Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 89
Текст из файла (страница 89)
ВЫ~1ИС7!Е1!ИЕ ОПРЕИЕЛЕННЬ!Х ИНТЕ!"ВАЛОВ 415 ленных интегралов; месводом нряморгольнииоо, лсеспссс)ом трапеций и ллеспсес1ом парабол,, Основная идея этих методов заклю сается в замене; подынтсгральной функции г'(х) функшсей более простой природы многочленом, сювпадаинпнм с 1 (х) в некоторых точках. Для уяс- 6 пения этой идеи рассасотрим при хсемсых 6 интеграл ( 1(х) с1хэ -6 представляющий собой площадь узко!с криволинейной трапе.- ции., лежащей под графиком функции у = Г(х) на сегменте ( — 6,, 1!) (рис. 12.7). Заменим функцспо с (х) многочленом нулевого порядка, а 6 именно константой 7(0).
Прп этом интеграл / ((х)с!х приблп— 6 женно заменится с! и>шасйио ссрямос1асмеьниисй заштрихованного на рнс. 12.8. Ниже мь! покажем, что прн определенных требованиях на 1'(х) ошибка, совершаемая при такой замене, имеет — Ь 0 6 х — 6 О 6 х Рис.
12.8 Рис. 12.7 Рис. 12.9 порядок 6 . Заменим. да сее. функцию 1(х) много шеном первого порядка, а имесшо линейной функ!!ней р = Йх + 6, совпада- 6, ющей с !(х) в .кочках — 6 н 6. При этом иигеграл / 2(х)с1х — 6 приближенно заменится гслощас1ью ссрямслсссснесйесос1 гпрагсес1иеь заштрихованной на рис. 12.9. Ниже мы покажем, что при определенных требованиях на 7" (сг) ошибка, совершаемая при такой 416 гл.
12 ПГИНЛИжШШЫН МИТОДЫ заъшнс',, также имеет порядок 1Г . Зам)'.ним, наконий функцию ф(,с) многочленом второго порядка, т. е. параболой у = А:гг + + Вх + С., совпадающей с 1(х) в точках — 1)ч О и 11. При этом Ь интеграл ],1'(х) 7(х приб:шженно заменится -Ь 7)лощад).)о ф))гура~о лес)со)цей )юд )н1)аболой и заштрихованной иа рис. 12.10. 11иже мы покажем, что прн определенных требованиях на функцию 7"(х) ошибка, соверппп)мйя нри тйкой )йм1'.не, имеет порядок /)Г.
Ь Если требуется вычислить иптс грал ] 7"(х) 71х по любомУ сегментУ [онй], то естественно этсп сетки)нт рйзоить нй достйтош)о больше)1 шсь)о хилых сегментов и к каждому из этих се) ментов применить изложенные вь)ше рассуждения.
При этом мы и придем к методам прямоуголь- -1) О Ь х ников, трапеций и парабол в их общем виде. Детальное и:шожение каждого пз этих трех Р с 12 Ш метоДов Деетса ниже. ЗДесь же мы сДелаем олпо важное.' для да'1ьнейпв!ГО заме 1ан!и. 3 а и е ч а н и е. Лусть функция 1(х) непрерывно, ни, сегМГНтг, ]Оч 1)], а, Х1, тг,..., Хп . НтОШГ)рЬ)ЬЕ Н)ОЧКи СегМСНта ~а, У]. Тгт1а, па этом сегменте найде)пса, точка с, )покоя) ппо среднее 7(х)) + 1(х ) -1- ..
+ 7(х„) ирпфме)плсчсское равно ф(с). 7! В самом деле, обсыначн и через )п н Л) точнь)е )рани функции 1'(Г) на сегх|енте (а, Ь]. Тогда для любо)-о номера к справедливы неравенства Гп < 7(хь) < М (17 = 1,2,...,и). Просуммировав эти неравенства по всем номерам 17 = 1,2,....,и, и поделив результат на пч получим . 1(х)) Ч- 7(хг) -Г... -1-1(х„) гн < и, "1ак как непрерывная функция принимает .побое промежуточное ')вй Гение, зйк„!х) 1еннО1'. Ь!ежду" 7п и М., то на сеГыен'Ге (а.
1)] найдется точка ~ такая, что ф(с) У( ')) + 1(х)) +. + ) (х ) (12.17) и 2. Метод прямоугольников. Пусть требуется вычислить интеграл Ь (12.18) ) (х) 71х, 417 ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГ!та ЗОВ Разобьем сегвннт [сьЬ) на и равных частей при помощи точек о =- хо < х2 « ... хеп = Ь. Обозначим через хгь 1 греднюкз точку сегмента (х21 2, Х21) (рпс. 12.11).
Метод прямоугсиьников заклнптается в замене интегра„са (12.18) суммой 11 (Х1) + С (ХЗ) + . + У(Х2п — 1)) площадей прямоусольников с высотами, соответственно равны- Ь вЂ” а, ми 1(:г21. 1), и основаниями, равными хгу — хзь 2 = — ' (этн прямоуголышки заштрихованы па рис. 12.11). Таким образом, справедлива формула Г )'(х) с1х = — ()'(Х1) + ~(хз) +... + )'(Хзп 1)) + Л., (12.19) и Л = (,) г'с~1(11). (12.20) 24 ля С этой пелью оценим сна- -~- 6 гала / 1(х) Нх, с ппая, что (хс) — а Хо Хс Х2Ь-2наг-сяае Х2п сруннссстл, 1'(х) имеет нс1 сегменте ( — 6, +11) нгпрерыстную вторую прсзстзвосьную. Для этого подвергнем двукратгтому интегрированию по частям каждый пз следующих двух интегралов: Рис.
12.11 т! 1 (х)(х+ 11) с1х, 22 =- 1 (х)(х — Ь) сгл 14 В.А. Ильин, Э.Г. Позняк, часть 1 где Л остаточный член. Формула (12.19) называется сборллулой прямоугольников. Докажем, что если функция 1(х) имеет на сегменте (а, Ь) непрерывнуто вторую производную. то на этом сегменте найдется такая точка гй что остаточный член Л в формуле (12.19) Р 1ВЕН 418 пРиБлиженные методы ДО!я первого из этих интгтралов получим ГЛ.
12 У! = 100(х)(х+1з)вг1х = [(х+1з)!)1'(х)) — 2 |'(х)(х+6) гух -Ь -Ь О =- ~'(0)Ь2 — [2(х + Ь,) |(х)) +2 |(х) г1х =— = !"(0)1з~ — 2|(0)6+ 2 |(х) г1х,. |( )(х)(х+ 6)вг1т, + — |~ )(х)(х — 6) г)х = — и О Ь = — —,~! гЯ;) (х+ 6) г!з:+ —,,~(~)(~2) (х — 6) г1х = — Ь О Ьз !3 Ьз ~.гз~(с )+удз(с ) 6' б 3 2 В силу замечания в конце и. 1 на сегменте [ — Ьз+6) найдется точка 0 такая, что |( )(г!) ДО!я второго пз интегралов совершенно аналогично получим !г = — У (0)6 — 2 ! (0)6+ 2 ! (х) (х. О Полусумма полученных для 2! н 22 яы1зажеций приводит к свлессуюшей формуле: Ь | |(х) гух = 2|(0)6+ (12.21) — Ь 0 -~- 1з Оценим величину, применяя к интегралам Уг н 12 фор- 2 мулу среднего значения и учитывая неотрицательность функций (х + Уз)2 и (х — 6) .
Мы шшу шм, что найдутся точка с! на сегменте [ — 6,0) и точка (2 па сстмепте [О, 1!) такие, что О гг вычислкник ош кдклкнных инткгвллов 641, Поэтому для полусуммы мы получим следующее вы- 2 ра жение: Ь 4- 14 1г' ~(2)(, ) 2 3' Вставляя это выражение в (12.21), получим, что (12.22) Где Л = — ('(21(г1)(26)а ( — 6 < г1 < 6).
(12.23) Так как величина 27" (0) 6 представляет собой площадь прямоугольнпкаг заштрихованного на рис. 12.8, то формулы (12.22) и (12.23) доказывшот, что ошибка. говершаемая при замене ( 7'(х) г(х указанной пльпцадью„имеет порядок 6' . а — Ь Ь Таким образом, формула ( )'(х) а(х — 24'(0)6 тем точнее, — Ь Ь чем,мененге Ь,. Поэтому для вычисления интеграла ( 7(х) <1;г естественно представить этот интеграл в виде суммы достаточно болыпого числа п, интегралов и к каждоы1 из 1казанпых пптег1)2лов пригн.пить ф01>мул1 (12.22).
У патывая п1ги этом., гго длина сегмента [хэь 2, хгь] Ь- а, равна ', мгя пшгучим формулу прямоугольников (12.19), а в которой Л = Л1+Л2+...+Ла — — '. ф'1(гн)+~(~1(02)+ +Хбй(41гг)1 = 24гн (ь — а) т~ ~(пг) -~- 7~ ~(эг) + . . 4- 1~ (ьм ) (ь — а) г(2Р (1) 24аг И 24аг (Здесь а < гг < Ь.
Мы вогпользовались формулой (12.17) для функции ( ( г (х) . ) 14* 420 пгиьли1киииык мктоды ГЛ. 12 3. Метод трапеций. Пусть, как и вылив, требуется вычис— лить ллнтеграл ь 11х) 11х, п [12.18) Разобьем сегмент [а, Ь] на и равных частей при помогци точек а = хо < т) < х2 « ... х„.= Ь [рис. 12.12). Метод трапецшл заключается в замене интеграла 112.18) суммой „, О[хо)+П ))+[У[ )+У[х П+".+й .— )+Х[хаЮ = — у'[а) + )1Ь) + 2 ~) .1[х)ь) Ь вЂ” 1 плогцадей т1лш(еций г основаниями, соответственно равными 6 — а 1[ха 1) и 1[ха), и с высотами, равными хь — хь 1 = — (эти П трапеции заштрихованы на риг.
12.12). Таким образом, справедлива 1[)ормула а У(х„) п — 1 л ~У'1(аь)) л В., (в.И) Х„) Х„ 6=1 а хь х) х2 Л [6- )" У(2)[г) 12пь 112 25) -)-6 Оценим сначала интеграл [ 11х)(1х, слитая, что функция — 6 "[х) имеет, иа сееме)лгпе [ — 11, +11) иег)рерывг(л(и) вторую произ- 1)одг(рло. где й остаточный член. Формула [12.24) называется формулой' танюг)еций. Докажем, что ел ш функция )'[х) имеет на сегменте [о,д) непрерывную вторую производную. то па этом сегъ(анте яайдется такая точка гб что остаточный ч:лен Л в формуле [12.24) имеет впд ! 2 421 -( 6 Подвергая интеграл | «(21(х)(х2 — 62) (!.:/) двукратному инте— 6 грирова)ппо по частям, получим ВЫЧИСЛЕНИЕ ОНРЕДЕЛЕННЬ!Х ИНТЕГРАЛОВ Г /'"( и*'- ') ° =(/'(*и*'- '))"- |и() '= — 6 — 6 (-6 .) 6 = — 2(«( — 6) + «(+11))1) + 2 «(х) (1х.
(12.26) В силу (12.26) приходим к формуле Г «( ) Их =- «( 6) «(/) 26 + К 2 (12.27) гд('. 77 = — — «(21(Н)(26) ( — 6 < Н < 1(). (12.28) «(х)((х+ «(х)(1х+... + «'(х)/1х. ( хо — 1 П1плменяя к каждому пз этих интегралов формулы (12.27) и (12.28), мы и придем к формуле трапеций (12.24) с выраженном для о('тато )ного члена (12.25).
Х( — /() -Ь «(/1). Так как ве.шчина 26 представляет собой площадь трапеции, заштрихованной ца рис. 12.9, то формулы (12.27) и (12.28) доказывают, что ошибка, совершаемая при замене 6 «(х) ((х указанной п/10п(а/дыО, им()ет 1Н)ряДОк 1)Г . — 6 и Для вычп(шения пнтшрала | «(х) ((х, как и в методе прямо- О угольникоВ, !И)едстаВим этот инт('.тра/1 В Ви/[е с1ммъ) до(татОчно болыпого числа и интегралов 422 ГЛ. 12 ПРИБЛИ7КЕИНЫЕ МЕТОДЫ 4.
Метод парабол. Для вьгшслення интеграла з |'(х) г!х (12.18) а снова разобьем сегмеят [а,б] на и ра,нных частей прп помощи точек а, = хо < Х217 — ! < тз « ... хг„=- Ь п обо- значим чере:1 хгл ! серели- Риг. 12.13 ну сегмента [хгл г7хзл] Метод парабол заключается в 1амене интеграла (12,18) суммой ([7'(11!о) + 4У(т1) + У(хз)] + [г'(хг) + 4|(хз) + У(х14)] +...
.. + [У(х271-2) + 4Х(х21 — 1) + У(хзв)]) = 71,— ! и.— 1 = Ь 1( ) +у(ь) + 2 у 1(хгЛ) +4Еу(хгг 1) Ь вЂ”.1 ь —..о площадей фигур7 заштрихованных на рис. 12.13 и представляющих гобой криволинейные трапеции. лежагпие под параболами, проходящ!Еии через три гочки графика функция ф(х) с абсциссахп! Т21 2. х2л 1 И тгл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
