В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ. Продолжение курса (PDF) (1111796), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Отточ. дд дк ии М(х, у) сместимся в точку Л/(к+ах, у) так, чтобы отрезок М)т' содержался в В. Это можно сделать для всех достаточно малых приращений Лх, так как 0 — открытое множество, состоящее из внутренних точек. При та- Рис. 6.4 ком смещении функция ()(х, у) получит приращение Н(х+ Лх, у) — () (х, у) = ~ Рг(х+ Яду — ~ Рдх+ ()г)д = м,мл м.м = 1 Рак+ с«с(д.
На отрезке МУ координата у имеет постоянное значение, и, следовательно, ~з(Щ О. мв Поэтому «ч а« ()(х+Лх,д) — и(х,д)= ~ Рд = ~ Р((,д)д(. 220 Гл. б. Теория поля. Основные интегральные формулы аналваа В силу непрерывности функцнн Р(х, у) нз теоремы о среднем получнм У(х+Лх, у) — У(х, у) =Р(х+Обх, у)бх, где 0<0<1, откуда *+ "'У) ( 'У) =Р(.+6 Лх Переходя к пределу прн Лх- 0 в силу непрерывности функция Р(х, у), получаем, что предел существует н — =Р(х, у). дУ дх Совершенно аналогично доказывается равенство ьг(х у) ()(х ) ду Теорема 6.4 доказана.
Если поле а(х, у)=(Р(х, у), Я(х, у)) потенциально н функции Р(х, у), Я(х, у) вместе со своими частными производными непрерывны в области Р, то должно выполняться равенство дР дГг ду дх которое означает равенство смешанных производных: дЧ/ да!/ дуда диду В силу теоремы 6.4 необходимым условием незавнснмости криволинейного интеграла 1 РДх +аду АВ от пути интегрирования прн условии непрерывности функций Р(х, у), Я(х, у) н нх частных производных в области Р является легко проверяемое равенство дР дО дх дх Если область Р односвязна, то это условие будет н достаточным для независимости интеграла 1Рг(х+Яг(у от выбора кривой, АВ соединяющей данные точки А н В.
Чтобы прн изложении не нспользовать не доказанную в общем случае формулу Грина (см. замечание 2 к теореме 6.1), рассмотрим сначала случай, когда область Р является крутом. $4. Условия невависииости криволинейного интеграла на плоскости 221 Т ео р е м а 6.5. Пусть функции Р(х, у)', О(х, у) и их частные- производные непрерывны в некотором круге К. В этом случае поле а(х, у) =(Р(х, у), О(х, у)) потенциально в етом круге тогда: и только тогда, когда в К дР дО ду дх Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно„требуется доказать только достаточность условия. Через центр круга, точку М„проведем прямые Мех' и М,у', параллельные координатным осям Ох и Оу соответственно.
Из произвольной точки М(х, у)енК опустим перпендинуляры ММ~ и ММт на Мех' н Меу' соответственно. Точку Ме соединим с точками М~ и Мт отрезками МоМ1 и МрМв. Применяя формулу Грина (6.25') и прямоугольнику МеМгММв„ получаем Рдх+91у= О( — — — ) дхду=О, м,м,мм, о откуда следует, что Рдх+Цйу= ) Рдх+Оду, м.м,м м,м,м т. е. интеграл г1Рдх+Оду не зависит от двузвенной ломаной т, соединяющей фиксированную точку Ме с некоторой точкой М.. Поэтому определим функцию П(М)= 1 Рдх+ Фу, мум где МеМ вЂ” двузвенная ломаная, звенья которой параллельны ко- ординатным осям. Проверка, что так определенная функция 0(х, у) является потенциалом данного поля а(х, у), проводится аналогично той, которая проведена при доказательстве теоремы.
6А. Теорема 6.5 доказана. Замечание. Теорема 6.5 справедлива в случае произвольной односвязной области Р. Чтобы убедиться в этом, докажем, что для независимости криволинейного интеграла ~ Рдх+Яйу Аз от выбора кривой АВ, соединяющей точки А и В, достаточнст дР дО выполнение в области Р условия ду дх Пусть Š— произвольная замкнутая кусочно гладкая кривая, расположенная в Р.
Обозначим через Р* область, которую 222 Гл, 6. Теория ноля. Основные интегральные формулы анализа ограничивает кривая Т.. В силу односвязности области 0 каждая точка области В* принадлежит В. Применяя к области Ве формулу Грина (6.25') (см. замечание 2 к теореме 6.1), получим $ Рг(х+Яг(у=~~ ( — — — ) дхс(у =О.
ь в. Отсюда следует, что для любых фиксированных точек А и В области В и любых двух кусочно гладких кривых АСВ и АС'В, соединяющих эти точки, выполняются равенства: О= ~ Рс(х+1~г(у= ') Рг(х+Щ+ ~ Рг(х+Оу(у= АСВО ВС'А АСВ ВС'А = ) Рдх+Фу — 1 Рйх+Фу. АСВ АС В Поэтому Рг(х+(л(у= ) Рг(х+Яду. АСВ АС'В Следовательно, значение интеграла 1 Рс(х+Жу ,АВ не зависит от кусочно гладкой кривой АВ, соединяющей точки А и В. й а. некотОРые пРимеРы пРилОжении теОРии ПОЛЯ 1. Выражение площади плоской области через криволинейный интеграл. Пусть 0 — односвязная область с границей С, удовлетворяющей условиям теоремы 6.1.
Полагая в формуле Грина (формула (6.25')) Р= — у, Я=х, получим Ц 2г(хг(у =- ~ — уйх + хну. о с Для площади а(0) области Р на плоскости имеем следующее выражение через криволинейный интеграл по ориентированной границе этой области: о (Р) = — (г — ус(х + хс1у. 1 г 29 с $5. Некоторые примеры приложеиий теории поля 223 С помощью полученной формулы найдем площадь области„ ограниченной цнклоидой х=а(! — и!и!), у=а(1 — сов(), Ои '1~ =2п, а>0, и прямой у=0. Так как — д( +х(у=0, где у — отрезок От х(2п, у=0, то в соответствии с положитель- ной ориентацией контура получим а (В) = — З! ( — ае (1 — соз !)я + ая (! — з!и !) и!п !) пЫ = 2 пя и пя ( = — ) (2 — 2 соз ! — ! з!и !) й! = 2пае — — З! ! з!и ! г(! = 2 2 е о =- 2пае + — (! соз !)! = Зпае.
2 !а 2. Выражение объема через поверхностный интеграл. Пусть 0 — односвязная область в ЕЯ с границей Я, удовлетворяющей условиям теоремы 6,2 (формула Остроградского — Гаусса). Положим, что в области Т! Р (х, у, а) =х, Я (х, у, г) =у, !т(х, у, г) =х. Эти функции удовлетворяют условиям, при которых справедлива формула Остроградского — Гаусса, поэтому Д хейг+ рйгйх+ хт!хну = ~ Ц Здхбуп(г = 3'к'(О), 3 'и где к'()З) — объем области .О. 3. Рассмотрим векторное поле, которое создает электрический заряд величины д. Поместим этот заряд в начало координат.
Сила, действующая на единичный заряд, помещенный в точку М(х, у, г), по закону Кулона выражается формулой Е(М) = —. —, Г 4пер тт ' где г — радиус-вектор точки М, г=ухп+у'+гт, ее — постоянная. Электростатическое поле Е потенциально в Е'к,(0). Напомним, что поле а(М) называется потенциальным в области 1!, если в этой области существует функция У(М) такая, что а (М) = Втаб У (М) . 224 Гл.
Б. Теория поля Основные интегральные формулы аналнаа Потенциалом поля Е служит функция Ф(М) = 1 4неа г Поле Р, создаваемое точечной массой т, помещенной в нача.ло координат, называется г р а в и т а ц и о н н ы м, и оно также .потенциально. По закону Ньютона сила Р(М), с которой поле действует на единичную массу, помещенную в точку М(х, у, г), выражается .формулой Р(М) = — дт —, Потенциалом поля Р во всем Еа (за исключением начала координат) служит функция У(М) = Кдп —.
1 г Лля потенциального поля а(М)=(Р(х, у, г)„Я(х, у, г), В(х, у, г)), заданного в области Юс:.Еа, независимость интеграла ') Рсдх+ ассу + дгддг от пути интегрирования (интеграл зависит только от начала и конца пути) доказывается так же, как и в теореме 6,4, в случае области В, принадлежащей Еа. Поэтому работа, совершаемая таким полем при перемещении единичной пробной частицы из точки А в точку В, не зависит от пути перемещения. Если расстояния от начала координат до точек А и В равны гд и га соответственно, то эта работа поля Е равна Ф(В) — Ф(А) = — ~ — — ), 1 1 4нае ~ дд гд,) а работа поля Р равна У(В) — У(А) = дт ~ — — ~. /1 11 225 6 1.
Знакопеременные полилинейные формы ДОПОЛНЕНИЕ К ГЛАВЕ 6"! ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЬ| В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ й 1. ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ ПОЛИЛИНЕПНЫЕ ФОРМЫ 1. Линейные формы. Пусть У вЂ” произвольное и-мерное векторное пространство, элементы которого будем обозначать символами Е, т),.... Предметом нашего изучения будут функции, сопоставляющие каждому элементу йееУ некоторое вещественное число.
Определение 1. Функция а($) называется линейной ф о р мой, если для»гюбых 66ЕУ, т)яУ и любого вещественного числа Х выполняются равенства 1) а(6+т)) =а(4)+а(т~); 2) а(~4)=Ха($). Определение 2. Суммой двух линейных форм а и Ь назовем линейную форму с, которая каждому вектору ф~У сопоставляет число с(й) =а(й)+Ь(й), Произведением линейной формы а на вещественное число Х назовем линейную форму Ь, которая каждому вектору 66=У сопоставляет число Ь(в=А а Таким образом, множество всех линейных форм образует векторное пространство, которое мы обозначим символом 1.(У)!т). Найдем представление линейной формы а в каком-либо базисе (ег)! !, Пусть $ге„ где числа $! определяются однозначно. Если обозначить аг= =а(ег), то искомое представление будет иметь вид и а(6) = ),$га!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
