Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 76
Текст из файла (страница 76)
< гз < М, что ь (10.12) Х(х) дх = ге(б — а). л а В самом деле, полагая а(х) = 1 и учитывая, что ] 1 дх = Ь вЂ” а, (см. щгимер п. 1 3 1), получим из (10.11) т(Ь вЂ” а) < Х(х) дх < М(Ь вЂ” а). Ооозначая чере'.з гл чиело ] Х(х) дх, кгы и получим формулу 1 Ь вЂ” а (10.12). Если функция Х(х) непреръевна на сегменте [а„б], то существуют такие точки р и у этого сегмента, что Х (р) = т и Х (гХ) = = ЛХ (см.
теорему 8.8), н поэтому, в силу теоремы 8.6, па сегьге!нге'. [р, ч], и ее!иле) оыть, и на [а. Ь] найдется 'гочка ч такая, !То Х(~) = 1л. В этом !с!учао формула (10.12) примет вид Х(х) дх = ХЯ(Ь вЂ” а). (10.13) Этг! формула называется первой формулой среднего значения. 3. Первая формула среднего значения в обобщенной форме. Докажем следующее утввукгкегпегеь Пусгпь функции Х(х) и 8(т) интегрирусмы на сегллснте [а.
Ь], и пусть гп и ЛХ вЂ” точные грани Х(х) на сеглгенте [и, б]. Пусть, кроме пюго, функция 8(х) ) 0 (или 8(х) < О) на всем сеглеенгпе [а, Ь]. Тогда найдется такое число р, гддовгеепгворяюиее неравенсгпвам !в<ге <ЛХ, чпю ь 6 Х(ха (х) дх = гл 8(х) Йх. ! з (10.14) ! 6 Оценкл! л!нте!'РАх!ОВ. ФОРмУлы с!'едцеГО знА'!еен!Я 351 лэ' 'сасэспэссэспэсс, еслсс 1(х) иепрсрксаэса эса сеем!и!э!с: [о, Ь], то эяэ эпюм сегмеяпэе суисестеует такое сисло ~, что Х(.г)су(х) дх =,)'(~) р, (х) дх. с с с к (10.15) Докажем справедливость формулы (10.14). Если ] п(х) с)х = О, то, в силу неравенств (10.11), ] )'(х)я(х) с1х = 0 и поэтому в качество р, мы можем взять любое чпс' ю. Есвси ] н(х) с)х ) О, сэ то, разделив все части неравенств (10.11) на ] й(х) с4х, получллм а ,('э'( )К(х) сСФ эп( ' < ЛХ.
г К(гэ)йх Ь Х Х(х)у(х)слх Полагая р равным ",, мы и получим формулу (10.14). ] г (х) ссх Если !(х) нещэерывна на сегменте [аэЬ]. то, каково бы ни было чис ю рп заключеэнпиэ между т и э1с, на этом сегменте найдется точка ~ такая., что с'(~) = р, т. е. формула (10.14) переходит в фо1эмулу (10.15). 3 а м е ч а и и е 4. Ес ли функция у(х) не является непрсрывносл, то формула (10.15), вообще говоря, неверна. В самом деле, пуст!и например, ! ! — щэп 0 < х < —, П-) = 1 при — < х(1, 2 1 прнО<т<-, ! я(х) = — при — <х < 1.
2 2 Тогда, как легко убедиться, инно р в формуле (10.14) равно 2,СЗ. Таким образом, для любого ~ из с:егмента [О. 1] !'® ~ р. 4. Вторая формула среднего значения. Справедливо спюдуктэее утверждение. Если иа сегмеэсэпе [а, Ь] функция „(х) Формула (10.15) называетс:я первой' фоуэмулой сред!сего гиачеиил в !!боби!с!с!сей форме. ош кдклкнный инткп ил 382 ГЛ. 1О мсэноэээсээсна, а 1(х) иээтегрт1эуеми, то нп, зтолл сг.гмтсте суэцествует такое 'июло С, что ь ь | 1(х)б(х) Йх = оп(с») ф(х) дт+б(б) 1(х) дь. (10.16) О, а Формула (10.16) называется второй формулой среднего зна'эетэя или формулой Бонне' ). Сформулированное утверждение доказывается в дополнен»си 2 к настоящей главе.
9 7. Существование первообразной для непрерывной функции. Основные правила интегрирования 1. Существование первообразной для непрерывной функции. Прежде чем перейти к доказательству теоремы о существовании первообразной для непрерывной функции, введем понятие интеграла с переменным верхним пределом. Пусть функция |(х) интегрируема на лнэбом сегменте, содержащемся в интервале (а, (э), и пусть с некоторая фиксирован»гав ~о~~а чтото кптте1»вала.
Тсэгда, ~а~~~о оы ни оыло чнс пэ х из инте1эвала (а, б), функция 1(х) иитег1эи1эусма иа сегменте [с, х]. Поз пэму на пите1»вале (а, б) сэп1»еде.зенээ функцээя .Г Е(х) = |(1) д12) щэгоруэо наэывают эгнтег1алом с пе1»сменным верхним пределом. Докажсзм сг1едунэщук) тс.о1иэму, Теорема 10.6. хэибия непрерывная на ээнтервале (а,)э) функцэля |(х) ээмеет на .этом интервале пе1эвообэуазэсую.
Одной иг ие1эээооб1эатсь»х являеэпся функция где с любая фэлксировавноя точкп интервала (а,1э). Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно дока;зать, что для любого фиксированного х из интервала (а. б) существует предельное Г(х -~- зх) — Г(х) ,эна*ю1гне 11ш ,причем зго предельное значение и» в »х.»э ') Бонне (1819 — 1892) — франпузскнй математик. ») Мы обозначили переменную ннзегрнровання буквой Э,, поскольку буквой х обозначен верхний предел ннтегрнровання.
омщкствованЕЕк пк! поори изной 353 17 равно ! (х), Имеет!, в силу свойства 6' определенных инт1юралов (см. 3 5) '), Г(х+ гах) — Г(х) = /'(й) <и — )'(1) ю = с « :«-~-.Хх х х-!-ах ~(б) а+ Цб) 111 — У) )1 = У) М,. По формуле (10.13) среднего значения находим хэ Гь« гг( +,а,, ) и ( .) 1(!) 1« т(с) е, где ~", —. число. зак.поченное между числами х и х + гах. Поскольку функция ((х) непрерывна в точке х„то при,Ьх, — + 0 ( (б) — э 1 (х). Поэтому из последней формулы находим 1 ° ь (и + Ьх) ь (и) 1 ° ХЮ Х( ) ахео «ах а:« — ео Теорема доказана. 3 а м е ч а н и е 1.
Аналогично доказывается теорема о существовании первоооразной у неп1юрывпой ни сегменте (н, б1 функции, Отметим, что в этом случае в качестве нижне!о предела ивтетрирования с можно в:Еять а. 3 и м е ч а н и е 2. Прп доказательстве теоремы 10.6 мы установили существование производной от интеграла с переменным верхним щ1еделом и доказали, что эта производная равна подын111гр«шье1ой (11ункцип — г" (Х) Ф = Е" (х). (10.17) « 3 а м е ч а н и е 3. Отметим, что если функция 1 (х) интегрируема на любом сегменте, содержащемся в интервале (а, б). то и1ггЕеграл с переменным верхним пределом представляет собой непрерывную на, интервале (а, б ) функцию от верхнего предела.
Чтобы убедиться в этом, докажем, что прнралцение ЬР .= б'(х+ + ьех) — Г(х) функции Г(х) = 1 !" (!) дб стремится к нулю при « ') приращение тьх мы берем столь малым, тто (х ч- е'.ех) принадлежит (а.б). 12 ВЛМ Ильин, Э.Г. Поанаа, часть 1 ош кдкл>ншый инткп ал 354 гл.
>о Ьх — э О. Имеем, в силу форму:>ы (10.12), те >эх !1Г = Г(х + гт х) — Р(х) = !" (Ь)г)!. = !>Ь:», ,г где >испо )>, заключено между то >н»й верхней и нижней гранями функции !(х) на сегменте [х,х + Ьх). Из последней формулы вытекает. чт» и гдà — > 0 при >ах — > О.
'3 а и е ч а н и е 4. Интеграл с перехп»шых> верхним прс>дел»хг часто используется для определения новых функций. Мы у>ко отмечали в гл. 6, что первообразные некоторых элементарных функций не вь>ражан>зся через элементарные функции и не яв- лин>тся поэтому элеменнй>иыа>и <)>ун>нн>ямпк Напомним, что к числу неэлементарных функций относятся, например, функции [ е ' »',!., !' соя й Ж. о о 2.
Основная формула интегрального исчисления. Мы доке>чали., что любые две первообржэные данной функции !"(х) отличаются на постоянную (см. теорему 6.1). Поэтому. соглас:но теореме 10.6 и заме >алию 1 к этой теореме, можно утверждать„ что лн>бая первообразная Ф(х) непрерывной на сегменте [а, Ь] функции ) (х) имеет вид Ф(х) = у" (А) с!!+ С, где С вЂ” некоторая постоя>иная. По~~~~~ в по>вн>дгп>й <)>ормул»> г;на >ила * = о, а затем,» = 1> н используя свойг:тво 1' определенных интеграл»в, найдем Ф(о) = С, Ф(!>) = )'(>») дх+ С >). й 11> этих равенств вытекает соотношение ь» )'(») сг» = Ф(Ь) — Ф(а), (10.18) е называемое пспотюй' формулой пнхнсгрпльного >>с"тслспил, ). ') В этой формуле переменную интегрирования мы обозначили буквой х, поскольку верхний предел имеет фиксированное значение Ь.
') Эту формулу называют также Формулой Нь>оп>опа — Лейбница СУЩЕСТВОВАНИЕ НЕРНООБРАЗНОй1 355 17 Итак, длл ггь(числснпл опредслели(ого пнпеегролв огп, непрерывной функции 7((г) нужно сг)стввигпь 1)н>ность внове)и(й произвольной ее первообрагнг>й длл верхнего и нижнего пределов инп) Игрец) г>г>г)ния. Отметим. что основная формула интегрального исчисления Открыв)!Ит п)ирОкие гозмОже10сти дг!я вы'1и("н(ния Опр(!д(м)ее1- ных инте!радов, поскольку задача вычи(л()ния определенно!о !Интеграла сводится к задаче разыскания Ен!рвообразной функции.
Методы ра)ыскане(я первообразных были д(н:таточно поляо разработаны нами в главах 6 и 7 этого курса. Так как во многих ( !1 чаях разыскание первообразных представляет собой грудную задачу, естественно посгавить вопрос о приб>!ижснных методах вы !и( п)ния определее!ных инте)ралов. В пл. 12 будут указаны некоторые методы приближенного вычислен!!я опр('д(ленных интегралов. Формулу (10.18) иногда записывают в иной форме. Именно, разность Ф(5) — Ф(о) обозначают символом Ф(х)(~'. Тогда (10.19) 1'(х) йт =- Ф(х) ) Г ) Г( а Рассмотрим несколько пре!меров: Ь Ь 1) в)п х Йх = — сов х — сов а, — сое 6; ГГ 2) ( — = 1и х = 1п 2 — 1п 1 = 1п 2; дх 1 3) е хдх= — е ~ =1 — —; о е о 1 Е дх х 1),, = агсЬн.г / 1Е -' О 4' о 182 дх .
' )г 5) 1 ' ' = агсвюх ,/ Л вЂ” х) о 5 о () / ' =),(,ГДГ:г) '=)„(зг,и), 12* ош кдклншый инткп ял 356 гл. >о 3. Замена переменной под знаком определенного интеграла. Пусть выполнены сьищукпцие у<новая: 1) 1>>ункппя >'(х) непрерыхп>а но, сегменп>е. [а, 1>]; 2) сегмент [а, Ь] является мноэ>веста»м значений нек»пи>- рой фунгйи», х = 8(1), г>г>ределенной ни сегменте о < 1 < >> и пмеюгйей на этом сегменте непрерывнгго производную:, 3) 8(о) = а, 8(1>) = ». При этих услг>виях справедлива формула в ,в Г 1(х) дх = ([8(1)]8 (1) >И,. (10.20) и а Формула (10.20) показывает, что если вычислен интеграл, стоящий в левой части этой формулы, то вычислен и интеграл, стоящий в правой части. н наобор<>т. Указанная формула называется >рормулой замены перел>еннг>й под знаком огсределенн»го пнтег1х>ла.
Рассмотрим некотору>о первообразну>о Ф(х) функции 1'(х). По формуле (10.18) ихик;м (10.21) >" (.'>:) дх' = ф(>> ) — Ф(а). > > з > Так как функции Ф(х) и х = 8 (1) дифференцируемы на соответствующих сегментах, то >ложная функция Ф(8 (1)) дифференцируема на сегменте [о, Д. Поэтому, применяя правило дифференцирования сложной ([>ункции, 1н>лу >их> -"Ф(8(1)) = Ф'( (1))8з(1)., (10.22) причем производная Ф' вычисляется по аргументу х: Ф'(я(1)) = = — Ф'(х), где э> = й(1).
Поскольку Ф'(х) = )'(х), то при х = 8(1) получим Ф'( (1)) = 1(8 (1)), Подставляя это значение Ф'(й (1)) в правую часть равенства (10.22). получим — „,Ф(8 (Я =- Пй(1))8'(1). Слетоватечьно, функция Ф(8(1)), определенная и непрерывная на. сегменте [о, Д, является на этом ссгхп.пте первообразпой для функции >(„(1))8'(1), и поэтому, согласно формуле (10.18), у 1(8(1)М(1) д1 = Ф(8(Р)) — Ф(8( )). о иь щиствовянии пв1 вооивазног1 357 Так как е (13) =- б, а ф(о) =. а„то У(а(2))а'(1) дЬ = Ф(6) — Ф(сс). Сравнивая последнюю формулу с формулой (10.21) с мы убежда- емся в справедливости формулы (10.20). 72х П р и м е р ы. 1) Рассмотрим интегра,л 1пх —. Положим х = е'. Так как Ь = 0 при х = 1„1 = 1п2 при х = 2, то 1сс 2 Р 72 1п2 1пх — = / Ьду =- — =- — 11722.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
