Ильин_ Позняк - Основы математичемкого анализа. Часть 1 (1111798), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Вьгпплить производнун> функции у = 2з . Эту функции> будем рассматривать как пс>ожнун> функпию вида у = 2вс где и = з: . Используя формулу (5.36). полу шм у' = (2")'(хз)' = (2~ 1п2)2х = 2х е|х1п2. 3'. При рассмотрении указанных двух примеров мы отдельно выписывали функпии, сос тавляющие даннун> сзожнун> функцию. В этом, кон|| шос пе| пнкакоЙ пеооходимости, н на яр |кти|«> дифференцирование сложной ф>п|кции производится сразу без расчленения на отдельные гоставлян>шве функции.
Например. ! г,с 75 Й=: с 76.. с — — Сс| > — оса>| с — (в..>с (здесь /х! ( 1/75) 4'. 1еорема 5.5 и содержащееся в ней правило п|н>ледовательно пс>1зеноснтси и на ||л|'|ай |ножной фУнкпиис Явлин>пн'.Йси сУ- перпозицией трех и большего "ш|с|а функций. Рассмотрим пример такой функции. Пусть требуется вычислить производнун> функции у = 5"сс'|к(* 1.
Последовательно применяя правило дифференцирования сложной фу|п|ции, получим у = (басс|с" >" ! 1п 5> ( ) 8з ' , |з 'й 8. Логарифмическая производная. Производная степенной функции с любым вещественным показателем. Таблица производных простейших элементарных функций 1. Понятие логарифмической производной функции. Пусть функция у = 7(х) |голооюитвл| нв и дифференцируема в да~~ОЙ точке х. 1огда Р этой то и«> стп|ск>тенет 1иу = 1п7(з>). Рассматривая 1п7(х) как |пожнун> функции> аргумента зд мы можем вьг|ислить производнун> этой функции в данной точке хс принимая у =- с(з) за промежуточный аргуна нт. По»зим (1п У(з:))' =:/Ъ (5.37) Величина. определяемая форму.н>й (5.37), называется логарисс>- мичвской с|ро>|эводно|1 функции у =- 7'(з) в данной точке зь В ка |естес примера вычислим логарифмическун> производну|о так называемой сгепенно-показательной функции у = и(х)'(х1.
Мь! уже знаем из и. 2 3' 7 |л. 4с что эта функция определена и непрерывна для всех значений хс для которых и(з:) и и(х) непрерывны и и(х) ) О. Теперь мы доно.|нительно потребуем, чтобы и(х) и о(х) были дифференцируемы для рассматриваемых 178 ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИЛГ1Ы1ОГО ИС"!ИС:!ЕНИЯ ГЛ. о значений х. Тогда„поскольку 1пд = о(х)!ив(х), мы полу !им.
!то .логй>ифми п«кая прои!Чвс!дная ра1!ма1риваемой функции равна — = [п(х)!и чт(х)!' — -- п'(х) 1п п(х) + п(х) — '. (5.38) р (и) Из равенства (б!.38), учитывая, что 11 = сЧ(х)с!к!, Волу !им !ше11укнцук! форму,!у д,. Чя производной! степ!",Ино-показат!',льной функции: р = и(х)'(" (!! (х) 1и п(х) + п(х) и(;е) ] 2. Производная степенной функции с любым вещественным показателем. Приступим теперь к вы пилению производной степенной функции р = хо с произвольным вещественным показателем ос Мы будем вьг1ислять производную этой функции для тех значений х, для которых эта функция определена при любом и. а именно для значений х, принадлежаших полупрямой ) х > О. Имея в виду, по вск!ду на пачупрямой х > 0 функция у =:во полооклипельна.
вьгппсшм логарифмическук! производнук! этой функции. Так как!и р = ст!их, то логарифмическая производная равна Р ( 1 )! о Ч/ х Отсн!да. учитывая, что !7 = х", получим формулу для производной степенной функции (х ) =сгх Такигл образом, нами вычислены производные всех простейших а,!еы! нтарных функций. Собирая воедино все вычис:и;нные производные, мы получим сЧ!едукчщук! таблипу, уже выппсаннун! нами в гл. 1. 3. Таблица производных простейших элементарных функций.
1 . (х") = ахо . В чап!ности, !х-) = — —,, (х/х) = ( — ). ) хя ' (,2тгт 2'. (!ойо х)'= — 1ойа е (х > О, О ( и ф 1) . В частности, (!п х)' = —. 3'. (аа)' = ае1па (О ( а ~ 1). В частности, (ег)' = сг. 4'. (в!их)' = сов т.. ! ) В сЧучае, когда а = 1/пЧ, где т — целое нечетное число. функция и = и" определена ни всей бесконечной прямей.
Однако и в этом случае достато"шо вычислить проиэводнуя! укаэанной функции лишь для Зншюпий х > О, ибо укаэанная функция является нече!лией и ее производную дтя значении х ( О легко получить нэ этого соображения. 1 в инвлгилнтпооть догмы пкгвого дне ил кпциллл 179 иго (соч т)/ 6'.
(16 х)' =, = 1+ еед х (х 7= — + кн, где н = О, х1,... ) . 7'. (сФбх)'= —, = — (1+гФбах)(хф-кп, где п,=О,х1....). а!гг .г 8', (агсв1пх)' = ( — 1 < х < 1). ;/1 — х"- 9'. (атосов х)' = — ( — 1 < х < 1). 10'. (агсгб х)' = 1 Ч- х'-' 11 . (агссгя'х) В ч 4 гл. 4 мы ввели гиперболи теские функции у = вЬх. у = сЬх, у = ФЬх и у = сййх, которые являя>тся простыми комбинациями показательных функц1пь Из определения этих ф1нкцнй з,;шхгентц>но вытекак~т следукпцие выражения для их производных; 12'. (вЬх)' = сЬ х.
13". (с11х)' = кЬх. 14'. (1Ьх)' = с1гэ х ' 16". (свЬх)' = — ., (х ф. О). Указанная таблица вместе с правилами дифференцирования суммы, разности, произведения и частного (т. е. формулами (5.16)) и правилом дифференцирования сложной функции составляет Основу дифференциального пс гисленпя. Установленные прави,та и формулы дифференцирования позволяют сделать один важный вывод.
В 9 7 гл. 4 мы ввели понятие элементарной функции как такой функции, которая выражасн я через простейшие элементарные функции посредством четырех арифметических действий и суперпозиция, последовательно примененных конечное 1исчо раз. Теперь мы можем утверждать, что производная любой эле,ментирпой функции представляет, собой тикэюе элеменптрную функцию. Таким образом, операция дифференцирована,я не выводит. нас иэ класса элементарных функций, 9 9. Инвариантность формы первого дифференциала.
Некоторые применения дифференциала 1. Инвариантность формы первого дифференциала. В конце 9 2 мы установили. |то для случая, когда аргумент х является яеэаеисимой переменной. диффсренпиал функции у = 180 ОснОВы ДиФФереиЦилльнОГО исиислес!ия Гл. з = 1(сх) определяется формулой йу = 1 (х)дх. (5.39) В зтоъс пункте мы докажем, что формула (5.39) является универсальной и справедлива не только в слу сае.
когда аргумент х является независимой перемесшой, по и в слу сае. когда аргумент т, сам является дифференцируемой фуш(цией некоторой новой переменной 1. Указанное свойство дифференциала функции обычно называют инвариантноспсью его формьс. Итак, пусть дшса дифференцируеалая в некоторой точке х функция у = 1 (х). аргумент х которой представляет со(юй дифференпируемую функции) з: = ср(с) аргумента 1. В таком случае мьс можем рассматриватс. у как слозюпую функцсго у = з [(со(с)с а1нумента 1.
а х как промежуточный аргумент. В силу теоремы 5.5 производная у по Х определяется формулой / = ф (х)(р (1). (5с40) Поскольку переменную 1 мы можем рассматривать как незав(ссимую, производные функций х = (р(1) и у = С [(сэ(с)] по аргументу 1, согласно установленному в конце 3 2, равны отношении) дифференциалов зтпк фус(кций к (1(. т. с. (р'ф = —. у' = (Д(сэ(1)1) Вставлюс зти значения щюизводнык в формулу (5.40), придадим этой формуле Вид т' = ~з(х)'1( (5А1) Умножая обе части равенства (5.41) на (11, получим для ду выражение (5.39). Тем самым доказана сснвариантность формы первого дифференциала функции. г.
е. доказано, сто ксск в случае, когда аргумент х,являегпся ссезавссссслсой с)ереме)с)со(с, так и в случае, когда аргумгнст х сам явл„яепссл дссфференцируамой функцией друг(кй пергмелснвй, дифференциал дус функции у = = 1'(т) равен производной этой функции. умноженной на дафференцссял (аргументна дх.
По-другому свойство инвариантности дифференциала можно сформулировать так: просюводссая функцсис у = ф(х) всегда ') р(с(сна «тнвсиясния) днфф(срвнциала,этой фусса цсслс. Йу к дифференциалу аргумента дх. т. е. (5 с12) ) То е(ть как в глучас, когда аргумент и является независикюй перЕменной, так и в с)сучке[когда х сам является днфференцируемой функцией неко горов друс ой переменной. 1 в нннлгилнтнооть а огмы пкгвого дужек| кнцнллл 181 Доказаинс|е раис'.яство (о.42) позволяс|т нам в дальнейшеы иснй пользовать отношение — '' для обозна'п|нпя производной функ!сх ции сс = «(х) по ар| уыенту х. Заметим в заклк|чение. что после того. как доказано равенство (5.42), правило дифференцирования сщожнои функции принимает вид простого гож |ества: с12/ 4|/ нх (5.43) сй с|х 4| Столь же щюстой впд приобретает правило дифференцирования обратной функции: (5 44) Подчеркнем.
однако, |то раве|птва (5.13) и (5А4) не.,сьзя рассматрив|п ь как новые методы доказательства теорем 5.5 и 5А. ибо формулы (5А3) и (5А4) существенно исполыукп факт инвариантности первого дифференциала. установленный нами именно при помо|пи тс|орс.мы 5.5. 2. Формулы и правила вычисления дифференциалов. 54ы досомали.
что дифференциал с1у функции у = «(х) все|да раис|и прснсзвоцной втой фйнкции «(т).. 1множенной на диффсь ренцивл аргумента сЬ. Таким образом, таблица п1|оизводных! выписщ|ная нами в п. 3 3 8, приводит к сс|отвс|тствт |огней таблице диффсренци|шов: Г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
