Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 75
Текст из файла (страница 75)
! б ОСНОВНЫЕ СВОВСТВа ОНРЕДЕ;1ЕННО!'О ВНТЕГ1гйла 345 в направлении от Ь к а (в этом случае в и!гт<яральной сумме все разности г)гхг = х, — х, ! имеют отрицательный знак). 3'. Пусть функции ! (х) и 8(х) интегрнруемы на <сгменте [очЬ[. Тогда функции 1(х) +8(х). у(г) — 8(х) и 1(х) ои(<г) также интегрпрусмы на этом сегменте, причем ь ь <г Г [1(х) ~ и(х)) 4х = ('(х) дх ~ и(х) <(х. (10.8) Докажем сначала ннтегрируемость функции / (х) 3: в (х) н справедливость формулы (10.8). При ли!бом разбиении сегмента [а, Ь[ и любом выборе точек (, для интегральных сумм справедливо соотношение п и и [Х(~<) ~йф))<1х< = ~ ~ф)Ьхг ~ ~ 8ф)1-'гх<г г=! г=! г=1 а поэтому из существования предела правой части следует существовани<1 и!геделя левой части.
Сл<эдовательно, фугнкция !'(х) ж ж 8 (х) ннтегрнруема и имеет место формула (10.8). Докажем теперь. что н1э<эизведени< интегрируемых функций является интегрируемой функци<эй. Так как функции !'(х) н 8 (х) инт<'.три!<уев!ы на сегьп нт<'. [а, Ь1, то они н от!гани н ны на этом сегменте (см. утверждение и. 1 ~ 1), так что [1'(х)[ < А и [и(х)[ < В. 1эассмотрим любое заданное разбиение Т сегмента [ач Ь[.
Пусть х' и хв произвольные точки частичного сегмента [х; <,х<). Имеем тожде<гт'во й я)8(хи) — Пх')а(х') = = [1 (х ) — !г(<г ))а (х ) + [8 (х ) — о (х )1!г(<г ), Так как [Х(хв)И ( '") — Х(х')8М)[ <».г У(хи) — У(хр)[ < ыг, [8(') — 8(х')[< <, где оэ„аг, оэг -- соответственно колебания функций у"(х) я(х), 1(<г)г е (х) на сегменте [х, <,.г;[, то, согласно указанному тожде- ству )г оэг < 1М+Аоэ; Поэтомуг ог,;11<к; < В'~ оэ;Ьх<+ А <э аг;11,хь г — -! ) В этом тождестве гочки .г' и х" можно выбрать такг что левая часть будет как угодно мало отличаться от <э,.
ош кдклкнный интип лл гл. )о Пос:кольку с (сс)) и ~~ (т) интс)грщ)уеасы на сегап нтс! [а, Ь]. Для лн)- бого заданного е > О можно указать тако) разбиение Т этого в и С)С)та)С)ит)т., Чта 2; а))2)ХС < — ' П 2; а)СС.'6ХС <:. СЛЕдеаатЕЛЬИО, в;) 1 -с для этого разбис.ния Я вЂ” а = ~~а),с".)х, < В=+ А — = е. 2В 2А ~=1 Поэтохсу произведение интегрируемых функций является интегрируемой функцией. 4 . Ес с)с сру))к)с))я |(х) иптеПпсруема г)а сс.с.менте [ачб], то фусскция с1(х) (с = с)о))в1) интегрируема па этом сегменте, причс)м 6 6 г ~~ ~ ~ ~ г с|(х) с)х = г с" (х) с)х.
(10.9) й а Действительно, пнтстральные сух)мы функций 1 (х) и с((.г) отличаются постоянным множителем с. Поэтому функпг))с с)(х) интегрпруема и справедлива формула (10.9). 5'. Пусть функция 1 (х) интегрпруема на сегменте [а, Ь]. Тогда эта функция ннтегрируема на любом сегменте [сб с1], содер)кахцеасс:я в сс'.гмс;нсс) [а., Ь] Так как функция 1 (х) пптегрируема на сегменте [а... Ь], то для л)обого с > 0 существует такое разбиение Т сегмента [с), Ь], что Я вЂ” а < е (см.
тес)рему 10.1). Дооавим к точкам разбиения Т точки с и с1. В силу свойства 2' верхних и нижних сумм (см. и. 2 2 2) для пс)лученного разбиения Т" тем бсыее с:праведливо неравенство  — я < е. 1'а)биение Т сегмента [а„б] порождает рс)с)бие)псс) Т сегмента [с,с)]. Если В и 6 верхняя п нижняя суммы разопения Т, то Я вЂ” а < о' — 6, поскольку калсдое неотрицательное слагаемое а)ссгх; в выражении Я вЂ” 3 = 2,а),,с.'сх; будет также слагаемым в выражении для Я вЂ” а.
Следовательно, 3— — я ' и, и поэтому функ)Сия С (х) антс.грирус'ыа на с'с)гмс!нте [с, с)]. 6'. Пус) с функция 1(х) интс;гргй)ус;хга на с;с)гмсн)ах [авс] и [с, Ь]. Тогда эта функция интегрируема на сегменте [а„б], причем 6 в 6 | 1(х) дх = 2" (х) с)х |(х) с)х. (10.10) а а с Рассмотрим сначала случай, когда а < с < Ь. Так как функция с (х) пнтегрируема на сегмент)х [а, с] и [с, Ь]. то с чцествун)т такие разбиения этих сстментов.
что разпосггь Я вЂ” а для каждого из них меныпе ес)2. Объединяя эти разбиения, мы получим раз- Ь' ь Оценк1! НнтеГРйлОВ. ФОРмулы с1'еднеГО знгн!ен1!51 347 биение сегмента [а. Ь], для которого разность Š— в будет меньше г. Следовательно, функция 1"(х) интегрируема на [аэ 6]. Будем включать точку с в число делящих точек сегмента [а. 6] при каждом его разбиении. Тогда интегральная сумма для 1(х) на [а, 6] равна сумме интегралы!ых сумм для этой функции на [а„с] и [с, 6].
В пределе мы получим формулу (10.10). Если то !ка с лежит вне сегмента [аэ 6], то сегмент [а, 6] есть часть сегмента [а...с] (или [с, Ь]) и поэтому, в силу свойства б', с[эункция 1(х) интег146>уема на [а, 6]. рассмотрим с:лучай а. < < б < с. Тогда Ь с с ,((х) дх+ ('(х) Их = ~(х) дх. и, Ь и Отсюда, используя свойство 2' и формулу (10.7), мы опять получим соотношение (10.10). г)Ьчгко убн.даться в справедливости этого соотношения и при с < а < 6.
й 6. Оценки интегралов. Формулы среднего значения 1. Оценки интегралов. В этом пункте мы получим некоторые оценки для определенных интегралов, подынтегральные функции которых подчинены тем или иным условиям. 1'. Пусть интегрируемая на сегменте [гт,б] функ!Ь!!и 1"(х) неотрацательна на энгом ссгмен!пе. Тогда Ь Г 1(х) дх ) О. и, Действи!"ельне, каждая интегра,!ьная сумма такой функции Ь неотрицательна, и поэтому преде.,! 1 = / 1'(х) 11х интегральных сумм также нсотрнпателеп !).
3 а м е ч а н и е 1. Если 1'(х) пнтегрпруемо на сегме!ппе [поб] н У(х) ) тэ то / (х) дх ) т(6 — а). и ') Допустим. что предел 1 интегральных сумм отрицателен. Тогла согласно определению предела 1, для числа е = ]1[ найдется интегральная сумма 1(.со!,), для которой ]1(к,, (',) — 1] < Щ. Из этого неравенства вытекает, что 1(т,,б,) < О, а мы только что Убедилисаь "по каждаЯ интегРальиаа сумма неотрицательна. Следовательно, црелел 1 неотрицателен.
ОН1'ЕДЕ;1ЕШ!Ый ИНТЕГРА;1 Г:1. 10 В самом дсслс'., функция г(х) — сп ~ )0 и ннтс'.101111уехссс нас!.гхннтсс Ь [а, Ь). 11сгэтссьсуЯ(х) — ссс) дх > О. Отсюда а Ь Ь Ь м з | ~ ~ ~ х ~~ ~ ~ с /(х)дх > тдх =-т дх =- т(Ь вЂ” а) й а в (см. свойство 3' и пример из Е 1). 2'. Если функция Дх) непреръсвсса, неотрицательна сл ссе равна стсождессссвенно нулю на сегменте (а, Ь), ссю Ь Г Дх)дх>с>0.
Лейсствительно, гак как функция 1 (х) неотрнца с ельна и нс рав- на тождественно нулю, то на сегменте (а, Ь/ найдется такая точ- ка сч что |® = 2Й > О. Тост!а по теореме об устойчивости знака вес!Осе!сыпной фушсции ьсссжнсс найти такой сигм!сит (ф, у), с:ссдс'.1н жагций точку б, в пределах которого значения функции ) (х) будут не меньше числа Ь > О.
Поэтому, в силу только что сде- ланного замечания, ч ~ 1 (ссс) дх > й(с! — р) > О. Соглас:но свойству 6' определенных интешралов Ь р ч Ь |(х) дх = |(х) дх+ |(х) дх .!- |(х) дх. й И Р Ч ч Поэтому. поскольку / (х) > 0 и / 1(х) дх > с > О., где с = сс(р — сс)., г Ь | |(х) дх > с > О. 3'. Если функции |(х) сс и(х) интегрируемьс, на сеглсенпсе (а, Ь~ и „'' (х) > „(х) всюду на всссолс сегменте, то Ь Ь |(х) дх > и(х) дх, 1 в Оце11к1! !!нтеГРлт!ОВ.
ФОРмУлы сред1!еГО 31!еп!епия 349 Дтнтвител) но, фэ, нкция 1(х) — я(х) ~ )0 н инте)грнрусу!а на сегменте [а, Ь]. Отсюда, в силу свойства, 1', и вытекает справедливость указанной оценки. 3 а м е ч а н и е 2. Игл функция 1"(х) интегрируема на, сегменте [а, Ь), пю функция [! (х)[ такеюе инп)егрирдема на энгом сегменте, прочем !э < [У(х)[) .
1(х) г)х а Докажем сначала пнт!Ргрируемость модуля [! (х)[ интегрируемой фУнкЦии ) (х). Обозначпь| чеРез М; и гпт точные гРанп ((х) на сегменте [х, 1, хэ[, а через М,' и т,'. точные грани [! (х)[ на том же сегменте. Легко убедиться в том, что М, — тг), < ЛХ,,— — тэ (достаточно рассмотреть три возможных случая: 1) случай, когда М,; и тт неотрицательны: 2) случай, когда М; и )а, неположительны: 3) спучаи, когда ЛХ! > О. )пт ( 0). Из полученного неравенства вытекает. сто о' — а' < о — гь Таким образом, е)щи для некоторого разбиения Я вЂ” к < е, то для чтото ра:!биения Я вЂ” Я < . ! е. для [1(х)[ В!!полнено досг1точное усек)вие. инт егрируекн)сти ') . Докажем теперь интересуюп)ую нас оценку.
Так как — [! (х) [ < 6 )) а < !'(х)) < [!"(х)[. то — [ [!"(х)[г1х < ) ф(х) )4х < ) [!"(х)[!)х, а зто и озна га!)т, что )'1(х) дх ~ () [)'(х)[)4!г. а е 4'. Луг!!)ь функции !"(х) и (х) онтегрируемы на ссгл)енте [а,б) и д(х) > О. Тогда, если Л| гл )и точные грани )(х) на сегменте [а., Ь~[, п)о и! е (х) г1х < 1(х), (х) )1х < М у(х) дх. (10.11) Справед.:!ивость (10.11) вытекает иэ того, что для всех х нз сегмента [а, Ь~) справедливы неравенства гг)у(х) ( !(х)ок(х) ( ') Иэ интегрируемости фупкпии [!(г)[ пе следует, вообще говоря, иптегри- ( 1 лля рапнональных г, руемосгь ! (и). Например, функция ! (т) = — 1 для иррапиональпых:г, неннте) рируема на сегменте [О, !), тогда как [)(к)[: — 1 интегрируемая на эхом сегменте функшэя.
ош кдклкнный интк! вял 350 гл. !о < Ме(х) (см, оценку 3' из настоящего пункта и е:войство 4' из 3 5). 3 а м е ч а н и е 3. В дополнении 1 к этой главе мы получим несколько важных неравенств для сумм и определенных интегралов. 2. Первая формула среднего значения. Пусть функция Х(х) ннтегрируема гю сегменте [а.,б], и пусть гп и ЛХ !ночные грел!!!! Х(х) на е'еглееюте [оьб]. Тогда ггайдете,а такое число бп удовлетворяю!нее неравенствам т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
