Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 79
Текст из файла (страница 79)
В с:ймом деле, этс)т грй; фик можно рассмйтривйть кйк с;п)д то тки М, движущс)йся по закону:г = 1, у = Х(с), ес < 1 < 53. причем. очевидно, различным значениям параметра 1 отвечают различные точки графика. 3 а м е ч а н и е 1. Прс)етые кривые не исчерпывают всех тО'ип!ных множес:тВ, запт!Ъ"жиВающих наименОВания «к1)ивая».
Однако для наших целей достаточно понятия гц)остой кривой. 3 а м е ч а н и Р 2. Одна и та же простая кривая А может бьггь птц)ймст|)изовйнй рйзли )ными с!Н)с:Обйтми. ЛХЫ будем рйсь сматривать всевозможные параметризации простой кривой Хь получающиеся и:5 данной параметри.)ации путем представлс)ния параметра 1 в виде непрерывных строго монотонных функций другого параметра з. 3 й и е '1 й и и Р 3.
Ва)кным поня1НРь! яВляРтс:я !К)нятиР простой,)амкпутой' правой. Такая кривая образуется слсдутощим образом. Пусть Е) и Аг двс) простые кривые. при к)м: 1) граничные точки кривой Х ~ совпадают с грани шыми точками кРивой Ха, 2) любые не гРаничные точки кРивых А) и Ха разли пп !. Кривая А, полученная обьединением кривых Х) и Аа и назыВЙРтся простой:)амкнь'тОЙ криВОйс. 2.
Параметрическое задание кривой. В математическом йньь!НЗР и сго ьц)и;и)жс:нитсх удобно рйссмйтривйть кривыс;, зйдйваемые параметрически. Наглядными истоками такого способа задания кривой служит представлешю о кривой как о геометра"сеском месте последотлтиельтсых т)олоз)гетигй двтстаеу- 370 П!'И:1ОЖЕНИЯ ОП!'ЕдЕ;1Е1ГНОГО ИНТЕГ1'А;1А Г:1. 11 и!е!1ся 7оочкп. Нат!рван)р, 1(10мечри'и'.ОкО(', ън'стО по("ждова7И);1ьных положении то !кв !!4 (' координатами:1: и 76 движущейся ПО закОну !г Го =. а ',, у = ОГ, . — Оо < 1 < оо, !11.2) 17 -(- 1 ' * 1! -1- 1 пред('тивс!Я(7! собой кривую, называемую сп!!>офопдо(1 [рис.
11.2). Заметим, что движущаяся по строфопде точка ЛХ попадает в одно и то же положение з: = О, о = 0 дваждь! при 2 = — 1 и 2 = 1. Так как м11 1)ассматриваеы пО(л()довательн!.и". пО- ложения движущейся точки, то естественно считать различными точки строфоиды, Отв(! !ающ1П! ра!ли 1ным:)на п.ния)л парамегт!и! й Строфоида не является простой крив вой. Нетрудно, однако, убедиться, что 06.!Исгь изм()н(гния пар тм(г!ра Й разбить на части таким Образом, что соответствующие части строфопды будут простыми кривыми.
Именно, разобьем пнловую прямую — оо < Й < оо на сегменты '[7) — 1. 7)1 г где и - любое целое ш(ло. Очевидно, если мы будем рассматривать параметр 2 на таком сегменте, то соответствующая часть строфонды будет простой кривой Мы воспольз>гемен этой иде(!й разбиения на !асти д;!я математического определешш понятия кривой, задаваемой параметри шеки. Будем считать, что множество 11) представляет собой либо сегмент.
либо полусегмент, .шбо интервал, либо числовую пряму10, либо Открытую пли ')ах(кнуту10 полупряму10. Введем понятие разбиения множества !!). Будем говорить. '1то конеяп!ая и„!и бескОне'!ная сист('ма с(!Г>легнтов [[1) 1, 2)[) ра:)- бивает множество 1(,)г если: 1) об ьедпнение всех этих сегментов представляет сооой все множество Г!) и 2) общнмп то*!камп 7!юбых двух сегментов системы могут быть лишь их концы. Рассмотрим примеры р лбнений некоторых из указанных выше множеств 17). 1. Система (егмснтов [О, 1/3[.
[1/3, 2/3[, [2/3, 1[, очевидно, разбивает се>-мент [О, Ц. 2. Система сегментов [О, 1/2[. [1/2, 3/4) г [3/4. 7/8[, [" 2" — 1 2" е' — 11 ~.... разбивает полусегменг [0.1). 3. Система сегментов [[!г, — 1, 7!))г где и -- л!обое целое число, очевидно, разбивает всю чи(ловую прямун>. дэ<инй,юти книной ПС1гейдскь т<.перь к опр<у<елению понятия кривой, задаваемой паракнкгри'п(ски.
Пусть функции <р(Х) и уэ(!) непрерывны на множестве (Ц '). Будем говори ь<ы !то уравнения :: = р(!)ь у = 4(!) (11.3) задан)т, параметр(васюки кр<ьву<в Х, (:сэ<ы, суиьесгпвует такая си.— с)тема сггмсньпвв ([Х< 1, Хь) [, Хк)збьыэ(гюь<!<)з: льножсс)тво (Х), ч(пв для значеьшй' Х из каждого далшого сегмента <этой систельы уров)<ения, (11.3) определяют првстунэ кривун).
При этом (почки, кушввй Х Хкюсл(сьгпХ)иван)тся в впредгленноль порядке в свответпствьш с ввзряьс)танием парол<гтрк) Х. Икпчпю, если то )ка ЛХ1 соответствует зна ьению параметра йь, а точка ЛХ) -- значеьппо Х), то ЛХ1 считается п1Я)дшествующсй )(ХВ, если 11 ( Ха. Отметим, что точк<ь, оп)с<с)чаьсэиьись Хх!зличтльль вначтьиям паральетра, всегда счглтаньп<ся, разл<ьчнымьь, Иными словами, кривую, задаваехлую параметрически, можно рассматривать как объединение простььх кривых, причем эти простые кривые последовательно пробегаются точкой ЛХ, координат<1 которой Опр<)д(ля!отея соотношениями (1133),. ~о~да парамотр Х монотонно проб(таст множество (ХХ.
3 а м е ч а н и е 1. Простую кривую можно рассматривать как кривую, ьаданную параметри !вски. В этом случае система сегм(%)тОВ, разбиВаю<цих сегмент [(1,))[, сВОдится к Одно:!у этом')' сегменту. В кап)<твс примера !нюс;ьотрпм криву!о Хьо задавснчьую парам((три п)ски уравнениями ,т: = сов !, у = ВшХ, ( .4) гд() ! Нзхи)няется на с< гм<(нт() [0,4к). О )евидно, с:истек!а с<.гм()нгов [О, к[, [)гь 2 11, [211. Зк[, [ЗИ,4к[ разбивает сегмент [0,4к[, причем для значений Х и:1 каждого укз:ьанного сегмента данной системы уравнения (11.4) определяют простую кривую (полу- окружность).
Паглядью ясно, ьто в рассматриваемом примере кривая А представля()т собой двыжг<11 Обходимуьо Окру)кьк)сть. В а, м с ч а н и с 2. Расс;мотренный пример и пример строфоиды показывают. что кривая. задаваемая параметрически. !соя<от иметь тО'1ки сам01пйю)с(пп'.Ния и даж<'.
Ц()льп! 1"1астки сах<ОНВ:и!- гания. 3 а м е ч а н и е 3. В слу ьае кривой,:<адаваемой параметрпчсски при помощи уравнений (11.3), мы будем также говорить о параметризации указанной кривой при помощи этих уравнешьй. Одна и та жс кривая Х может быть параметризована различными способами. )Хы будок( рассматривать Всс- ') а!ножество (1) представляет собой одно нз указанных ньиве Множеств. 372 И1'И:1О>КЕНИЯ ОП!'ЕДЕ;1ЕИИОГО ИИ ! ЕГРАЛА Г:1.
11 сщ>и усс!Овин нещ)ерывпостп Ч)ункций с>)(1), !С)(!), з (Х) и упловии !о п)к множества (М1, отгс!чающпх разли !Иым значениям параметра й Понятие простой пространственной кривой и понятие разбиения множества (!) изменения параметра, так же как и в плоском случае, приводят к понятию пространственной кривой, задаваемой параметри сескн уравнениями (11.5) при устовии монотон- НОГО и:!Мс нсп1ия парам!'.Тра с па а!нож!>ствс! (1).
Отметим, что вся тер- 1) мянология. введенная в ,„(!.,) М;-! Мс предыдущих пунктах, есу(!!1 ===== — — е тественным с)бразом переносится на пространственные кривые. М 4. Понятие длины дуги кривой. В этом Ма! М> ! ! П)'НКТС) МЫ ВВС'.ДС'.М ПОНЯТИС! длины дуги кривой, задапИОЙ параметрп гес;ки. Пус>ь кривая Л задаст!:я парах!1)три'1с>с>ки уравнео а)(!а! ср(1, 11,р(1,! а)(Й,) т Ч>(!))) )!)(!а) !)-1 !) !)) !а !1 !2 где и ц>аметр ! и:!Меняется Рас. !!.3 на сегменте [о,(!). 11усгь Т щюизвольпое разбиение с:егмента [с!.)!) точками сс =- 1а < 1! < (э < ...
... < Х„= )'>. Обозначим Ма, Мс, Мт..... М„соответствщощие точки кривой Т (рис. 11.3). Возникающую прн этом ломаную Возможные пщ)амстризации крпВОЙ 1, полу'!Вющиеся из:!Н)- бой данноЙ парамютризации путех! щ>с)дставлс)ния !!щ)аметра в виде нещ>ерывных, строго возрастающих функций другого параметра а. Отметим, что лишь при таких преобразованиях параметра сохраняется порядок следования точек на кривой Л. 3. Понятие пространственной кривой. 11онятие щ)ос;транс!Венной кривой Вводится В !и)>!Ной аналогии с понятис)х! п.,югкой кривой.
Первоначально вводится попятив щ)остой пространственной кривой как множества (М) точек пространства, координаты и. !! и и которых определяются уравнениями длиил Ххкти кривой 373 МоМ)Ма... ЛХв будем называть ломаной '), вписанной в кривую Е н отвечающей данному разбиению Т ссгме)нта [ст, Х)]. Так как длина 1, звена ЛХ, ) ЛХ, зтои ломанои равна [Чо(б;) — р(Х«,%2+ [«))(Хв) — Ф(Х«!]а 2), то длина !(Х«) всей этой ломаной равна и и !(Х,) =~ 1, =~ [д(Х,) — р(Х,,)]г+ [;Ь(Х,) - й)(Х«,)]г. (11.б) Определение. Еслл) множепли«о (!(Хз)) дллвч впигпннь)х в кривую ь .ломаньи:, г)п)венин)гцггав всевозмож:ным Хх)зХ)«генг)ялл Т сегл)енпю). [Х),,3]„парт*«сиена, то )сривая А н а з ы в а е т.
с я с и, р я, м л я е м о й. а пгочнаж вержняя, грань ! множества (!(Х,)) называется, донной дуги, кривой А В а м е ч а н н е 1. 11з определения кривой 7, заданной параметрически, и определения длины дуги ! такой кривой следует, что длина ! положительна, ! ) О. 3 а м е ч а н и е 2. Существуют неспрямляемые кривые. В дополнении к этой главе мы приведем пример плоской кривой, любая п)сть которо)й неспрямля()мг).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
