Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Напомним старое определение т)1)еде)сытого значения функции, ввсдетшое в гл. 4: число Б назьсвиется пределъпым зпа сени; т.м фуптсцтси т'(тст) в тт)с)чает х = а, ехлп для лтвбой схвдятцгтя к а ти)еледоеипселъноет)га хт. ти....х„,... зпссченлгй иргултептии х, злемеплвъс которой отлп"спы от а, с)т)ответ))си)ау)о)цтса тсососедот)зоелопосптгь с (хт), ((хи),..., с (з:„),...
зпичеюну фупкцтт, отсидится к Ь. Сфорзгилируем теперь новое определение предельного значения функции. Уисзсс) () пизьсстиется щтс«)елъпъсм зпачеппем фупкцип т'(х) в птичке х = а, г«:лп для ллобсмо тсоложтс; тсилт)7«ггс) чтссли. е тси)1дс)ттсс)я тсолвжитпелт)пост чт)ело Ь ) псокве. с) иво для всех зиагсеппй слргумспти х, удввлетп,воряющих пери; с) Так как Ь загасит от е.
то иногда оиптут Ь вЂ” — 6(е), 248 ООВОВ11ые теОРемы О 1!е!11'ВРИВных Фсуисхциях Гл. з венству О < !х — с>~ < б, спрснседливо нсграггггнствг> !~(х) — Ь | < е '). 3 а м е ч а ц и с 1. Ограни испив О < !з> — ся/ озцачаст. гго расс:мятривлются значения аргумента х, огнлнчные вп! а. Э!о ограничение становится понятным, если вспом!шть, что изучаемая функция !'(х) может быгг>ь нг! г>г>!>с>с)ел!>ос! в псо ске о. Отсутствие этого ограничения сделало бы иевозможш !м определение производной ~'(гл) как предельпого зпачгашя функции Г(:е) = ~~ ) в точке с! .г — а 3 а и е ч а и и е 2.
С логцчсс'кой точки !рспия главным в новом опрсдсдсш!и является то, что для каждого е > О насгдг>гпг>я отвечающее этому е гсолвжппсельное сз>с>лг> б, гарантирующее т !раис,!дивость неравенства у й.х) — Ь | < е д>ся «: ..: ш1Й ау>г!'мента х, удои, и!ТворяЬ.!. ющих неравенству О< );е — сс! < б. Замечание З.Привлекая идею приближешси функции !(гг>) в окрестности точки х = а с наперед злданной точ- !ЮС'1'ЬК! Е, МЫ .'40ЖЕМ С'1СД!'Ю- щим образом персформутироРис. 8.1 вать новос опредсдспис пре- дельного значения функции; "!псла Ь нпзьнается предельньс,м, знс!"сенс!ем функцсп! !'(х) в гас'сне оч если для любо>1 наперс:д заданной, спо тосьол! е я!ажно указать твг ро 6-с>ар!>г>гг>гносгг>ь гпочкгс о.
'сто для всех значений аргуяленпт:е, гпгми!'сных с>т а и, г>рсянс>длсгзнд>ьцпзг у!саванной б-г>к1>сгг>тиос>гги>, пило Ь и!тблгсжаеп! значтие функцгли ~(х) с гг>г>чнг>г>гг>иио е (рис. 8.1) Теорема 8.1. Сгг>г>рг>сг !г, нос!ос! ог>ределтпя прсдсльногв эпв; пения функцги! эквгсваленганы. Д о к а 3 а т с >! ь с т и О. 1) П!'сть с!Ва'!зла 'сиг !о Ь являетс:я предо. !ьпым зпачеиием фсгс>) в точке в, по новому оггределеньио. Докажем, что это жс число Ь является предельным значением !" >гг>) в точке и и по стссрому опрес)сленспо.
Пуссгь (хп) любая сходящаяся к *пи,!у а с!ос>!сдовательиос!ь значений аргумента, вес элементы которой отди шы от а. Треб>уст!!я дока !ать. что сов!Всчгпвукнцая пес!дедова!еды!осггь (у(х„)) !пачений функции сходится к числу Ь. Фикс>ируеы любое е > О. Оог>олспо новому ) Старое определепиЕ предельного значения функции назыяа>от сакже определением предельного >начения по Гейне.
а нояое определение определением предельного значения по Евши. ! 1 нОВОе Оп!'еДеление нвеДельнО!'О знА'1ени51 Функции 249 оирсдсчспию прог!Сльного значения функции, для мого с найдени:я б > О такое, что ) 7(х) — Ь ! < с для всех значений аргумента х, для которых О < (х — а! < б. Так как последовательно!:ть (ха) сходитсЯ к числУ а, то Дла Угогганного числа б > О найдется номер Х такой, что О < )ггг„— а! < б при п > Ж. Стало быть, ))'(ха) — Ь! < с иРи и > Ж, а это и озпачасг схолимоггь ПОГЛСДОВатСЛЬПОСтн (!(Гга)) К 1ИСЛу Ь. 2) Пусть теперь нило Ь является продольным значением 5'(ггг) в точке а по сига!юму гтрггделггнлгггю. Докажем, что это жс чиг'- ло Ь является прг'дельным значснисм 1' (.с) в точке а и по новому Оирсдслснгио.
Предположим, что это нс так. Тогда для нггкгггпгь рого положительного числа с нс найдется гарантирующего положительного числа б, укагзаиного в новом определен!1и, т. с. для это!'о с и для сколь угодно милого пгтлгтлгсггтггльнггегт б найдется хотя бы одно значение аргумента х такое, что О < )х — а) < б. но 'Ьг(х) — Ь! > с. В г:илу 1 казаши1го мы можем взять посгсдоватсльноггь ба = = 1гг71 '(и, = 1,2.3,...
) и утверждать„что для каждого сс элемента б, = 1гп най !стоя хотя бы одно значение аргумента х„ такое, что О < (хгн — 71~ < —, но Ц(ггга) — Ь ! > с. ( ) О' ,'1свос из неравенств (8.1) означает, что последовательность (гга) гхо.!ится к чьчлу О, и состоит нз элементов, отличных от а. Но тогда, согласно старому определению предо.зьного значения фУнкпии, соотвстствУ|оЩаЯ иосгсловатсльногггь (1(ха)) значении функции сходится к чип.гу Ь, а этому противоречит правое из неравенств (8.1), справедливое для всех номеров и. Полученное противоречие доказывает теорему.
Новое определение продольного значения функции позволяет нам сформулировать новое определение непрерывности функции в точке х = а ). Функцггя 7(:7) называсгпся нспрс; рьганой с !почке х = а, сс71717, для люйосо гго7гоогсгтгггльнг1ггг чнслгг. с 'набдг17пся. 7!О.лггогсгппггльгногг 'июла б юг!кос, 'чгпа для ггсех Зна'мггггт глряумсгппп х. удоолггнгсорялогцнх нгг!Ягггсггсгггггу ~х — гг~ < 75 сггриггггдлигггг нсраеснсгпОО (~ (х) — 1 (а) ! < с. (8.2) 3 а м с ч а н и с 4.
В этом определении нет необходимости наклад!!вать Огратгггчсниг'. О < ):71 — а(, ябо ири:7; = а .зевая часть неравенства (8.2) обращается в пуль и неравенство (8,2) заведомо справедливо. ') Коггечно. прн этом прелполагаетсн. по функпнн у = !(Я) опре.гелена н а самой точке а. 280 ООНОВные теОвемы О нен1'е1'ыВных ФУнкЦиЯх Гл. 8 По аналогии с вышснзлохкснш >м формулируется >ювао онрсдслснис предельного значения функции н доказьсвастся эквивалентность этого определения старому опрсдслсцшо н для случая, когда одно или оба ч>юла, а н б с>б1ми»а>отс>я в +со >сл>с — оо. Ограцичимгя тс.м, что сфорь>улнрусм новос онрсдс.
>синс предельного н>ачсшгн функции для случая, когда и = +ос: число б называется предельным. г>юченнем 1 (х>) прил сс; — > +ос, если для любого пюлоаюнлпслыного ° >псла найдется пс>лоо>ес>лпс»сьное тс.ло Л >с>с>кое, четв для всех ана"сепий' иргулсенса>и х. удовлегнвс>ря>о>цс>х неравс>нсгпву х ) А. справедливо нермсвенепгво )('(х) — б! < е. Рисунок 8.2 разъясняет указеишос онрсдслсциг. Рис. 8.2 В заключение сформулируем новое онрсдслсцис правого и левого предельных з>ичсний функции 1(:с>) в точке а: числ>> б нас>ьсвиесис я.
п1>авьсм (лс вьсм) пред> львылс с>алчен>сс>,и срункцссс> 1 (>е) с> пн>чкв> и. с:с>лн, для. любого палс>глсиснельнвго "нюла е >шпдтпея полоытнсюллнсое 'тало б пи>кое, чтс> для, всег,значи>ний' аргуменпса х. удс>в>се>псаря>с>иунсг неривенству О < х — и < б (О < а — х < < б). сирс>с>с>сЬ>нвс> >сер>>с>е>сс>гс>с>о /~(х) — б ! < е. Дока>аттыьство эквивалентности этого определения старому определению правого (левого) продольного зцачсция совершенно аналоги шо доказательству теоремы 8.1.
2. Необходимое и достаточное условие существования предельного значения функции (критерий Коши). Пользуясь эквнва,зснтногтью старого и нового онрсдслсний предельного:сначсння функцнн, установим необходимое н достаточное условие сугцсствования у функции 1(се) предельного значения в точке и. Определение.
Будем говор>ннь> "сто с1>ункцс>я 1'(>х) удовлетиворяет в п>очке т. =- а условию Копн>, сели для л>с>бого полоаю>инельного шола, е найдется полооюипгельное "спело б такое, чтс>, кокс>вы бьс ни были два зкчсчешся с>ргвулсс»стс> х' и х". удов- ! 1 НОВОЕ ОП!'ЕДЕЛЕЦИЕ НРЕДЕЛЬНО!'О ЗНА'1ЕНИ51 ФУНКЦИИ 251 лепи!ори«щпе !1«1я!«снег!!вам 0 < )х' — а( < д, 0 < ф' — а~ < б. для е«вп1«стет«у!«1ц1ьх значений: функ!!ии ст11я1вед и!оо 51«!я!вене!!1«о !~(х ) — 1(х )! < е. Теорема 8.х (критерий Коши). Для пюв«чтобы функц!!я ф(х) имела к«неч!юе н11едельное значение в и>«"ске х = и, не«бходг!м«п доепмпп«ин«.
1тобь1 функция ф(х) удовлетпворяла в зпигв 1по'!ке уеловню Коип!. Доказатель1 тво. 1) Нсоб1ходиь!ость. Пу1ть существует конечгтос предельное зна п.иие !зп! 1(х) = Ь. Дока«. Еа жом, что фупкция 1(х) удовлетворяет в точке:г =- а ус!зови!о Коши. Возьмем прои !вольное е > О. Согласно новому определению предельного зпачспия функции для положитсльпого числа е~'2 Найдется поло>китс,зык!с ч!и:ю д ~~~о~, !то, ~а~~~~ бы !и! были зпачспия аргуч!сита а и х", удовлстворякпцие неравенствам 0 < )х~ — а! < д, 0 < )х« — а! < д, для соответствующих зиачспий функции справедливы Неравенства !1(х') — ь( < е,12, (ф(х«) — Ь | < е/2. Так как модуль суммы двух всличин нс превосходит суммы их модулей, то из послсдпих первее!и:тв получим /((х ) — 1(х )! = !() (х ) — Ь) — (1(х ) — Ь)! < < Ь1(х) — Ь!+!1(х ) — Ь! <е. Тем самым дока1апо, что фупкция 1(х) удовлетворяет в точке х = а ус.повию Коши.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
