Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 52
Текст из файла (страница 52)
В.занном случае т = Ь, случай). Сделав подстановку 7 еР 71х =— и71 17 ' 7 = 1,71 — х'-'.;х = 1771 — 17. оудем иметь 1=-/'(1 -7')'67 =- ~ 12 ~2~1'дз ~7"67= = — 7 -е — 77 — — + С = — 1771 — ха + — ие(1 — ха)' — ж С. 2 и7(1 хтаа))оо 3 Ь 3 5 4. Интегрирование квадратичных иррациональностей посредством подстановок Эйлера. В этом пункте мы докажем интегрируемость в элементарных функциях .;побой функции вида П(.../, Зз. .г в), (7777 где оз Ь и с — некоторые поспзянные.
Функцию такого вида будем называть квадратичной ир)звззвоззалиезоспзизо. При этом ъзыз конг'1но. с 1итаех!, ч гО квад)затный т)зехчлен в:г + Ь:е+ с не нмсет равныт, корзсей (иначе корень из этого трехчлена может быть заменен рациональным выражением). Х(ы докажем, что интеграл от функции (7.66) вссзда рационализируется одной из так называемых подстаз*овок Эйлера. (",начала рассмотрим случай. когда квадратньпл трехчлен охй + Ьх + с имеет комззлексезые корни. В этом езлучае знак ква- ) Пафнутий Львович Чебышев — ве.тикий русский математик (1821- 1894).
В середине нрошлозо века П.„1. '1ебышев ') доказал, что указааньзма еише. и рс.ия случаялзи асчерпьзвазозпся ьсе случаи, краз)а бинолзиальнь771 ди77)зсрззнцззал иптеериррепшл в олемснепарнмх 7)ззрнкциях. дх П р и м е р ы. 1) Вычислить интеграл1 = ' = 1 х а(а+ + Ьх ) 7 71х. Здесз пз = — 2, и = 2, р = — 1772, так что +о= — 1 77 (третий случай). Сде,зав подстановку гаггткггияг'Овлггггй ггг'глцггс)ияггыгык выййоккггггй 237 дратного трехчлеиа совпадает со знаком а..
и поскольку по смыслу квадратный трекчлен (гв которого извлекается квадратный корень) полой)сипгелен, то о > О. Таким образом, мы имеем право сделать следующую подстановку: !=и . +1~. р,а. (7.67) Подстановку (7.67) обычно называют первой подспгиновкой Эйле~ю. Докажем, что зтй ИОдстановка 1)ациО«В.:)изиру()т интегрйл от фуикции (7.66) дггя 11йсс.гат1игвйемг)гг) плучйгг.
Во:)вг,ггпйгг в «. а ° а) ° .« ~ ..«:- Лл рт.7! =ь-: Л,..сй. Ьг + с = 12 — 2 „Га, Ьт, так что — с 2+ 6 +,/аг -Ьаг+с)га х = ах' + Ьс+ х =- 21)аг-)-Ь 2угаг ж Ь )х 2 г/а г + Ьй, -с с)гса Ь (2;/а г -)- Ь) Таким образом. Г л(.,а.л+г:..йг) гл= — с 1Гаг Ч Ьг же)))а гга г -)-Ы Ееа г Ь г 2)гаг+Ь' 2гггаг+г) ! (2 гаг+Ь) В правой части под знаком иггпгграла сгоьгг рациональная дробь. Рассмотрим теперь случай, когда квадратный трекчлеп ах2+ + Ьх + с имеет несовпадающие еепйестпееппьге корни х) и;с .
В таком случае ахо+ Ьх+с = и(х — хг)(х — хя), Докажем, что в этом гглучае иптеграл от функции (7.66) рацигпгализируется посредством подстановки ь Ъя+Ъгг (7.68) а .с1 называемой обычно второй подстаггоекой Эйлера. В самом де- «"Л р .: ачлттг.,~ = 21. —,) сокрапгйя полученное равенство па (х — хг), получим о(г,— хг) = = Ь (х — х,г), гак что гг — а " Ьг — а 2а(хг — хг)г (гг — а)а 238 унтк! ! ивовяник в элкмкн!и! них еъниниях ггк г Таким образом И(яр~/. рр.р ) ри = р о з р р / — ахр -!- ин а(ио — и )11 2а(гр — яр)! !и — а ' !р — а (!р — а)- В правой части под знаком интеграла стоит рациональная дробь. р!ир ирв..кр..
Ии. » - . рг: р= ! Пв:, .ртр .р гр» ° .. *г р.; р р корни, сделаем первую подстановку Эйлера р= Б р'рр-,- Ь: .. ° ° «-.рр, .рь ° - р . ихмг,'Л~ , рТ = р — .. получим хв -)- х -1- 1 = 12 — 2йх -!-;гв или х -1- 1 = 12 — 21х. так что :и, = . а!х = 2 ', пг. !и — 1 В+1-ь1 ! -ь 2! ' (! -ь 2!) и Таким образом, Неопределенные коэффициенты А, В и С легко вычисляют- ся: А = 2, В = — 3. С = — 3. Окончательно получим 1 = 21п(г( — -'1п)1+ 2г)+ + С = 2 2(1+ 2!) = 21 я р р р .~- — — ь 1 к 2, р р~/: 'г' * р р 2 + + С.
р! 2. 2яррксц р1т, 2)ир;х=р".пр квадратный трехчлен 1 — 2х — хв имеет вещественные корни х! —— — 1+ ъ'2 и,г2 = — 1 — ъР2„сделаем вторую подстановку Эйлера (7.68) х+!з-Я И: рр 6в гк р Т вЂ” 2.,—, = р(ьр + 1+ ~/2), бурдем имегь ( — 1)(х+ 1 — ай) = г2(х+ 1+ у'2), твк что — ! (ъ 2-Ь 1) + ррР2 — 1 2 2мР2 х= !Р + ! 1 — 2т,— хв = .'-'+ ! 1' 1!о и!!три!! ировлпиви!хвлциоплльныхвы!тлжнп!й 239 Р+ ! ' (ет э- !)т Таким ттбртцтохт. — — 4 2 1т1! Рт -Ь 1) (!э -Ь 2 игй ! -Ь 1) т ~ э Получаем интеграл от рациональной дроби, вычитщение которо- го ттредоставлаем читателю. б. Интегрирование квадратичных иррациональностей другими способами. Хотя подстановки Эйлера всегда рационализируют интеграл от функции (7.66), но обьтно эти подстановки приводят к весьма т ромоздким и слажным выкладкам. Ввил„у этого на практикс часто пользуЮтся другими сттособаъттт интетрировання функции (7.66).
Этим сцогобам и посвящон настоящий пункт. в, собой многочлен, мы хюжем представить функцию (7.66) в виде суммы Л(та й) — йт ! г) + йт тх) т я где йт !х) и Лт(х) некоторые рациональные функции одной переменной. Поскольку интеграл от Лт !х) берется (в элементарных функциях). нам достаточно заняться вычислениелт интеграла от функции Лг(х)ттд. Л!ы уже знаем '), что всякуто рапиональную дробь Л, (тт) можно представить в виде суммы мнот очлена Рбс) и ирооильиоб рациональной дроби йт(х). Правильную рациональную дробь йт(х) в свою ттчередь можно разложить на сумму простешттих дробей. Имея это в визу, мы можт'м утверждатв, что проблема интегрирования функции Л, (х)тттт сводится к вычис.- лению интегралов слелуювтттх трех типов: 1 Р(х) 1. / — т1х, тле Р(х) — мноточлен. У в и.
/ 4х, где А и Л вЂ” некоторые постоянные, а натуральное у (х — и) й пи;то. Ъ|х -Ь тЛ' 1П. „т)тк где 81, тч, р и т! - некоторые постоянные, Л-- у бгт+рт; -ей)ху р натуральное число, причем й — — > О. Огтоновилтся на вьтислении ттттттттгралоо титто 1, и и 1П о отдслъттостви. 1. Д.,пт вычнс;гения инок.гроло титта 1 прежде всего установим реку!трентную формулу для интеграла т" х"" т)х 1„, = / ., где т = О, 1, 2, тт Для этого, предполагая, что т > 1, проинтегрируем сзедутощее проверят мое посредством дифференцирования тожлество: х'" (х й) = тло — + ~ттт — -ут Ь +~тт — 1)с д 2 д Д т) См.
начало Э 8. 240 интег11пговлниевэиехсенти1ивсхеуниииих гги7 Интегрирование что|о тождества приводит нас к равенству х = п|а1„, з; ~1|| — -1| Ь1,„| -1- (и| — 1)с1 (7.69) Беря в равенстве (7.69) и| = 1, найдел| 1 Ь 1| = -у — — 1о. (7.70) а 2а Полагая затем в равенстве (7.69) т = 2 и используя уже вычнс сенное значение 1| (т. е. формулу (7.70)), найдем 1 | 1| = —,(2ае — ЗЬ)у+ —,(ЗЬ вЂ” 4ае)1о. 4ае ' бао Продолжая аналогичные рассуждения далее, мы придем к следующеи общей формуле: 1„= Р„, с (х) у ч- с, 10. (7.71) где 1'„, |(х) - аекоторый многочлен степени т — 1, а с„, — некоторая постоянная.
Если в интеграле типа 1 Р(т) представляет собой многочлен степени и,, то интеграл типа 1 будет равен сумме интегралов 1о, 1|,..., Х„с не| оторыми постоянными множите|жми (козффнцнентами многочлсна Р(т)). Стало быть, в силу равенства (7.71) мы окончательно получим для интеграла тина 1 следую|цую формулу: !' " дх=()о с(х)у+Со 1 — '. ' Р(т) 1 дх (7,72) В втой формуле с)„|(х) есть некоторый многочлен степени и, — 1, а Со— некоторая постоянная.
Для определения многочлена Ц„ |(х) и постоянной Со используется метод неопределеннмх коэдх)1ициенглое. Зйногочлен Ьд„| (х) записывается как мно|очлен с буквенными козффициентами Ю„с(х) = Ао з- А|х -р... + А„,х' '. Дифференцируа равенство (7.72) и умножая рес|ультат дифференпироваш|я на у. полу щм Р(х) = 1зЗ'„с(се)(слх З- Ьх -1- с) -~- -Гд„|(х)(2ах т Ь) з- Со. (7 73) 2 В обеих частях равенства (7.73) стоят многочлецы степени в.
Приравнивая их козффициенты. получим систему и -1-1 линейных уравнений, нз которых определяются Ао, А|,..., А„| и Со. Разрешимость полученной системы вьггекает из справсдливогти формулы (7.72), уже докгщанной нами. Остается добавить, что интеграл, стоящий в правой части (7.72), приводится Ь к табличному посредством линейной замены переменной 1 =:г, -~- —. При 2а 1 |1х помо|пи укжщнной замены интеграл — с точно|:7'ып до нос|гааги|ого |шоу житела сводится к одному из следую|них двух интегралов: = 1п 1 сг усс'о х )св -1- С (у = сопвС > О) сй ьЛ'ГР или 1,г с11 =- агсвш — ч- С. л/Г:T 1 !О ин'Ге! РиРОВлпие и!2!слЦНОплг!ьныок Вьп'луке1п!Й 241 П р и м е р. Вычислить интеграл 11х.
Для рассматриваемого интеграла формула (7.72) имеет вил г 2: о=11 + 2: '1*',1 722* — * сс ! 2: 2п - иь' 2Р221 Дифференцируя эту формулу и умножая резуль газ дифферояцировация на х' = (А1+ 2Агх)(! Ч-2т, — хг) -Р (Ао+ А!2: -1-Агхг)(1 — х) Р Со Сравнивая коэффициенты при х,;г 2 х . х' в правой и левой частях, по- 3, г 1,,0 лучим систему уравнений — ЗАг = 1, оА2 — 2А1 = О, 2Аг Ч- ЗА1 — Ао = О, .41 -Р Ао + Со = О.
Решая зту систему, найдем 42 = — 123, Ас .= — 5226, Ао = — !9226. Со = 4 Интеграл, стоящий в правой части (7.74), вычисляем посредством замены ! =:г — 1. Ползчим ) Иг: I' сй . 1, . х — 1 — с= . ' с. +2х — * .1 2— Окончазельно будем иметь 2 хг 19 5 ! х — 1 ,2. =( — --' --2Л) 2 ь- * ° 2,;;а" с. ,Ь ь ~ 2 2 2 У22 П. Переходим к вычисленисо ингнсграла глина П. Покажем, что этот 1 интеграл сводится к интегралу типа 1 посредством замены Ь = . В .г — А сак!ом деле, пос1сольку М г (Ага -!- АЬ Ч- 2.)!г -1- (2аА -2- Ь)! -У а с(х= — —, ах +Ьх+с— гг' !г МЫ ПОЛУЧИМ =- /' В /' Вг '111 Их =— (х '1) у,! (Ага ч- АЬ ч- с)!г ч- (2ОА+ Ь)1+ а П1. Займегшя2 наконеп, вычислением интеграла типа В Е Прежде всего вычислим интеграл типа 1П длл частного случал р = О, Ь = О, т.
е. вычислим интеграл Л|х+ Л фг. (:гг-Р 2!)ху221:го+ с Этот иятеграл распадастея на Сумму двух интегралов =, /' 2 2 -.=-/' х с(х /' 112: К,=,, ', К=с! (х2 1. у)л,гаго -Р г ! (ог Ч-2!)Лисагр+ с б 10 интву1 ун~овлнив и1грлционлпьныуд вырлидвний 243 '1акнм образом, коэффициенты и и и определятся из системы уравнений 2ри+ р(р 4-и)+ йд = О, 2риа+ Ь(и+ и) -~-2с = 0 или из системы эквивю1ентных уравнений 2(с — ад) ср — Ьд и+и= —, и и= Ь вЂ” ар Ь вЂ” ар Стало быть, и и и явлшотся корнями квадратного уравнения -1- = 4- = О. е 2(с — ад) ср — Ьд Ь вЂ” ар б — ар (7.77) Остается доказать. что квадратное уравнение (7.77) имеет веществевпые н различные корни.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
