Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 59
Текст из файла (страница 59)
ни п>очек устранимого разрьша, ни пючвк раз- рыва 1-го роди В самом дел(., если в н(>которой то псе с интервйлй (а, Ь) с>- >пеству>от конечные правое и левое предельные:значения «'(х), то « (х) непрерывна в точке с (в силу дока>явного вылив утвер- ждения). Е(ши же хотя бы одного и> указанных двух предельных значений не существует, то «'(х) имеет, в точке с разрыв 2-гв рода,.
Приведем пример функпии. производная которой су>це- ствует и конечна всюду па некотором интервале и имеет в неко- торой точке этого интервала разрыв 2-> о рода. Рассмотрим на интервале ( — 1, +1) функцию > у г 1 х сов — при х у'= О, «(х) = 0 щ>и к=О. Очевидно, что для любого х ф 0 производная этой функции 1 . 1 существует и определяется формулой «(х) = 2х сов — + вш Существование пр)п>вводной 1>(0) в точке х = 0 непосредственно вытекает из существования предельного:>на п>ния !>и> «( ) «( ) = !ш> Ьз>сов — = О.
Пг..~й .1х иг -«О -тх Производнйя «(х) не им!ест В точке: >" = 0 ни щ)г)БОГО, ни .лево- 1 го предельного значения, иоо у (шагаем(п о 2х сов — существует в точке т, = 0 равное пуля> предельное зна'и;ние, а слагаемое 1 йш — не имеет в этой точке пи правого. ни левого предельного значения (см, пример в конце и. 1 8 8 гл. 4).
4. Вывод некоторых неравенств. В зак;почв*не покажем, как с помощью теоремы Лагранжа могут быть получены неко- торые весьма полезные неравенства. В качестве примера установим шк>ду>оп1)п' два нерйвепс>вй: !в!пи — * 1 < ~х —:! (8. 16) ! агс16х> — асс!8;>э! ~ (!х>1 — хг!. (8.17) (Здесь под х> н х > можно понимать лк>бы<> значения аргумента.) Пля установления неравенства (8.16) применим теорему Лагран- ! и оноьшкнняя ео! муг!л конкчных ш иглщкний 269 жа к ф1нкции «(х) = в(пи по с! гмг нту [х>, ха]. Получим в!их! — в>п та = (х! — ээ>)«(ч).
(8Л 8) Учитывая, что «'(~) = совб' и что !совб] < 1 для любого Ь', получим, переходя в (8.18) к модулям, неравенство (8.16). Д>>я ус>ановлг>ння неравг>яства (8,17) с.п;дует >О>имен!и ь теорему Лагранжа по сегменту [х!. гхэ] к функции ф(х) = агс18 х и у"шсть, гго «® = С 1.
1 1-~- К> 'й 11. Обобщенная формула конечных приращений (форлиула Коши) В этом параграфе мы докажем теорему, принадлгжащун> Коши и обобщ,пощую установленную вылив теорему Лагранжа. Теорема 8.ло (теорема Коши). Если каэн>дая из двух функций «(гх) и, 8(х) непрерьлвна на сегменте [а. Ь] и диффе.— ренцируема во всея: внутрен!лясс точках этого гегменпт и есллл, кроме того, производнал 8э(х) отлична от нулин вен>ду внутри сегме>лта [о,, Ь], тгг внутри этого сегмента найдется то.гка 8 такая, чпш справедлива формула «(Ь) — «(а) «(К) (8.19) д(Ь) — д(в) Х'(6) ' Формулу (8.19) называют обобгцетлой фг>рмулой конечных прглргллце>ллллл или формула>л 1> оллл>л.
Д о тс а з а т е л ь с т в о. Прежде всего докажем, что 8(а) ф эг 8 (Ь). В самом дшп, если бы это было не так, то для функции н(х) были бы выполнены на сегменте [а, Ь] все условия теоремы 8.11 (Ролл>!) и по этой теореме внутри сегмента [а, Ь] нашлаг ь бы точка Ь такая, что 8'ф = О. Последнее противоре >ит ус зонин> лео1>емы. Итак, 8(гл) ~ 8(б), и мы их>еем право рассмотреть с,лс>д1 >г>п>> н> вс>пг>ыогатгь>ы>> >о с)>1 нкцшо: Р(х) = «(х) — ф(а) — [8(т) — й (а)]. (8.20) В силу требований, наложешлых на функции «(э:) и 8(х). функция Р(х) непрерывна на се! менте [а, Ь] и дифференцируема во всех внутренних то гках этого сегхлепта. Кроме того, очевидно, что Р(о) = Р(Ь) = О.
Таким образом, для Р(х) выполнены все ус.ювия теоремы 8.11 (Рояля). Согласно злой теореме вну>ри сегмента [а, Ь] налдется точка б такая, что Р'(с,) = О. (8.21) Их>е>! В Вид>", 'лто Р (э>) = «(т:) — 8 (и). и испо;>ьзуя я(Ь) — д(в) 270 ОснОВные теОРемы О ИГП1'е1'ЫВных Фун1(Цинх Гл.
8 равенство (8.21), будем иметь )'(б) — 7") 7" 8'® = О. (8. 22) е(б) — я(о) Учитывая, что 8'(;) ф О, из равенства (8.22) полу гим формулу Коши (8.19). Теорема доказана 3 а м е ч а н и е 1. Формула Лаграплса (8.7) является частным случаем формулы Коши (8.19) прп 8(х) =:гх 3 а м е ч а н и е 2. В формуле (8.19) вовсе не обязательно считать, что О ) а. 9 12. Раскрытие неопределенностей (правило Лопиталя) 1.
Раскрытие неопределенности вида —. Будем гово- О рить, что отношение двух функций — ' представляет собой при Т(х) к(х) () .г: — + а, неопределенность вида —, ег ш О' 1пп ф(х) = 1)ш 8(х) = О. Раскрыть эту неопределенность это:значит вычислить предельное значение 1пп (при условии, что это предельное зна- У(х) х«а 0(х) чг.игге су п1гкя вует) .
Следующая теорема даст правя:нз для раскрытия неопреде- О ленпог:ти вида —. О Теорема 8.77 (правило Лопиталяг)). Пусть две функции ф(х) и 8(х) гзпределеньг и дифференцируемы вснзг)у в некопхгрогг окрестности точки а, за ггскллггчениемь быть мозгсепь гхгмгт птчкгг, а. Пусть, далее 1ш1 Г" (гс) = 1шт 8(х) = О ,г.-«в ' х — «гг и производнош 8 (и) отлична от, нуля вг"гог)у в указанног1 вьшле окРестности точки а. Тгкедоз если сУи4естпвУет, (копеечное илгл бесконелгное) пр~едельное зно;гелсие 2) 1)ш (8.28) х-га К'(х) ' ') Гильом Франсуа де Нопиталь фраипузский математик (1661 1764).
') Отметим, что предельное зиачение (8.23) может ис сушествовать, тогда П') как предел отпошеиия функций 1пп — сушествует. Напрцмер, можно ' -у(х) а, взять о = О, Г(х) = х вш —, у(х) = ь1пх. Таким образом, правило лопиталя «действует» ие всегда. 1'АОКРытие неОпРеде.!еннООтей 271 пи) существует и предельное. значение 1пп ', причем, сарах — )а я (х) ведливи форму,аи (8.26) 1)ш — = —, У(х) 7'(а) х — )а ц(х) я'(а) (8.27) 1пп —, = 1пп —,' (8.2-1) х — )а, я(х) а -аа я'(х) Теорема 8.17,(ает нам правило для раскрытия неопреде.,)ено нос!и вида —, сводящ()е вы )и(с)((ние щ)()л()льного знач()иия отноо' ' шения двух функций к вычислению предельного значения от- НО!П()НИЯ ИХ Щ)ОИЗВОДНЫХ. Д о к а з а т е л ь с т в о.
Пусть (х„) произвольная последовательность значений аргумента, сходящая()я к а и состоящая из !ис(.„1, Отличных От а. Пуд()м ра(х:ма1ривзт! эгу ПО((ЛЕДОВатЕЛЬНОСттп НаЧииаЯ С тОЕО НОМЕРа П, С КОП)ОРОЕО ВСЕ Хп принидлезюит окрестности( тонко а, указанной в формзулпровке псеоремь(.. (оопределим функции 1((х) и (х) в точке и.
положив их равными нулю в этой точке. Тогда, очевидно, 1(х) и 8(х) будут непрерывны на всем сегменте [а, зп) и дифференцируемы во всех внутренних точках этого сегмента. Кроме того, 8'(х) отлична от нуля всюду внутри этого сегмента.
Таким образом, дли 7(х) и 8(х) на сегменте [а. ха) выполнены все УсловиЯ теоремы 8.16 (Коши). Согласно этой теореме внутри сегмента [оахп) най;ктся точка ба такая) что 1(х ) — 1(а) Г (С ) (8.25) к(*-) — к(а) я'(с ) У )итывая, !то, по нап!ему доопр(а н(вн"нгпо, !'(а) = 8(о.) =- О, мы можем (шедующим образ()м переписать формулу (8.25): Пх ) У'(6-) к(х ) к'(ба) Пусть теперь в форму.,и) (8.26) п ) оо. Тогда., очевидно,,а„— + и. '1ак как мы предположили существование предельного значения (8.23), правая часть (8.26) при н -+ оо обязана стремиться к этому предельному значению. Стало быть, существует предел при и — + оо и „твой п)сгн (8.26). По определению предельного значения функции этот пред(л равен 1пп П ) .
Таким образом, .),-)а К(а:) в щ)еделе при и — ) зо равенство (8.26) переходит в равенство (8.24). Теорема доказана. 3 а м е ч а н и е 1. Если к у( ювиям теоремы 8.17 добавить требовани( непрерывности производных,Г'(х) и 8з(х) в точке а, то при условии 8'(а) ф О формула (8.24) мол(ет бьггь переписана в виде 272 ОснОВные теОРех1ы О неп1'еРывных Функци|сх Гл. 8 3 а м е ч а н н е 2. Если производные «'(х) и 8'(х<) удовлетворяют тем же требованиям, что н сами функции «(х) и 8 (х), то правило Лопитыля можно применять повторно (т. с. предельное значение отношения первых производных функций «(х) и 8(х) можно заменить предельным значением отнои|вния вторьсх произвснЭньсх этих функций). Мы получим при этом 1пп — ' = 1пп — =!ш| П ) У'(х) «"( ) :с — сь я (х) х — са б'(х),х — сь ух(х) 3 а м е ч а н и е 3.
Теорема 8.17 лш ко переносится на случай, когда аргуме|п х стремится не к коссе|энем|с а к бвгл;внечному пределу а = +оо или а = — ос. Ограничимся тем, что сформулируем теорему 8.17 для с"|учая, когда а = +ос. 77дсть две функции «(<с) и 8(х) определены и д|сфференцирувмы вснп)у на полу- прямой с < х < ос. Пуст:ь, далее. 1пп «(х) = 1пп 8(х) = О х .с | ~ х. > Ь с сс произво<Эн<ся 8 (х) отлично, овс нулся на уназанм<ой полупря! мой. Тогда, если суп<свис<сует. предельное значение !пп х — Ы сс б'(х) то су|дсствувт, и пре|Эельнвг.
знамение 1пп —, ири сель сс|Эхс- У(х) х — с~,х- К(х) вс<)ливо равенспсвв б(х) . '"-'- и (х) П р и м с р ы. 1) !пп т' = 1ш х — со хт х ~о 2х 2 2) Следующее предельное значение вычисляется двукратным прим|.|и|пнем правила Попиталя: х — со х' х-. о Зх' х. |о бх б 3) Тре.хкратным применс|ннеы ну|свил|с Лопггс"ыя вычи< |яется п1)вдоль|сов зца 1епие 4 ь 1пп,, = 1пп .с; еО хе С 2 соь х — 2 х |О 2.<, — 2<ба х = 1!ш = 1!ш = — 12. 12х" .
24х х — | о 2 — 2 сссь х,т — < о 2 яо х 2. Раскрытие неопределенности вида —. Будем говорить, что отношение двух функций — представ.шет сооой при - У(х) б(х) х — ь а неопределенность вида —, е<ши 1пп «(.г,) = 1пп д'(т.) = ос '). (8.28) х та .т — се ) Вместо ж можно брать -ох ила — ж. РАСКРЫТИЕ НЕОНРЕДЕУ!ЕННОС'1'Ей 273 1 12 Отсюда 8 (х,„) /( ' ) /'(6-,) и(' ° ) 8( ) 8'(б.), П -)' /(х„) Г(х) Если сушесгвует 1(ш, = 4, то 0ля, любоге е > 0 можно фиксировать *--8 (х) Г(б») номер т столь болыпии, по при любом п > т дробь, "' будет отклоняться от числа .4 меныпе чем на е/2. Далее, учитывая (8.28), мы можем для данного фцксироведшого т найти номер пе такой, что при п > пе дробь 8( -) 8(:г„) /(х.) 1 —— /(яь ) е/2 будет отклоняться ос единицы мепыпе чем на .
Но тогда при ~ 4( -1- е/2 п > пе дробь будет отклоняться от числа А меньше чем на — -1- -Ь 14~ -Ь вЂ” = ", Л это означает, что предельное значение 1пп ' сушествует и равно 4. . -э 8(г) 1пп 1пх хэо-~-0 х П р и м е р ы . 1) !(ггу у/ш!пт, х — уо-1-0 1пп ',, = — 2 1пп у/ш = О. 1/х х-э010 ( — 1/2) х з~г хэО8 0 Дчя раскрытия этой неопределенности, т, е, ддя вычисления пределыиуго значения 1шт —, справедливо утвержде/(х) х — ге 8 (х) ние, совершенно аналогичное теореме 8.17, а именно; если о форллрлггровке теорелгы 8.17 заменить требование 1пп /'(ш) = х — уо = !пи 8(ш) = О на рсловие (8.28), тпо теорема, 8.17 останеласл спера сзе длиной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
