассмотрим ряды, асс члессы которыа ссеотрицатсльпы. Следуя установившейся традиции, мы будем называть такие ряды рлдами с полоспсительтыми члсссими (хотя правильнее было бы употреблять термин «ряды с неотрицательными членами»). Что же касается рядов, все члены которых строго больше нуля, то такие ряды мы будем нж)ывать рлдалнс со строго ссолоэсссстелысъсмсс членами.
Ряды с положптслы!ыми члс;нами сами по себе часто встреча!отся в пр!сложениях. Кроме того, их предварительное изучение облегчит изучен!се рядов с членахш любого знака. В дв.чьнейпсем, чтобы подчеркнуть, что речь идет о ряде с положительными членами, мы часто будем обозначать члены такого ряда символом рс, вместо иы Мы ыожс',ы сразу жс', Отхн)тись ОсновнОс) характерпстичес:кОс! свойство ряда с по. п)жительными членами; ссоследоеательпость тсспичных сумм спакого ряда,япллхяпся ссеубыпающш1. Э!'о позволяет нам доказать следующее утверждение. Теорема гэ.2. Длл того чтобы ряд с полоэссиспелысьсмсс членалнс с:годилсл, необходимо и достато"нсо, чтобьс, послсдопатеяьппсспь частичны ь! сумм этого ряда была огроссссчссса.
Н е о б х о д и м о с т ь следует пз того, что всякая сходящаяся пос тс)довс!тес!внес)ть является ограниченной (в силу теоремы 3.8). 1 о с т а т о ч н о с т ь вытекает из того, что последовательность частичных сумм ссе убывает и. стало быть, для сходимости этой пос педовательности достаточно, чтобы она была ограничена (в силу теоремь! 3.15). 2. Признаки сравнения. В этом пункте мы установим ряд признаков, псыво)сяющпх сделать закли) п)нне о сходпмостп (или расходимостн) рассматриваемого ряда посредством гусс!с!се!с!!я 433 гяды с положиткльными члинлми его с другим рядом, сходимость (или росхос)имоспсь) которого из нес пи са. Теорема 13.о.
Пусть 2 рь и ~; р' доо, ряда с ссолознлся=! спсльнымп слшсамп,. Пусть, долю... для осех номероо Й сссйхссседлиео !!грос!снсспссс! с рь ~ ря. (13.14) I Рь ~~ с!1эь; (13.15) где с — любая полозюителъная постоянная. В самом де.се, в Ж силу и. 3 3 1, вопрос о сходимости ряда 2 рс! эквивалентен я=! вопросу о сходнмости ряда 2,(ср,':,,). Прп этом, конечно, мажь —.! но требовать, чтобы неравенство (13.15) было выполнено, лишь начиная с нском>рого достаточно болыпого номера й.
Тогда сходимость ряда 2 р~~ оленет зсс собой с!ходимос:сссь ряда ь=! 2 ру,,; рааходимос:ть ряда 2 рь олечет за собой рисходилсаспсь ь.= ! ь=! ря,да 2 я †! До к а пател ь с т в о. Обозна шм н-е частичньп суммы рядов 2„рь н 2„р' соответственно псрез Яп и Я„'с 11з неравенства -=! (13.14) заключаем, что Я„< Я,'г Последнее неравенство означает, что ограниченность пос ледовательности частичных сумм (о„') влечет .га собой ограниченность посследовательностп частичных сумм фп) и, наоборот, пеограпичеппск;ть последовательности частичных сумм 1Яс,) влечет за собой нс.огранн сонность последовательности частичных сумм (Я,'Д. В силу теоремы 13.2 теорема 13.3 соссагана.
3 а м е ч а н и е 1. В условии теоремы 13.3 можно требовать, чтобы неравенство с13.14) было выпо„псено не для всех номеров сз а лишь но;чиная с некоторого пол!ори lс. В самом деле, в сплу и. 3 3 1, отбрасывание конечного числа ч.левов не влияет на сходнмость ряс!а. 3 а м е ч а н сл е 2. Тесэрема 13.3 оспсаньчпся спраоедлиоой, если о условии отой спсоремы,заменить не1аоенсспссо (13.14) с!ледусоцим нераосссстоом: твогия нис ловых Рядов ГЛ. 13 Следствие ия теоремы 13.3. Если 2'рй рлд с нолозсси- й=1 тельными члел!ами, 2 рй рлд со старого с!с!лозсстлтег!ьтсыми й=1 члтсами и если суще!!таует коне'смый, тсредел 1нн 7 — с+ Л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
