Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 81
Текст из файла (страница 81)
что прн О < М < Л справедливо неравенство 1(1 -Е »Л1) — 1[1) < С. Случай .х» < О расгматривается аналогично. Перейдем теперь к доказательству утверждений 1). 2) и 3). Д о к а з а т е л ь с г в о г т в е р ж д е п и я !). Пусть е — любое фиксированное положительное число. Гак как длина 1(3) всей кривой Ь.
определяемой параметрическими уравнениями (1!.3).является точной верхней гранью длин вписанных в эцс кривую ломаных. отвечающих всевозможным разбиениям сегмента [о, 3(, то для дашюго е > О можно указать такое разбиение Т сегмента [о. 3(. лля которого длина соответствующей ломаной, вписанной в кривую То отличается от 1(3) меньше чем на -/2. Добавим к разбиению Т*" точку 1. В силу леь»мы этого параграфа и определения длины дуги длина ломаной. отвечающей полученному разбиению Т* сегмента (о. 3(. отличается от 1(3) меньше чем па еХ2, и зта ломаная имеет своей верши»юй »очку ЛХ кривой, которая соответствует точке 1 сегмента [о, 3(.
Д о к а з а т е л ь с т в о у т в е р ж д е п и я 2). Так как непрерывные ца сегменте [о, 3( функции ".(1) и м(1) равномерно непрерывны иа этом сегменте. то»ю заданному е > О можно указать такое д > О, ччо для любого разбиения Т ссгмепча [и, 3( с длипаыя части шых сегментов [1, целыми»»и д, выполняются неравенства (ьэ(1,) — Р(1, »)( < —, (с»[1,)— 2ул2 — е'.(1, »)( < —. Поскольку длина 1, звена ломаной. отвечающей,»ацно2ь»2 му разбиению, равна [ьэ(1,) — у[1, »)(ч + [»Э(1,) — О(1, »)(ч. чо, о к»видно, 1, < е,»2. Расс:мотрим теперь любое фиксированное разбиение Т' сстмепта [о, 3] с длинами частичных сегментов, меньшими Л.
и с»обавим к цену точки разбиения Т' (см, доказателы:тво утверхсдения !). В результате мы получим разбиение Т, которому отвечает ломаная. вписшшая в кривую Е и уловлетворяющая всем углов»»ям утверждения 2). Доказательство утверждения 3). Пугтьломаная ЛХоЛХ» ... ЛХ»»ЛХ»ЛХ з.»... ЛХ„удовлетворяет условиям утверждений 1) и 2). Убедимся, что длина как»пой части кривой Хэ стягиваемой любым звеном расгматрнваемой ломаной, меньше е.
В самом, теле, иуг:гь 1», длина »асти ЛХ», »ЛХ», ,кривой Е. а 1» длина звена ЛХ»»ЛХ» ломаной. Тогда, в длнпй дхти кривой 377 силу условий утверждения !), вынолняегся неравенство 2 (!а — )а) < -72. ?;=? Поскольку каждое слагаемое !е — 1а иос ге,нгей суммы цеотрицательно, то ()а — 1а) < с??2. Ото?ода и яз неравенства 1? < е??2 и вытекает требуемое неравенство й < е. Понятие длины дуги пространственной кривой, заданной пар!!к(етри нк)к!!к(и урггвненггггыи (11.5), вводится в по:гной аналогии с понятием длины дуги плоской к1)иной.
Рассматриваются длины 1((() ломаных, вписанных в кривую Л. причем очевидно, что ?? 1(2!) =~ [р(2') — р(2 ))]2+ И!') — Ю! !)]2+ ([Х(2 ) -Х(2, !)]2 ? — -! Пространственная кривая Л? определяемая уравнениями (11.5), называется гирям?гяемо(1, если множество (1(то)) длин .юманых, вписанных в»(3 кривую? ог12аничено. Точи?)я ве1)хи!!я г12ань этого множа( тва нтгывается длиной дуги кривой Х. Отметим, что простргшственпьи'.
спрямляет)ые кривьи. обладают поречисленными в этот! пункте свойствами 1', 2', 3' и 4'. Доказательство этих свойств проводится совершенно аналогично дока:гательству для плоских кривых. 6. Достаточные условия спрямляемости кривой. Формулы для вычисления длины дуги кривой. Теорема 11.1. Если (рунный(гг(, гв = ((2(Х) и д = ф(2) г(менгт на, ссгменгпе [сг, (3] ггег)рерывные прог!вводные? то крггвая Е?, опрсдс; лягмая паромюпрггческг(лис ур?асгненилми (11.3)? спуя?иляема и да)(на, 1 ее дуги моя?сс?п быть вьгчислвна по формуле. 1 = ??2'2(!) + у)?22(2) дй (11.10) Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем снача.?га, что кривая Л спрят(,)яс)ма. Д;(я э~о~о «1юо61тазу(м вы1?атк!)Ни(г (11.6) д:(ины Х(?() ломаной, вписанной в кривую А и (нвечающей произвольному разбиениго Т (егмента [о.)2].
Тгтк как функции ?р(2) и г])(1) имеют на стггмснте [ст, д] производные, то, в силу формулы Лагранжа. ?)2(2?) — (р(2?. )) = (р(т?)!л??з где х! ! < .г, < хг, ь?? = 2?— — 1, (, и ч~~(!!) — ?(2((, !) = ((?~(т,")Ь(,, где Х, ) < т, < !и ПодстаРлЯЯ найленные ВЕЦ)агкгниЯ дг(Я ()2(г?) ((2(2? !) и 'г(?(2?) г(г((? !) в правую часть выражения (11.6)? получим ?? г(?)=2,?(еаа( )-';г?г(;)а?е,. (ни) ?=! По условикг функции (р(!) и у?(!) имеют па сегменте [н,,э] непре12ывны(". Н1)ои(гв(гдные. Следовате:гьно, эти п12оизводнг)е ог1?ани- 378 прнложкния опркдклкнного ннткгрйлй гл. 11 чг.ны, н поэтому сбп1сствбет тако)) ЛХ, .)то для всех Ь из сг;гмг.нта (1>.Х)) сире>неллины неравенства )га'(1)( < ЛХ и (у>~(ь)) < ЛХ.
Но тогдг н> 0к>ра>уты (11.11) вь)токае>. что гг О г г)гг) г У', М ~ Мт а ге = МЧ г > Ых = ггг г)З - ). г=1 г=.1 Тахнз) ОбраЗОМ, >ШОжсетВО (1(11)) ДЛИН ВПИСгпШЫХ В КрИЬуЮ Х ломаных, отвечающих всевозможным рв>биениям Т сегмента (о. (>)г огРаничено., т. е. ьу>ивал, Л спРЯмлгиемш Обозначим через 1 длину этой кривой. Докажем.
что длина 1 кривой Л может быть вьгппшена по формуле (11.10). Заметим, что правая часть формулы (11.11) похожа на ингегральнук> сумму в г)чг;) = х гге );) г Е' )ч)аг; )п.гг) --» ггсь г Фг «г- ггг")г)+~'')г), ма Х((в т;) отвг"гает разоиспик> Х 11>гмгента (гт„)>) и данн)>ыу выбору точек т, на частичных сетки'птах (гч 1. Х,;] этого разбиения. ,Х(окнах)ем, что для >г>обого положительного е > 0 можно указать такое б > О.
ч)по пргг 1.'1 < б (г."г = шахта>) выполняется не1>с>нанси),вг> ~((б)) — Х~ < г,)2, (11.13) г г = Г ггг')г) г г")г) гг г х . сумм (11.12). Иными словами. с)окажем. что при достаточно емслкихь разбигнл)ях Т сегменпга (ог(>) длиньг 1(1,;) ломаныхг аг>г>санных в кРив1>к> Х и г>п)вечак>иьих, отим Разбг)еьи)лмг как ргодно .мало отлпчгиотсл, от и>гтсг1юла Х, стоящего в правой части формулы (11.10).
Отметим. во-пс'рвыхг гкго ))ю"))чч))ег"Ь*)-~7 ) й)ггг) ) г < (ф(т) ) — у (т,)! < ЛХ; — тч ), (31.14) ') Длгг полу гении неравенств (11.11) мы воспсстьзовались неравенством ! 1)а- "+ Р' — ь ау и Ьг>! < )Ьа -. Ь(, где а" = р" (т ).
Ь*' = гр )г,*> и Ь = чг (т ) и неравенствохг )ьм(та) — гс'(т,)( < ЛХ, — т,. Второе из этих неравенств очевидно, так как разность любых значений фупкпии пе больше разности ее точных граней. Докажеьг первое из указанных неравенств. Имеем мгР+ Ь*з -Ь гуа,'-'+ Ьз ~ь* — б(!ь* -~ б( ~ьа - ьи!ь*! ч- (ЬО >гбаа-ь оба ~>*!+(~( длина дхе и ксивой где лгг и тг точные гРани фУнкции У)'(1) на частичном сегменте (ги 1.1,].
В силу (11.11)г (11.12) и (11.14) справедливы неравенства Д1,) — 1(Ц.т))~ = и = К(~~"м) ЕФ")и)-ггйгг) ) ей")ц))иг г г —.1 и гК ))ггйИ))ЕЕ") ) — г'И"(И)гг--Фг"и'))ИИ) )Иг;г г=-1 < ~(ЫŠ— Н),)ЬЕН = Я вЂ” В, (11.15) ГДЕ Я И В ВЕРХНЯЯ И НИЖНЯЯ СУММЫ ФУНКЦИИ Уг'(1) ДЛЯ Раэг : « м .» .» ) .)1).
Р г еа г г »«ц ~ р' )г.) Е Е' )г) г')г) интегрируемы на сегменте [о. )3] (это вытекает из непрерывности ПРОИЗВОДНЫХ гР'(1) И ф'(1) На СЕГМЕНтв (СЕ. Р])г тО ИЗ ОПРЕДЕЛЕНИЯ иптегрируемости и из теоремы 10.1 (см. Ч 1 и Ч 3 гл. 10) вытекает. что для .побого е ) 0 можно укжгать такое д ) О, что при г"Е < б (ЕЛ = ПгаХ ЫЕ) ВЫПОЛНяЮтея НЕРИВЕНСтВа ]1(гг тг) — 1) < е))4 и Ь вЂ” и < е/4. (11.16) Поэтому при Ь < бг в силу (11.15) и (11.16)г справедливы неравенства ]1(1.;) — Е~ = !Е(Х;) — Ц1,„т,~ + 1~11г ТЕ) — Т! < !1(1,)— — 1(гггт1)] + )г'(гггт;) — 1~ < е/4+ е/4 = е/2.
Таким образом. справедливость неравенства (11.13) доказана. Докажем теперь, что среди всевозимооюных яожаньгхг длины 1(1;) хопгоРых УдовлствоРиот неРавенствУ (11.13)г имеюп)сЯ ломггегыеи д1тны кгипоРых отпинсиотсЯ огп длины 1 дУегг кРивой Х мент)ге чем на е(2. ТаК КаК 1 тОЧНаЯ ВЕРХНЯЯ ГРаПЬ МНОжЕСтВа (У(ги)) ДЛИН ломаных, вписанных в кривую 1 и отвечюопЕих весно гможным разбиениям сегмента (ог 11]. то найдется такое разбиение Т" этого сегмента, что длина Г(1,) соответствуюшей ломаной удовлетВОряет егеравенства.'1 0 < 1 — Г (11) < ее)2.
(11.17) Разгебьетг тепеРь кажлый иг частичных сегментов (ги 1,1,] РазОигя1ия Т на стО11ь ыелкиг) '1асти. '1тООы максималы1ая длие1а гл разбиения Т сегмента (сег,д]. полученного объединением указанных разоисний, была меныпе д, Ь < б. Очевидно, что длина 38() нри'!Оике1!ия ОИ1'еделеннОГО интеГРАл А Гг1 11 1(Х,) ломе)ной, спвечаюгнс'.Й !эвзбис)нию Т, удовлетво!)яет не)эввенству (11.13). Так квк вершины ломаной, огвечвютей разбишнсю Т*. Иплякэтся тик!ко вс))!псинами ломвноЙ. Отвспсвсогис)Й разбиению Т. то в силу леммы этого параграфа, длина 1(Хэ) улор р, О<1 (Х)<1(Х)<1 . ув с у неравенства (11.17) выполняется неравенство О < 1 — 1(Х,) < е,(2.
(11.18) И)в)к, мы дОкъъэьм!и, что с)эсэди ЛОманых. длины 1(Хс) кото)эых удовлетворяют неравенству (11.13), имеются ломаные, длины 1(Хэ) которых удовлетворяют неравенству (11.18). Сопоставляя неравенства (11.13) и (11.18), получим следующее неравенство: ]1 — Т] < е. В с:илу ссроизвольнос:ти е оенюда вытекает, что! = Т. Теорема доказана. 3 а м е ч а и и е 1. Если 4уссъщии р(С) и О(!) имелот на сеэменапв ]ос д] вервниненяые ороивввдюле. гао кривая Е, овределлелюл уравнени ми (11.1), спрлмллема. В с:амом деле. в процесс:е догсазательства теоремы (11.1) мы установили, что при условии ограпичещюсти производных с]эункций,р(С) и иэ(С) „э.щвы ((С,) ломапых, вписанных в кривусо Е и отвечающих всевозъюжцым разбиениям Т сегмевта ]о. В].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
