Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Ста.ю быть, в силу (8.4) всюду в (1-((кресте(ос!ти точки а функция «(х) сохраняет знак числа 6 = = «(а). Теорема доказана. Иллюстрацией к теореме 8.4 может (лужить рис. 8.4. ') Пре! этот( нет необходимости исключать значение х =. о, ибо лля непрерывной функции «(х) значение «(а) = Ь также удовлетворяет левым из неравенств (8.4). пгохождкник нкпгкгывной а ункпии 255 3 а м е ч а н и с к т с о р е м е 8.4. Теорему 8.4 можно перенести на случай функции 1(х), непрерывной в данной точке з: .= и, справа. (Слева). Пусть в — некото- РОС полО)кительегОе ~ВлО. ДОГОИОримся н(кзьгвать )юлусег мент [а.
сл+с)) и р авой полуокрестностью точа(с х = а, а полусегмснт (и — (1, сл) левой полуокрестнос 7(с ь ю спички х = сс. 11м(.'еГ месГО а-8 аа.е следузогнсе утверждение: если, функция, 1(х) непрерывна в плочке х = и, справа (слева) и если 1(сл) з- .О, то нийдется, правая, (левая) полуокрестность плочки х = и спикияг 'апо для всех значстт аргумента и;( указанной полуокрестности функция 1'(х) нс обряицистс)а в нул:ь и омлет знак, совпадвюсцст' со знаком 1(сл). Доказательство этого утверждения почти дос донно повторяет доказательство теоремы 8.4, только вмес:то правых неравенств (8.4) мы получим неравенства в, < х < и + й (и — й < х < и).
й 4. Прохождение непрерывной функции через любое промежуточное значение 1. Прохождение непрерывной функции через нуль при смене знаков. Теорема 8.5. Пусть фсуслкц(ся ф(х) )лепр((рьсслна ни сегменте [и, б [, и пусть зна"сения этой функцсги на концах сегменп(а 1(сл) и 1(1)) супсь числа разных знаков. Тогда внутри сеглсенпла [сл, б[ нстдегпся такая, точь;а ~, зни ле)лсле функции в ко)порой равно нулю. До к а с а тел ь с т во. Ради определенности предположим.
что 1(с)) < О, д(б) ) О. Рассмотрим множество (х) всех значе; ний х из сегмснапв [о„б[, для которых 1(х) < О. Это множество имеет хотя йы один элемент х = а (ибо 1" (сл) < О), и огрсиитено сверху (например, значением:г = б). Согласно теорем() 2.1; м(гож()ства (сс) и с)ущс)спвует точная верхняя грань. которую мы Ос)о)на.лим .П,р(п ~. Пр((ждсг всс)1 О, заьк)тим) что то -гка ( является внутренней точкой сегъсента [и,б[, ибо иэ неггрерывности функции а 1(х) на, сегменте [в„б[ и из условий г((л) < О, 1(б) ) О в силу заме")ания к теореме 8.4 вытекает, что найдатся правая полуокрсстность точки:с = а, в пределах которой 1(,л)) < О, и левая Ряс.
8.5 2об ооновнык ткогкмы о нкцгкгывпых еьнкциях гл. г полуокрестность точки к = 6, в пределах которой «(к) > О. Докажем теис",рть по «(5) =- О. Если бы это было не тйк, то по теореме 8.4 нашлась бы 6-окрссстнсссть ~ — Б < к < с + б точки ~, в 71?седегсссссс 'ко77итрсссЙ срункасгя «(а:) амели бы 071?теде.1сснный знак. Но зто невозтжэжно, ибо, по определению точной вегэхней грани, найдется хотя бы одно значение к из полусегмепта с — Б < а: < < ( такое, что «(к) < О, а для любого эна псния к из интервала с < и < с + 67 «(к) > О.
Итак, «(с) = О. Теорема доказана. Иллюстрацис!и к теореме 8.5 можот служить 1сис. 8.5. 2. Прохождение непрерывной функции через любое промежуточное значение. Теорема Ь'.6. Пттсттсь функ!сил «(са) нетсрсрывна, на сегменпге [в„Ь], аринслс «(сг) = А, «(Ь) = В. Пусть далее С любое "спело, эаклюжюсое между А и В. Тогди на, сегметсте [сс,. 6] !сойдется псовка б такал, что «(() =- С. Д о к а з а т о . ! ь с т в о. Следует расс мотреть лишь с !учай, когда А ф- В и когда С пе совпадает ни с одним из чисел А и В. Пусть ради определенности А < В, А < С < В.
Расюмотрим фупкцгпо ср(са) = «(к) — С. Эта функция непрерывна на сегменте [а.Ь] (как разность непрерывных функций) и принимает на концах этого сегмента значения разных знаков ссэ(а) = «(сс) — С = А — С < О, ссэ(6) = «(Ь) — С =  — С > О. По теореме 8.5 внутри сегмента [а, 6] найдется точка ~ такая, что ссэ(ь) = «(Π— С = О. Стало быть «(с) = С Теорема чоююана й 5. Ограниченность функции, непрерывной на сегменте Теорема 8.7 (первая таеорема Вейерштпрасса).
Есл!с с«сункнаа «(к) непрерьсвна ни сегменте [и, 6], исо !сна огранссчгна на этом сегментпе. Д о к а з а т е л ь с 1 в о. Докажем, сто функция «(с) ограничена сверку па сегменте [и,Ь] (ограниченность снизу докжэывйстс71 совершенно йнйлО! инно). Предположим противное., т. с. дону!*.тим, что «(.г) не является ограни!синай сверху на с!имен ге [О„Ь] Тогда для лнсбого натурального числа тс, (тг = 1, 27... ) найдется хотя бы одна точка к„тгэ сегьичгга [а, 6] такая, тто «(к„) > п, (иначе «(к) оыла бы ограничена сверху на сеть!енте [о, 6]). Таким ооразом, существует последовательность значений к„ из отмен!й [О,Ь] тйкйя, что соотвсстству!Ощйя пос лстдогйтссльность зна сепий функции 1«(к„)) является бесконечно большой.
В силу теоремы Бсслысано Веш;рштрасса (см. теорему 3.1? из и. 4 З 4 гл. 3) из последовательности (к„) молсно выдсглить под- ПОС' 1ЕДОВНТС'ЛЬНОС'Тап СХОДЯП1?1ОСЯ К ТО 1КС1 ь, П1Э!П171777!Ссжтгнсгг!й!. В 257 точнык и лни еь>н>сци>е силу зймечйнпя 2 к укйзйннОЙ т<Ореме, <(> мензу [се, Ь). Ооознйчим эту подпо<|ледовательность символом (хь„) (и, =- 1, '2,... ).
В силу непрерывности функции Е(х) в точке ~ соответству|о|цая под»О(:7(.;|овйт<,лы|ость энй п<ний функщп| (Е (хь„) ) обязйнй сходиться к е'(~), 11о это невозможно, ибо подпо<шедовательность (~(хгь)), бУДУчи выДелена из бесконе |но болыпой по< |еДоват(лы1Осги ( Г(хс>)), сама яВ>1я(>гся б(эск01к> шо бОльшОЙ (см. п. <) 4 гл. 3).
Полученное противоречие доказывает теорему. 3 а и е ч а н и е. Для ипзервала (или полусс|гмснтй) утверждение, аналогичное теореме 8.7, уже несправедливо, т. е. Из непрерывное>и функции нй иигерва:и> (или полус<шменте) уже НЕ ВЫтЕКаст ОГРанн ЕЕНПОСтЬ ЭтОй ФУНКЦИИ На УКсшаННОМ МНО- жестве, Рассмотрим, например, функцию Е (х) = 1>>х> на интервале (О, 1) (или на полусегменте (О, 1)). Эта функция непрерывна на указанном интервале (или полусегмснте).
но нс является нй н(м о>рйни иннОЙ, ибо с!щ<с|ву(т по(|7<довйг<>.|впасть то нк хн = 1/и (н, = 2,3,...), принадлежащих указанному интервалу (или пол!а:( гми1ту ), >акая, 1то соотВ(1 ГстВТ 1О!цая п<хсп ЛОВйт(ц!венк:ть знач(>ни>> фуе(к1(ии (У(>хв)) = (и) яв.тя<>тсл боскОне 1е10 больпп>й. 'й 6.
Точные грани функции и их достижение функцией, непрерывной на сегменте 1. Понятие точной верхней и точной нижней граней функции на данном множестве. Рассмотрим функцию 1(:г), <праннченную на данном множестве (х) сверху (снизу) ). Рспольз>:я для мно>к(>стай всех зий 1('.Иий этОЙ фенк|(ип вв(.денное В и.,> ~ 1 гл. 2 понятие тощой Верхней (ТО|«ой ни>ке|еЙ) грйпи, мы придем к <шедующему <шределеняю. Число М (">осло т.) назывиетсл, гп, о ч, и о й в с р х н с й (т, о ч и, и й и и ж н е й) г р а н ь ю <у> д н к 1> и и 1(х) на л(ноз>сесп>вв (:г).
если выполнены слс>дукт(ц<>е два требования: 1) для казкдого зничения х из множесп>ви (х) сприведлпво неравенство у(<х) ( М (1(<х) ) >и); 2) каково бы нп было положип>вльное числ<> г. н<ийдвпхя хоп>я бы. одно значение х из множества (х), длл, которого справедливо нсрс>иенс>пво 1(;1>) ) М вЂ” г (1(х) С >п + е). В этом определении требование 1) утвер>к;(ает, что число М (чис:ю т) яв>|яется одной из верхних (нижних) граней функции Е(з>) пй з>1>О>асс:.~в<> (з>), а трсбовйняе 2) гон<>рит о том. что э|й грань является нал>мень|ней (нииболььлей) н уменьшена (увели- Определение функции, ограниченной на данном множестве сверху (снизу), было дано в начале г 2 этой главы.
В Ндк Ипьвв, тьг. Познав, часть Е 258 ОснОВные теОРемы О нГП1'е1'ыВных Функциях Гл. 8 чена) быть не может. Для обозначения точной верхней и точной нижней граней функции /'(х) на множестве (х) употреб;1яют следующую символику: ЛХ = впр(/(х)), т = ш1[/(х)). (я) Из доказанной в п. 5 8 1 гл.
2 теоремы '2.1 непосредственно вытекает следугощее утверждение: ес,ли г/зуггкция /(х) ограничено гю мнооюесгпве (х) сверху (снизу)„то у функцгги /(х) существует на эп1олл мнвггсеспгвв точная верхняя, (тонная, нивгсняя) ярань. Естественно, возннкаег вопрос. является, ли тонная, верхняя, (гнонная, нггжняя) еуэань фуннцигг двспгигсимо11, т. е. сущег:твует ли среди точек множества (х) такая точках, значение функции в которой равно этой грани. Следующий пример показывает, что точная верхняя и точная нижняя грани, вооби1е говоря„не являгогг1ся, досгггижимыми. Расг:мотрим на г:егменте [О, и/2) фунгигию ) вшх при 0<х<п/2, /(х) = ' 1/2 при х = 0 и х — т/2.
Эта функция ограничена на сегменте [0,п/2[ и сверху и снизу и имеет на этом сег менте то гную верхнюю 1рань ЛХ = 1 и точную нижнюю грань т = О. Однако ни в одной точке сегмента [О, и/2) эта функция не приниъгает значений, равных этим граням (рис. 8.6). Таким образом, рассмотренная нами функпия не имеет на сегменте [О, и/2) ни максимального, ни минималь- 0 ного зна гений.
Обратим внимание на то, что рассмотренная нами функция не является непрерывной на сегменте [О.п/2). Это обстоятельство не является случайным, ибо, как мы докажем в следующем пункте, функция, непрерывная на сегменте, обязательно достигает в некоторых точках этого сегмента своих то шых В(грхею1э и нижн(',Й граней. 2. Достижение функцией, непрерывной на сегменте, своих точных граней. Пусть функция /(х) непрерывна на некотором сегменте [а, 5 [. Тогда в силу теоремы 8.7 эта функция ограни пгна на этом сегменте и сверху, и снизу. Стало быль, в силу утверждения, сформу:шрованного в предыдущем пункте.
у этой функции гуществуют на сегменте [ги5] точная верхгпи грань М и точная нижняя грань гп. Докажеы, что эти грани достижимы. точнын пани ех нкции 259 Теорема 8.8 (вторая тпеорема Вейер<игпрасса). Если функции Г(сс) непрерыв|са на сегменте [а, 6], п<о она (!Остигае)п на эпсом сегмент|с своих точных верхней и нижней граней' (т. е. на с)егменте [а, 6] найдутся такие точки:|:1 и хг, что с(х() = М, с(ха) = т). Д О к й .1 й т е л ь с т в О.
Докажем, ч! <) <])1 нкцнЯ 1 (:г) дОстиГйет нй Г(|Гм<а1те [а, 6] сво()Й точнОЙ В('.рхн(',Й Грани М (достиж()е1ие ГО'|нОЙ нижн(!Й Грани ДОказыва(гт('.я аналОГично). Предпо.п)жим про|нанос, т. е. предположим, что функция 1(х) не принимает пи в од!И)й точке сегмента [а,б] значения, равного М. Тогда для всех точек с()гмента [а,,б] справедливо нерва()Яство Г'(х) < М, и мы меж()м рйссмотреть нй <(!Гмент(.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
