В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ. Продолжение курса (PDF) (1111796), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Примеры, 1'. Рассмотрим две линейные формы 1(й) ен е:-А~(У) и й'Д)енА~(У). Внешним произведением этих форм является билинейная форма 2'. Пусть !"($)енА,(У), дД» й, ..., $п)енЛ„(У). Внешним произведением ы=Ид будет (а+1)-форма, аргументы которой мы обозначим через вм Ф» . Вел! ы = ~''(якп о)а1*(ьп) й'($~ йк . $п) = о 6.
Свойства внешнего произведения знакоперемениых форм. 1'. Ли ней ность: а) если апенЛе(У), ыпе-:Лч(У), то для любого вещественного числа Х (Лве) /~гее=аеЛ Рлп') =Х(ыпЛы~) ' 232 Дополнение к гл. 6. Дифференциальные формы в евклиловом пространстве ! 6) если вглеАл($'), ви'енАл(У) и аеяАе(й'), то ( '+аЛЛа'=а 'Лв'+ елЛве. Доказательство очевидно. 2'. Антикам мутативность: если вленАл()г) и вен= е-:Ае()г), то влЛве=( — 1)лваеЛвл.
Доказательство. Пусть в Лв =а=вйь Ь, ...,4 и) Легко видеть, что в"Лв'=в (Ь ьь Ь+ь ", Ь+, Фь "., Ы. Убедимся в том, что перестановку (в,+ь ., йп-ьд ьь Ы можно получить нз векторов ($ь ..., $ +,) с помощью рд последовательных транспозицнй. Вектор $,.ьг можно передвинуть на первое место, используя р транспозиций. Затем с помощью такого же числа транспозиций передвинем на второе место вектор вр+т н т.
д. Всего мы передвинем гт векторов, используя каждый раз р транспозиций, т. е. число всех транспозицнй равно рг1. В таком случае антикоммутативность будет следовать из знакопеременности внешнего произведения. 3'. Ассоциативность: если впенА ()г), аеяА„(У), в'~А,(1~), то ( ~ Лв ) Лв'=в Л (веЛв'). Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть а~Ел+лег.
Рассмотрим величину а = ~ (зйп а) а [ал (5ы ..., $ ) в' (йл+ь ..., $,+е) х ',о Х а' (ьр+е+1, ° ° вр+и+г )1 (6.1.9) Сумма (6.1.9) будет равна (апЛае)Лв', если вначале произвести суммирование по всем перестановкам, оставляющим без изменения числа р+д+1, р+д+2, ..., р+д+и и удовлетворяющим условию (6.1А), а затем просуммировать по всем перестановкам, сохраняющим получившийся порядок первых р+д аргументов н порядок аргументов в,+е+ь ..., йлье+' Аналогично можно получить величину апЛ(веЛв'). Покажем, что в обоих случаях получается сумма по всем перестановкам, удовлетворяющим условиям а(1) < а (2) « ... а(р); а(р.1 1)< а(р+2)« ...
а(р+д); (6.1.10) а(р+д+ 1) « ... а(р+г)+и). Для этого снова обратимся к нашей модели с колоннами автомобилей. Предположим, что по дороге движутся три ко. $ !. Зкакоперемекные полклинейные формы 233 лонны автомобилей, в первой из которых р, во второй д, а в третьей г машин. Один из способов перестроения этих трех колонн в одну заключается в том, что вначале сливаются первая и вторая колонны, а затем полученная соединяется с третьей. При другом способе вначале сливаются вторая и третья колонны, а к ним присоединяется первая. Очевидно, перестановка о, получаемая в результате любого из этих перестроений, удовлетворяет условию (6.1.10), и, наоборот, любая перестановка, удовлетворяющая условию (6.1.10), может быть получена как с помощью первого, так и с помощью второго способа перестроения.
Это и означает совпадение (еелЛеае) Леа" и ю'Л(еаеЛ Л ). Ассоциативность внешнего умножения дает возможность рассматривать любое конечное произведение еь1ЛылЛ...Льа, где о;~Ал, (У). П р н м е р. Пусть а1 (й), аа(г), ..., а (3) — линейные формы. Тогда а ЛааЛ...Ла =~~,(здпо)о[а (4,)аа($а)... а„Д )), (6.1.11) е где суммирование производится по всем перестановкам а~В„» Это равенство легко проверяется с помощью индукции. Заметим, что если ввести матрицу (а;Д;)), то равенство (6.1.11) можно переписать в виде (а,ЛааЛ...Ла )Кы $„..., и )=де!(а;(Ц)).
(6.!.12) 7. Базис в пространстве знакоперемеииых форм. Выберем какой-либо базис (е)~ ~ в пространстве У и обозначим через (в')," 1 сопряженный к нему базис в пространстве Ь(У). Напомним, что в'($) — линейная форма, которая на элементах базиса (е ) принимает значение в'(е;) =би. В п. 3 мы показали, что всевозможные произведения е' ($,)еь($а)...в'л($ ) образуют базис в Ц(У). Поскольку Ар(У)с:(. (У), то каждая знакопеременная р-форма может быть разложена единственным образом в линейную комбинацию указанных произведений. Однако эти произведения не образуют базиса в Ал(У), по» скольку они не являются знакопеременными р-формами, т. е.
не принадлежат Ал(У). Тем не менее с помощью внешнего умножения из них можно сконструировать базис в Ал(У). Теорема 6.6. Пусть (е)"; 1 — базис в пространстве (в)~ 1 — сопряженный базис в пространстве Е(У). Любая зна- 234 дополнение к тл, б. дифференциальные формы в евклндовом пространстве копеременная р форма а(=Ар(У) может быть представлена, и притом единственным образом, в виде а= у а),(,...( е' Ле( Л...
Ле'р. (6.!.13) )<(,«...) <а Каждое слагаемое суммы в правой части (6.1.1д) представляет собой произведение постоянной а(,(, ..; на знакопеременную '' 'р р-форму е' ЛеиЛ...Ле(р. Доказательство. В силу результатов п. 4 можно запи- сатвп а л Следовательно, а(а(1) (а(2) "(а(р) (зйп ) а( (* Сгруппируем слагаемые в сумме (6.1.14), отличающиеся перестановкой индексов („)2, ..., (, н воспользуемся равенством (6.1.15). Получим (6.1.15) о) = ',~~ ,")„а;, (,е(а())...е'аоа = (~<( <...<(р а,,;, з [~ (зцп а) е ан)...
е "(Р) 1, (6.1.16) ),<).«...) а В силу примера из п, 6 сумма, стоящая в квадратных скобках, есть е' Ле' Л... Ле'„,. Теорема доказана. Следствие 1. Элементы е" Ле"Л" Лер(1<()<'2« ° <(р<п)образуют базис в пространстве Ар(У). Этот базис пуст для р>п и состоит из одного элемента, если р=п. С л е д с т в и е 2.
Размерность пространства Ар(У) равна С„р. В дальнейшем, как правило, мы будем считать, что выбранный базис еь еа ..., е„нами зафиксирован, и линейные формы е(® будем обозначать символом е((г)=В(. Тогда любая форма аенАр ( У) примет вид аДо $м ..., $,)= ~ а(,,(,Р'Л. Л$'р (6117) (, «...(р о) = ), ...,)„а(,(,. „с е( е' °... е(р, (6.1.14) (, ) ( ) где числа а(,(,, з =а(е', е'*, ..., ел) определены однозначно. Так как форма а($), $2, ..., вр) знакопеременна, то для любой перестановки о~Ха а(фин, в,(2), ..., фар))=(зава)аЯ(, $2, ..., Ьр).
з 2. Диффереициааьиые фегмы 235 Примеры, 1'. еь Л на = (Е' ЛЕ') Я„$») = ~ (Здн О) О [Е' ($,) Е' (2»)) = и = е' ($,) ее ($а) — е' ($а) ее ($,) = $1 йе — щ, где $У вЂ” 1-й коэффициент в разложении вектора $; по бази- су (е ).
2' $'ЛИЛ ° Ляе=е(е1(Я, л где $е =~ $~ер ) ! $2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ 1. Основные обозначения, Рассмотрим произвольную открытую область 6 и-мерного евклидова пространства Е". Точки области 6 будем обозначать символами х=(х', х', ..., х"), у= =(у' уе,, уа) и т, д. Определение. Дифференциальной формой степ ели р, определенной в области 6, будем называть функцию еа(х, нь 4г, ..., 4а), которая при каждом фиксированном хен6 представляет собой внакопеременную р-форму из А,(Е"). Множество всех дифференциальных р-форм в области 6 обозначим через Оа(6)=йр(6, Е"). Мы будем считать, что при фиксированных фь ..., Е,~Е" р-форма еа представляет собой бесконечно дифференцнруемую в 6 функцию.
Используя результаты 2 1, мы можем каждую р-форму м записать в виде ыц.. л,я' Л... Л $". ь(. „<е Всюду в дальнейшем вектор 2 будем обозначать символом Нх=(дх', е(х', ..., дх"), а векторы 2» — символами д»х=- =(д»х', й»х', ..., а»х"). В качестве базиса в Е" выберем векторы е»=(0, О, ..., 1, О, ..., 0), где единица стоит на й-м месте. Элементами сопряженного базиса будут функции е»(5)=е»(дх), определяемые равенствами ее(дх)=дх». Тогда дифференциальная форма (6.1.18) примет вид ы(х, д,х, ..., д х)= ~т. ыц , е (х)дх Л...Лйха.
ц<...<е П р и м е р ы. 1'. Дифференциальная 0-форма — это любая функция, определенная в области 6 (и, в силу наших предполо. женнй, бесконечно днфференцируемая в 6). 2'. Дифференциальная 1-форма имеет вид в(х, йх) =~„вз(х) йхе. 2-1 В частности, когда н=1, в(х, йх)=1(х)дх. Дифференциальную форму степени 1 называют также линейной дифференциальной формой.
3'. Дифференциальная 2-форма имеет внд в(х, дх, Изх)=*~1, ви,(х) ИХ1Лйхз. 1<З По определению йх'Лйхз = (е'Ле') (йдх, дзх) = е' (й,х) ез (й,х) — е' (йзх) е' (Изх) = 1й,х' дзхз ~й,х' й,х В частности, при а=2 получим 1 йзхз дзхз в (х, й,х, йзх) = ~(х)~ ~ д,х' йзхз Определитель равен элементу площади, соответствующему векторам д!х и йзх, В случае, когда =3, обозначая вгз 12', втз=Р вы= — Я. по- лучим Р Я К в=рйхзЛйхз — 1!йхтЛйхз+ЯйхтЛйхз= й,х' йхз й,хз й Х йзх~ йвхз 4'. Дифференциальная 3-форма в трехмерном пространстве имеет вид д х! й хз й хз зй .зй,з й,х' йзх' й,хз в(х д,х йвх, йзх)=~(х)йхтЛйх'Лдх'=1'(х) Определитель равен элементу объема, отвечающему векторам д!х, йзх, дзх. 2.
Внешний дифференциал. Определение. Внешним дифференциалом р-линеиной дифференциальной формы вы()р(6) будем называть форму йвчай +1(6), определяемую соотношением йв =,~ йв1, л Лйх'Л...Лйхзр, 1,«...1р 236 Дополнение к гл. Б. Днфференпнальные формы в евклндовом пространстве 237 й а дифференциальные фермы где л д!а " ха С.~ дха а.=! Таким образом, если м= У м;....!.дх'Л...Лдх", ! «.,.! то лч д"! дм=~ ~, "' д хЛдх!П...Лд'и. дха а-! п«...~л Примеры.
!'. Дифференциал формы степени нуль (т. е. функции 1(х)) имеет внд д~ (х) =. ~' — дха, дха 2'. Вычислим дифференциал от линейной формы л ц!=ц!(х, Йх)лл~~ ц!!(х)дх'. !=1 Получим л л да= Ь(», д,х, х) =ЕЪ~ д"'х) х'/~дх'. СГ дха а=!с-! Так как е(ха/~!(х' = — ох'Лдха и с(хаДдха = О, то д = К1 '!' дхапд !+ЧУ дич д Мх = ,( ( дха ~,1 дха и<! !<и =Ъ вЂ” '"' д М вЂ” У вЂ” '" дх'Лдх!= а( дх" лла дх! а<! а<! =~,'( — ",' — — '"" ) дх'Лд . *<! В частности, когда о=2, для «!=Рдх!+Я!(хи получим 1 дх ду/ 3.
Свойства внешнего дифференциала. Непосредственно иа определения вытекают следующие свойства: 238 Дополнение и гл. 8. Дифференциальные формы в евилндовом пространстве 1) если то!байр(6), вгеейр(6), то с((вг+вг)=де!+Нег, 2) если ее=в)р(6) и Л вЂ” вещественное число, то с((Лв) =Лдвт; 3) если е!~Яр(6), еге=ьгр(6), то с1(в!Лвг) =дв!Лег+ (-1)ввгЛАог. Докажем свойство 3). Пусть в =-,)~ в!, л Йх! Л... Л Йх р, т,«...! Введем следующее обозначение: дет, л т)хтаЛ... Лдх'р, дха Тогда осо можно записать в виде л де=~,' дхаЛ— 'де дхг а-! Вспомним, что в=то:Лег=( — 1)РРсогЛвь Далее, — = — Лв, +в,Л вЂ” = — Лв. +( — 1) — Л в,.
де де, де дао! р, дота дхе дхе дхь дха дха Тогда л л дв =Л~~дхеЛ вЂ” =Едх Л вЂ” Лег+ де К 1 а де! дха ее дх" а ! а-! л +( — 1)ве~~~дхеЛ ~ Лвг=двгЛвг+( — 1)вейогЛвы : дха г=! Поскольку с(вг есть (д+1)-форма, то Йог/ !в!= ( 1) р!и! )втЛдег Отсюда йо=с(в!Лег+( — 1)РвгЛс(вг. Основное сеоистео внешнего ди44еренииала: т1 (дв) =-О. Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим вначале, что в — форма степени О, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
