В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ. Продолжение курса (PDF) (1111796), страница 34
Текст из файла (страница 34)
задать векторы Аеь Разлагая эти векторы Ае; по базису ен получаем Ае;=а ез и (е1, Ае;) =ал(е1, ез) =а;6 (6.! 2) Матрица (ал) и есть матрешина линейного оператора А в базисе еь Теперь дивергенция оператора А может быть выражена через элементы матрицы (аА): о!чА= (еь Ае') = (е', Ае;) =а~'+азт+азз. 3 а м е ч а н и е 2, Величина а,'+азз+аз' в линейной алгебРе называется матричным следом оператора А. Там же доказывается, что этот матричный след равен сумме собственных чисел оператора А с учетом их кратности (спектральному следу оператора), т.
е. а ~ ' + азз+ азз = Л~ + Лз+ Лз, где Ль Лт, Лз — занумерованные с учетом их кратности собственные числа оператора А. Ясно, что сумма Л~+Лз+Лз не зависит от выбора базиса пространства. Следовательно, и 6!чА не зависит от выбора базиса, т. е. является инвариантом. Это еще одно доказательство утверждения об инвариантности дивергенции. У т в е р ж д е н и е 2. 'Величина е~ ХАе' (или ей равная е'Х Ае;)— инвариант.
Доказательство. Пусть е, — новый базис (е" — биортогональный базис к ез ). Запишем согласно формулам (6.6): е; =Ьт ез, е'=Ь,'ео'. Подставив эти величины в выражение е;ХАе', получим ез х Ае' =-Ь| Ьр'ет х Аез' = 6' е, х Ае~' = е~ х Ае". Таким образом, инвар~иантность величины е;ХАе' доказана. Определение 2. Инвариант е;ХАе' (или е'ХАе,) линейного оператора А называется ротором этого оператора и обозначается го1 А.
198 Гл. 6. Теория поля, Основные интегральные формулы анализа Таким образом, го1А =есХАе'=е'ХАе;=е~ ХАе'+езХАез+ +езХАе~=е'ХАес+езХАез+езХАез. ас'= (с, А!), аз'= (1, А!), аз'= (с, А1с), асз = (), А1), азз = (1, А!), азз = (), А1с), (6.13) а,з (1с А1) азз=(1с А)), азз (й Ай) Поэтому с(!уА=а~'+азз+азз=(с, А1)+(), А))+(1с, А!с). (6.14) Найдем выражение для го1А. Имеем го!А=)ХА!+) ХА)+)сХА)с. Осталось вычисл~ить векторные произведения слагаемых справа через элементы матрицы оператора А. Запишем по формуле (6.12): А!=а,'!+а з)+а Чс Поэтому 1ХА!=а~с)Х!+асз1Х)+асЧХЙ= = — пса) + осз)с. Аналогично Поэтому 1ХА) г азЧ вЂ” аз'й, 1сХА)с= — азЧ+азс). го1А = (аз' — азз) с+ (аз' — а,') )+ (асз — аз') 1с.
(6.15) й 2. СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА 1. Скалярные и векторные поля. В теории поля рассматриваются функции, которые каждой точке М фиксированной области Р сопоставляют некоторый специальный объект а(М), называемый тензором. В этом случае говорят, что н области Р задано тензорное поле. Мы будем изучать только два простейших частных случая тензорного поля, а именно скалярное и векторное поля.
б, Выражения для дивергенции и ротора линейного оператора в ортонормнрованном базисе. Пусть в пространстве Ез выбран ортонорлсироваиный базис 1, 3, )с. В этом случае, как уже говорилось, биортогональный базис совпадает с самим собой (см. п. 2). Согласно формулам (6.12) получаем й 2. Скалярные и векторные поля. Дифференциальные операторы !99 Будем говорить, что в области Р задано с к а л я р н о е п о л е, если каждой точке М этой области сопоставлено по некоторомузакону определенное число и(М). Таким образом, понятия скалярного поля и скалярной функции, определенной в области Р, совпадают.
Аналогично говорят, что в области Р задано в е к т о р н о е п ол е, если каждой точке М этой области сопоставлен по некоторому закону вектор а(М). Таким образом, понятия векторного поля и векторной функции, определенной в области Р, совпадают. Пусть, например, Е(М) — напряженность электрического поля, созданного единичным отрицательным зарядом„помещенным в начало координат трехмерного пространства Е'.
Тогда в точке М(х, у, г) вектор Е(М) имеет, как известно, длину 1/р, где р= =(х'+уз+ге) иа, и направлен от точки М к началу координат. Получаем следующую формулу для задания данного векторного поля Е(М). х э а Е(М)=~ — —, — —, — — ~. рз ' рз ' рз Другими примерами скалярного и векторного полей могут быть скалярное поле температур внутри нагретого тела, векторное поле скоростей установившегося потока жидкости и т.
д. Приведем еп!е ряд примеров скалярных и векторных полей, играющих важную роль в анализе и физике. Для этого понадобится изучить понятие дифференцируемости скалярного и векторного полей. Поскольку скалярное поле — это числовая функция, заданная в области Р, то понятие дифференцируемости скалярного поля (этой числовой функции) мы уже знаем (см.
определение п. 2 $4 гл. !2 ч. 1). Напомним это определение, заменяя слово «функция» на слова «скалярное поле». Пусть задано скалярное поле и=1(х, у, г) в области Р из Ез. О п р е д е л е н и е 1. Скалярное поле и=((х, у, г) =1(М) называется д и ф ф е р е н ц и р у е м ы м в т о ч к е М (х, у, г) области Р, если его полное приращение Ли(М) в этой точке может быть представлено в виде Ли (М) =А,Лх+АзЛу+АзЛг+а,Лх+азЛу + ааЛг, где Аь Аз, Аз — некоторые не зависящие от Лх, Лу, Лг числа, а аь аь аа — бесконечно малые при Лх — зО, Лу- О, Лг -О функции, равные нулю при Лх=О, Лу=О, Лг=О. Условие лифференцируемости скалярного поля и=((х, у, г) (как показано в п.
2 $ 4 гл. 12 ч. 1) может быть записано в виде Ли(М) =АаЛх+АзЛу+АаЛг+о(р), где р= (Лх'+Лу'+Лг') па, причем это представление единственно, 200 Гл. 6. Теория поля. Основные янтегральные формулы анализа Эту формулу можно переписать в более компактном виде: Ли(М) = (А, Ь) +о(!)Ь))), (6.16) где (А,(т) — скалярное произведение векторов А=(А„Ащ Аз), Ь=(йх, Лу, Лг), ))Ь))=р. Таким образом, можно дать следующее О п р е д е л е н и е 1*. Скалярное поле и(М) д и ф ф е р е н г( ар у ем о в точке М, если в этой точке для полного прираи(ения справедливо соотношение (6.16).
Скалярное поле и(М) д и ф ф ерем 1(ируемо в области Р, если оно дифференг(ируемо в каждой точке этой области. Напомним (см. п. 8 $4 гл. 12 ч. 1), что условие дифференцируемости (6.16) может быть переписано в виде Ли(М) = (8тас) и, Ь)+о((~Ь()), (6.17) ( ди(М) ди(М) ди(М) где вектор дгайи(М)= ~ дх ' дк ' дх Формула (6.17) приводит нас еще к одному примеру векторного поля, а именно к полю градиента дифференцируемого в области Р скалярного поля и(М).
Определение градиента не зависит от выбора системы координат, и поэтому он является ннвариантом З1. Согласно рассмотрениям п. 8 $4 гл. 12 ч. 1 в случае дифференцнруемости поля и(М) можно ввести производную и(М) по направлению вектора е: ю Своим появлением на свет понятие градиента обязано выдающемуся шотландскому физику, создателю математической теории электромагнитного поля Джеймсу Клерку Максвеллу (1831 — 1879) и происходит от латинского слова кгайог, означающего «расти».
Как мы знаем из ч. 1, главное свойство градиента состоит в том, что он определяет направление наибыстрейшего спуска. Поэтому Максвелл собирался сначала назвать этот вектор словом з)оре «склон». Ирландский математик и механик Вильям Роуен Гамильтон (1805— 1865) придумал для этого вектора специальное обозначение т7 — перевернутую греческую букву Ь («дельта»). Таким образом, если 1, 1, и — фиксированный ортонормированный базис, то ди ди ди ягаб и ««ри = — 1 + — 1+ — й, дх др дх д д д ч=( +1 +" дх ду да ' Сначала название значка '7 было «атлед» вЂ” прочитанное наоборот слово дельта.
Затем английские ученые (О. Хевисайд, Р. Смит) чаще стали называть этот значок словом «набла» (из-за сходства с остовом древнеассирийского музыкального инструмента наблы). Набла — очень удобное в физике обозначение, многие формулы с его применением сильно упрощаются. Сам Максвелл посвятил набле специальную оду в восьми частях, й 2.
Скалярные н векторные поля. Дифференциальные операторы 201 — =(е, нгайи). ди де (6. 18) Производная по направлению задает, очевидно, некоторое новое скалярное поле в области В. Перейдем к изучению дифференцируемого векторного поля. Понятие дифференцируемости векторного поля дается в полной аналогии с понятием дифференцируемости скалярного поля, и это понятие было нами дано в дополнении 2 к гл.
12 ч. 1. Пусть в области )9 пространства Е' задано векторное поле а(М) (векторная функция а(М) точек М, принадлежащих й). Напомним, что а(М) каждой точке М(х, у, г) ставит в соответствие вектор а(М). О и р е д е л е н и е 2. Векторное поле а (М) называется д и ф ф ерен цир у ем ым в точке М области В, если его полное прираи!ение Ла(М) представляется в виде аа(М) =АЬ+о(||Ь|!), где А — некоторый линейный оператор в Еа, (6.19) Ь=(йх, йу, йг), ||Ь(|= (Лха-|-Ауа+йга) па аа(М) АЛ+о! ((|Ь(!), Ьа(М) =ВЬ+оа(||Ь|!), (А — В) Ь=о(|!Ь|!), то где о(||Ь||) =о!(||Ь|!) — оа(||Ь|!). Разделив на ||Ь!| обе части полученного равенства, получим (А — В) е= о (|!в|!1 1ьй ь где е= — — Вектор единичной длины. Справа стоит бесконеч|!ь!! но малый вектор (его длина стрем~атея к нулю при ||Ь!|- О), следовательно, для любого единичного вектора е величина слева равна нулю: (А — В) е=б. Но если два линейных оператора А и В совпадают на единичной сфере, то они равны, очевидно, на любом векторе, т.
е. совпадают всюду. Следовательно, А=В. о(||Ь!! ) — вектор, длина которого стремится к нулю при ||Ь||-ь-О. Утверждение. Если векторное поле дифференцируемо, то представление (6.!9) единственно. Действительно (см. также дополнение 2 к гл. 12 ч, 1), если бы было два представления вида (6.19), т. е. 202 Гл. б. Теория поля, Основные интегральные формулы анализа Так же, как и в случае скалярного поля, векторное поле дифференцируемо в области 1), если оно дифференцируемо в каждой точке области П. Как и в случае скалярного поля, возникает вопрос об определении производной по направлению для векторного поля а(М). Пусть М вЂ” точка области О, е — единичный вектор с координатами сова, соз р, соэт, определяющий некоторое направление.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
