Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 44
Текст из файла (страница 44)
й 2. Основные методы интегрирования 1. Интегрирование заменой переменной (подстановкой). Вамепа переменной один из самых эффективных приемов интегрирования. Этот приеьс оазируется на следукпцем элсь ментарном угвстрждении. 1111стпь ф)1нкция 1 = с)7(,х) О7141едвлена и диффертенийг)зуслса, на, нскв7пврвлс .л1нпэнгРстпВР.
(х) ) и 71успсь (1),мнОэтсес7пвО Все.с эналссний этой функции. Пусттпь далее для функцтги я(1) существует на множестпве (1) тсервообраэная функция С(1)7 и,. с. 1 1 1 1 7 а(1) 711= С(1)+С. (6.3) Тогда Всюду на, множестве (х) для футсктцитл е [с)7(:11)]777~(сс) сущес7пВуРтп, 71ерВОО17рсзстная функция, равная С[77(сх)), 7п. Р. (6.4) Для доказательства этого утверждения:)остаточно воспользоваться правилом дифференцирования сложной функции-) —,„'",,(С[р(х)) = С'[р(хПАх) и учеггчь по, 1ю оснсс.сс;1снию периообрн пп1й.
С (1) = й (1). Предположим теперь„что нам требуеття вычислить интеграл ) (х) с!гл (6.5) В ряде случаев удается выбрать в ка гестве новой переменной таКуЮ днффсрвицнруЕМуЮ фуНКцИЮ 1 = 777(Х), ЧтО ИМЕЕТ МЕСТО Ч Это множество представляет собой либо интервал, сшбо сегмент, либо полупрямую, либо бесконечную прямую.
7) См. г 7 гл. 5. 197 ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТНГ1'И1'ОВАНИЯ равенство (6.6) |(с»!) = я(~р(»»»))с»» (х), причем функция я(1) легко интегрируется, т. е. интеграл е (1) »11 = С(1) + С просто вычисляется. Доказанное выше утверждение позволяет нам написать с!едующук! формулу для интеграла (6.5): ~ ~ч |(с»:) с(х = С(!»»(;!»)] + С. (6.7) Этот прием вычисления интеграла (6.5) и называется ингпегриг»ос»аниел! путем замены иерементт. Конечно, такой прием применим не ко всякому интегралу. Кроме того.
следует подчеркнуть, что выбор правильной подстановки в значительной мере определяется искусством вычислителя. Приведем ряд примеров, иллюстрирующих только что изложенный метод. 1'. Вычислить | сов 2х с(х, Для вы !игления этого интеграла следует сделать прас:гейшу!о подстановку 1 = 2х, »11 = 2»1х.
В результате этой замены получим сов 2х »1т, = — сов 1»11 =- — вш1+ С = — вш 2х + С. з с ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 1 ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ | д т ~ ~ ~ | г с 1 2 2 2 2 . Вычислизь | — '. Этот интеграл вычисляется посредо дх Х +»» ством замены 1 = х + а, »11 = »1х.
При этом получим 3'. Вычислить / е'"" вшх с1!»ь Легко видеть, что этот интеграл вычис'35»с»чс»! и'»тем зван»ны г = соя.г. В самом деле. при этом »11 = — в!и»!» »(х и Г (агесс» т1' 4'. Вь! пк.!ит», с1»е. Д;!я вь! »исв»ени;! !того ипте- 1+ »,'- града удобна замена 1 = агсга х. В самом деле, при такой замене М= 1' И Г(""Вх1'" ~т= |»Ш а = "" ~~=(-с"")'а' ~С 1 + х- | 1-1-: '' | 1О1 1О1 198 нкопгкдклкшзый ииткг)Ал 5'. Вычислить 1 (7х — 9)азз" ««х. Еон««чно„этот интеграл можно свестн к сумме тр«.х тысяч табличных интегралов. расписывая подынз:егральную функцию по формуле бинома Ньютона.
Несравненно проще сделать замену 1 = 7«: — 9„«11 = 7«1««:, в результате которой мы получим Г 1гооа «-, 0 гога (7х — 9) ээя 1 = — 12ээа«11= 1 +С= ~ ' ) +с 7 21 000 21 000 б'. Вычислить | ' . Чтобы усмотреть ту замену, посред- Г «)х «:ог х ством которой может быть взят этот интеграл, перез«ишем его и виде «)х 1' соя х «1х / согх йх сов х ) соаг х / 1 — вшг х Посс«с этого понятно, что следует положить 1 = вшх, «11 = сов х «1х, В резулшате получим г «и 1 )1+1) «х .«з соах / 1 — )г 2 ~1 — 1~ ),2 4«' 3 7'. Вычислить " . Удобна замена 1 = (2««з)4. «И = )«(2х)" Е 1 = 64:са «гх. Прп этом ~ ~ з ~~ ~ ~ ~ ~ г ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 2 2 хг «1х 1 | 61 асс«61 С агс)6(2х) С (2х)а+1 64 / 1г -)-1 64 64 8'.
Вычислить ', Для вычи«,пгния этого интегра; йх г Ь аг)г«г ' ' ла оказывается удобной тригонометрическая подстановка 1 =- х «11 = агскй —, х =- а181««1х = п —,, а' ' ' ' ' согг1' В результате этой подстановки интеграл принимает впд (хг -)- аг)«пг аг 1 аг аг «1 4 «кг ) + С. агъ~х,г + аг «1х 9'. Вычислить, .
Здесь оказывается удобноп под) й г г)г«г ' становка 1 = аг«а)ц —, х = аяза., «7х = а соь1«11. При этом 1 яп1 , х аг /1.;„'-'1 аг /~г хг ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГ1'ИРОИАНИЯ 199 10 . Вычислить | ~ ' ' дх. тля вы !Ис"и!ния чтото интеграс' у( а — х ла оказывается удобной замена 2! = агссов —, х = а, сов 21„11х = и = — 2авш21М,. Мы получим — с1х = — йа сов 1Л = ~ а ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ д с" 1! =-"Ь- --")"'=-" -"%-""= /с2 2 ,х lхй = — 2ау — авш21+ С = — а агссов — '+ 1 — ( — "( + С. и 2. Интегрирование по частям. К чисгт!у весьма эффективных методов интстрировавия относится лсьчлод пнтегрссрс!вансся гсо 'час!гаям. ЗтОт метод Основывас'.тся на гас!дуя)н!Охс утвс'.рнсде- НИИ.
Пусть кажгдая из функций н(х) и о(х) дссфференцссруелссс на лснссзссессгсве (х) и,, кроле с!гого, на атом многи сспве сусс!Всгпвусет, первообразная, для функцсги ю(х)и'(х). Тогда на множестве. (и) существует первообра ная и дяя функцисс сс(х)ю'(х), причем справедлива формула п(х)и'(х) с!х = а(с)и(х) — ю(сх)сс'(х) Ах. (6.8) | з г ~ ~~ ~ с ~ ~ ~ ~ | 3 а м е ч а н и е.
Определение дифференциала и свойство пнвариаптности его формы позволяет записать формулу (6.8) в ВИДЕ (6.9) Дс!я доказательства сформулированного утверждения запишем формулу для производной произведения двух функций и(х) 11 о(х) (и(з:)и(х)) = сс(з;)71 (х) + 'и (х)и(з;). (6.10) Ухсножитс равенство (6.10) на с7х и возьмем интеграл ог обеих частей полученного таким путем равенства. Так как по условя!о для Всех сс; пз множества (х) суп!ествуст /и(с)и'(х) дх н ) (сс(х)и(сг))' й с = и(х)и(х)+С (см. свойство 2' из и.
3 9 1), то для всех х из множества (х) су!пествует и интеграл ) сс(х)и (т) с)х. причем справе:!лина формула (6.8) (или (6.9)). Формула (6.9) сводит, вопрос о вычислении сснгпег1юла ) и!1!с к вычислен!ив слнтсграяа / ю ди,. В ряде конкретных Осучаев з го г последний интеграл без труда вычисляется. нкош кдклкнный инткс сил 200 !л.а Вычисление интеграла ) и г1ги посрсдствоь! применения формулы (6.9) и называсот гснгпеа1ссгроаассиелс ио частям. Заметим, что при конкретном применении формулы интегрирования по частям !6.9) очень удобно пользоваться таблицей дифференциалов, выписанной нами в п. 2 2 9 гл.
5. Переходим к рассмотрению примеров. с'. Вычислим интеграл 1 = )':ггс )ссх г1г, (и ф — 1). Полагая и = )пи, гйс =;со г1х и используя формулу (6.9). получим гйл = 1 а+1' = — 1 г; — /Г.:" 1х = — ' 1п: — — ) — - С. сс+1 Са-Ь1) / и+1 гг-Ь1! 2". Вычислим далее интеграл 1 = / х асс1я х г1х. Полагая и = = асс!я:г„г1и = х гЬ: и !!спользуя формулу !6.9). будем иметь г1х х г1и=,и= —, 1ч-хс' 2 ' 1 = — агс1езг — — / ' г1х = — агс1ях — — /, г1х = х2 1 1 хс хс 1 Г К1+хя) — 1) 2 2 / 1+хс 2 2 / 1+хс Г 1 Г ггх = — агс1ях — — / г1х+ — / = ' агс)йх — — + С. 2 2/ ' 2/ 1+х' 2 2 3'. Вычислим интеграл 1 = ),гс сов х г1т..
Сначала применим формулу (6.9), полагая и =:г-'. г7и = сов т, г1гг. Получим г1и = = 2:г г1х. и = вшх, 1 =;с:2 вш,г, — 2 ) хвшх с)х. Дгся вычисления последнего интеграла еще раз применим формулу !6.9). полагая на чгот раз и = х, г1сс = вшх гЬь Полу сим гРсс = г1х, и = — сов х, 1 = хя ейп х + 2х сов х — 2 ) соа х г1х = 1х2 — 2) сйп х + 2х соа х + С. Таким образом. интстрал ) ха сов т. гсх вьгсислсн нами посредством двукратного интсгрслрования гсо частям. Легко понять. 'сто интеграл ) и сов х гЬ: !Гдс: и — .чюоос; цело!! положите.сьпое число) может быть вычислен по аналогичной схеме посредством и-крат!гого интегрирования по частям. 4'.
Вычислим теперь интстрал 1 = / е"' соа бх гЬ: (а = со!!в!, 6 = со!!а!). Сначала применим формулу (6.9), полагая и = е"', а г ягсс Ь! г1и = сов ба г1х. Получим г2и = ае 'г1х, и = — ". в Ь !сг Ьля вычисления последн!то интстрала еще раз применим формулу (6.9), полагая на атот раз и = еа"', г1и = вш6 а г1х. Получим 201 основиыв мвтоцы интвп ировлни>1 сов бх йл = ае" 11х„о — —— Ь + —,, е " сов Ьх — —, 1. с в>и Ьх г> ах г> Ье (6.11) 1аким образом, посредством двукратного интегрирования по частям х>ы получили для ин>1гсрала уравнение первого поряд- ка (6.11).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
