Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Из этой теореь|ы получим, что Ф(х) = Гц (х) — Га(х) = С = = сопв1, что и требовалось доказать. Следстпвие. Бслн Г(х) о д и и, пз Гг рвообразиых фуикцГгй для, функцГт 1(ГГГ) ГЯГ ГитГе1юилг (о„Ь)„пю л, КГ 6 а,и пдрвообз разная, Ф(х) для, функции 1(х) на пнп1ервале (в,,Ь) имеет внд Ф(х) = Г(х) + С, где С некопюрая поспготшая.
2. Неопределенный интеграл. Определение. Совокупность всех иервообразиые функинй для данной функции ф(х) иа нГГГГГГГрвсые (о„Ь) назывГГГГГГГся и со и р е д е л е н н ы .и и н т е г р и л о м от фуикцГи1 ф(Ге) ') Заметим, что главы б и 7 бгз угнорба для понимания этой книги могут чизатьгя иосдо гд. 8..'11ы выдвигаем г.ивы 6 и 7 виород, побь1 текорить 311акОмстао читато:Гя с '!Окиикой инто!'рщГОВдиия. нкош ндклинный инткп ял 192 ]тса этом интпервиле) и обогни сигтся силсволом (6.1) ]" (х) дх. В этом обоза гнпии знак ) называется знаком инпсеграла, выра- ?К(сннс! 11х) дх педнтнссег]хсльтням сгсссрсссэнс>е'.тстссс с. и сама функция 1]сс>) иодынтегральной' фтункцссей. Еюш Г]х) одна пз первообразных функций для функспш т'(х) па интервале ]а.
Ь), то. в силу следствия из теоремы 6.1, (6.2) ]" (х) грх = Г(х) + С, с т с т где С вЂ” — любая постоянная. Под теркяем. что ее.лтс первообриэная (и си?ало быть, и неопределенньсй интегра,.л) для с)>тутскцтстс 1(х) ни интервале. (и, Ь) сутцествуепс„пи> тсс>дынпсегральнос. выраэюение в форлсуле> (6.1) тсредсгиаоляет собой дтсс]х1серенцтсс>л ллобой' тсэ этлсе иервообриэиых. В самом деле, пусть Г(х) — любая из первообрезных для функции 1(х) на интервале (а.
Ь). те. для всех х нз интервала ]а, Ь) Г']х) = 1 (х). Тогда 1 (х) дх = Г ]э>) дх = ЙГ. П р н м е р ы. 1) ацг = Д вЂ” хг+С на ннтервад Я ле — 1 < э> < 1. нбо функция Г(х) = ъ'Т вЂ” хг является одной нз первообразных для функции 1'(х) = ', на указанном интервале. 2) д совх дх = вшх + С на всей бесконечной прямой — ос < < х < ос„ибо функция Г(х:) = вшх является одной нз первообра:шых для функции 1]х) = сов х на бесконечной прямой. В этой главс.
вты нсс будем заниматься воссросоис о суи]тн>псвова; нтш первообразных (илсс неопределенных сштегралов) для широких классов функпнй. Здесь мы лишь отметнхт, что в ч 7 гл. 10 будет доказано. что для всякой 4утскцтссс ]" (х>), нелсрерывной на интервале, (а, Ь), сутцеспсвует но, этом инпсервиле тсервообригная суункцтся (сс тсеотс1>еделетстстс1 интеграл).
Операцию нахождения первообразной нли неопределенного слнтегралсс (от фусскцпи 1(х)) принято называть и н т е г р н]> о В и н и с. и (фусскссссн ] (х)). 3. Основные свойства неопределенного интеграла. Прежде всего отметим два свойства, непосредственно вытекаюШисс ссз опредсс,тест?ля ссеопрссдседс.>с>того исстеграла: 1'.
с] ) )1х) Йх =- >"(х) дт,. 2'. ] дГ]х) = Г]х>) + С. т т ттеРВООБРАзнАЯ ФмикциЯ и иеОпт'еде.тепный интеГРАл 193 Свойство 1' означает, что знаки (4 п [ взаимно сокращаются в (шу тае. если знак дифференциала стоит перед знаком интеграла. Свойство 2' означает, что знаки ] п (1 взаимно сокращаются н в случае, ести знак интеграла стоит перед знаком дифференциала, тн> в этом случае к Г(х) (шедует добавить щ>оизво:и ную постоянттуто С. Д:тт! устттновленпя свойства 1' доспночно вз>пь дифференциал от обеих частей формулы (6.2) и у п>сттч что (1Р(х) = Г'(х) (('х = 1(х) ()х ,т(ля установ.
Нтнпя (войства 2' достаточно в левой части (6.2) воспользоваться равенством (1Р(х) = 1" ((г) (стл Следующие два свойства обычно нтвтывают л(и)е(1!)ымп, свойспшимп инте! рала: 3'. $ Ц(;г) ~: я(х)] (2х = [ 1" ((х) ((.(> х ] йт((г) ((х. 4'. ['[Л,('(х)] дх = А [' )'(х) дх (А = сот)а1). Подчеркнем, по равенство в формулах 3' и 4' имеет у(п)овный характе1п его с>сдует понимать как равенство правой и .те- ВОЙ частей с тО'тностью до прон:!вольно! 0 НОстоянноГО сзаГ>емого (это понятно., поскольку каждый из интегралов„фигурирующих в формулах 3' и 4'. определен с точностью до щюнзволь- НОГО НО('ТОНННОГО слаГаех!ОГО). Поскольку две первообразные для одной и той лп: функпии могут отлтлчаться;шшь на постоянную, то для доказательства свойства 3' достаточно доказать, что ес:ти Р(:г) .
первообразная лля ((х), а С(х) псрвообра,)ная для Ет(х), то функция [Г(х) х ст(х)] яв>шется первообразной для функции т (х) х о'(х). Это последнее непосредственно вытекает из того, что производная (алгсбраи п>ской) суммы функций равна сумме производных этих функций, т. е. [Г(г) х Ст(т)]' = Г (х) х СЯ(х) = 1(х) х я (х). Аналогично доказывается свойство 4'.
В этом случае используется равенство [АГ(г)]' = АР'(:г) = Л1'(х). 4. Таблица основных неопределенных интегралов. В тст. 5 мы полуьтилп таблицу производных прост(.йпшх элементарных фунютий (см. Ц 8 гл. 5), представляя>щук> собой вычшлительный аппарат дифференциального исчисления. Каждая формула этой таблицы, устанавливающая, тто га или иная функция Р(х) имеет производную. равную т (х), приводит нас, в силу опреде.п;ния неопределенного интеграла. к соответствуюптсй фОрхтул(> инт('.Гра.;тьнО)0 нс'тн(хпчтия > з > ((х) (х = Р(х) + С Таким путем мы приходим к следующей таб>тице основных неопределенных интегралов: 7 В.А.
Иаьип, Э.Г. Почнаа. часть т 194 НЕО1!РЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРА2! ! '. )О с1т,=С. 2'. ) 1. с1х = х + С. 3'. х с1х = — + С 1сс ф — 1). и+1 4'. — = 1п/:г/+ С Ог у'= 0). а'. 1' ' ге= — '~-о(о~ ~ц,с.'ак= *~с. !а в 6'. 1 вшх с1х = — сов х+ С. 7'. ) сов х с!х = вйп х + С. 8'. ',"' = 11 +!бах) с1х = 1кх+ С 1сх ф — + яп. где 1 сев х 1 2 и, = О., х1..... ).
9'. / '., = 11+ с162х)с)х = — с!ах+ С (х ч'= ягг, где / Вссгг х и=0,+1,...). агсвшх+ С, з Л вЂ” х'-' ) — атосов х + С ~ а!'с1кх+ С, 11'. — агсс1и х+ С. 12'. =1п .'г,+ 1/ха+1~+С (при -- Ц > 1). 1х этим формулам можно присос!дингсть и соответствуютцие формулы для гис!ербоссических функций: 140. ) в1гх; с1х = с11х+ С. 15'. ) с1! х с1.г, = в)!я + С. 16". 1 ., =11гх+ С. 1 с!гг х 17'.
1 — '. = — с11гсг+ С (х Ф 0). вйг х Сделаем замечания в отношении формул 4, 12 и 13, Формула 4 справедлива для любого интер!гала, не со;сержапцего значения х = О. В самом деле. если х > О, то из формулы 11сгх) с 1 с!х закспочаем, что ! — ' .=- 1пх + С, а если х < О. то из формулы пврнооьрйзнйя Фмнкцнтг н нвопркднлкнный 11нтнггыл 195 [1гг( — х)] = — заключаеьг„по ! — ' = 1п( — х) + С.
Тем самым Г йх формула 4 оправдана, для любого х ф О. Формулы 12 и 13 занимают исклгочитсльное положение в нашей таблице, ибо эти формулы не ихгенэт аналогов среди формул таблицы производных. Однако для проверка формул 12 и 13 достаточно убгнгггт'ьсяг в том. что прогпводные гэыражений, сгошцих в правых частях этих формул. совпадают с соответствуюпгиаги подьштегральными функциями. Наша ближайшая цель дополнить таблицу неопределенных интегралов основными приемами и методами интегрирования, По прежде чем приступить к рвали:запии этой цели.
сделаем одно важное за меча нне. В 9 7 гл. 4 мы ввели понятие гэлелгентггугнгэг1 ф11нка1иа, а в и. 3 э' 8 гл. 5 уг'тановили. гто производная любой элементарной функции представляет собой также .элемен гарную функцию. Иными словакт, мы усгановили, что опе1гаг1ггя сЭггфференигсроеанггя не выеодггт нас из класса алеллентарны:г фЭЭньгг1ггг1.
Отметим сразу же, что с операцией интегрирования дело обстоит иначе. Можно доказать, что интегралы от некоторых элементарных функций ужо нс являются элеаиэнтарными функциями. Примерами таких интегралов могут ссгу>кить с гедующпе: 1 в ] г .г г) т 2'. 1 сов(ха) гЬд 3'. ] вш(ха) г1х. '1'. — '' (О < х ~ 1). 5'. ' ' г1х (х ~ 0). х Каждый из указанных интгггратов ггрегЭетпгтггл нет тэбгт функцию, не яоляюгцрюся алемелтгарной, Указанные функции не только реально сущг ствуют '), но и игракэт большую роль в различньгх вопросах физики.
Так, например, интеграл 1, называемый ангпеералом Пуассона или нигпегралолг оилибок, широко используется в статистической физике, в теории теп.юпроводности и диффузии. интегралы 2 и 3, называемые интлгралагми 51ы уже отмечали, что в 1 7 гд. 10 будет доказано существование неопределенного интеграла от любой непрерывной функции. Существо- ванне интегра;юв 1 б обеспечиваетси нецрорывностью подыитеградьных функций. нкопркдклкнный ннтнп лл 196 !Л.В срренел.я. широко применяются в оптике. Часто встречаются в приложениях и интегралы 4 — 6. первый из которых называется инпсегральным логарифмам.
а иосси;дние два инпп1г1ккльньсми косинусам и ссзнуссом. Для всех перечис сенных новых функций (интеграла Пуассона, испегралов Френеля. интегра.сьного логарифма, синуса и косиггуса) составлены таблицы и графики. Ввиду важности для приложений, эти функции изучены с: такой же полнотой„как и простейшие элементарные функции. Восгбп)17 с тедуот подчеркнуть ус'тонность понятия простеишей элементарной функции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
