В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ. Продолжение курса (PDF) (1111796), страница 36
Текст из файла (страница 36)
ОснОВные интеГРлльные ФОРмулы АнАлизл м Дж. Грин — английский математнк (1793 †18), и М. В. Остроградский — русский математик (1801 †18), К. Ф. Гаусс еемецкий математик (1777 †!855). мо Дж. Г. Стоке — английский физик и математик (1819 †19). В этом параграфе будут доказаны основные интегральные формулы анализа — формула Гринаа), формула Остроградского— Гауссаа) и формула Стокса'оз.
Эти формулы, с одной стороны, .являются далеко идущими обобщениями формулы Ньютона— .Лейбница — основной формулы интегрального исчисления,ас друелой стороны, являются важнейшими формуламн математического анализа и математической физики. 1.
Формула Грина. Пусть и — плоскость в пространстве Е', 44 в единичный вектор нормали к л, й — односвязная область на л (напомним, что область О называется односвязной, если любая кусочно гладкая замкнутая без самопересечений кривая, расположенная в О, ограничивает область, все точки которой также принадлежат 0). Пусть, далее, область Р удовлетворяет следующим двум условиям: аоз Гл.
8, Теория поля. Основные интегральные формулы анализа Ц (к, го1 а) да = ф (а, 1) аг'. с (6.25) Выражение справа обычно называют циркуляцией векторного поля а по кривой С, а выражение слева — потоком векторного поля го1а через область Р. Данная формула допускает такую физическую трактовку: поток векторного поля го1а через область Р (поток тепла, жидкости и т. п.) равняется циркуляции векторного поля а по замкнутому контуру С (работе сил поля а по перемещению точки вдоль С). Доказательство, Поскольку все входящие в формулу (6.25) функции непрерывны, то оба интеграла существуют. Заметим также, что интегралы слева и справа в формуле (6.25) инвариантны относительно выбора прямоугольной системы координат, поскольку величины ((е, го1а) и (а, 1) инвариантны, элементы площади Ыа и длины дуги с(1 не зависят от выбора декартовой системы координат.
Поэтому достаточно доказать формулу (6.25) в какой-то одной специально выбранной системе. Выберем декартову прямоугольную систему координат Охул так, чтобы выполнялось условие 2), и ось Ог направим вдоль а. Поскольку векторное поле аи Р(х, у)1+О(х, у))+1е(х, у)к плоское, то 11(х, у)=0, 1=(сова, созР, соэт)=(сова, соэ5, О)= =(сова, 8!па, О).
Следовательно, можно записать: 1) граница С области Р является замкнутой кусочно гладкой кривой без особых точек; 2) на плоскости и можно выбрать такую декартову прямоугольную систему координат, что все прямые, параллельные координатным осям, пересекают С не более чем в двух точках. Пусть, наконец, 1 — единичный вектор касательной к кривой С, согласованный с й, т. е.
положительное направление обхода кривой С совпадает в точке приложения вектора 1 с направлением этого вектора, и если смотреть с конца нормали К то контур С ориентирован положительно (его обход осуществляется против часовой стрелки). Говорят, что ориентация кривой С согласована с нормалью епо правилу штопора».
Теорем а 6.1 (формула Грина). Пусть а — векторное поле, дифференцируемое в области Р, удовлетворяющей условиям 1), 2), и такое, нто его производная по любому направлению непрерывна в объединении РИС=К Тогда справедлива фюрмула $ 3. Основные интегралвиые формулы анализа Далее (к, го1 а) = — — —, (а, 1) = Р соз ге+ Я з!и а. дЦ дР дк ду Так как для плоской области г(о=а!»Ыд, то формула (6.25) принимает вид й (й, го1а))!о= Я ~ — — — )т!»г!д= О О = ЯРсози+Яз)пи)сУ= ())Рг(»+Ярд.
(6.25') с 'с Здесь мы воспользовались тем, что г(»=сонат(1, Ыд=з!паа(1 где 1 — длина дуги С, выбранная в качестве параметра, возрастание которого согласовано с направлением обхода С. Для доказательства формулы Грина достаточно доказать два. равенства: 1 0 )1» г!д (~ Рг)л, 'с на д О с Обратимся для наглядности к рис.
6.1. Пусть прямая, параллельная оси Од, пересекает С в точках (х, д, (х) ) и (х, дт(х) ),. д) (х) н:да(х). Пусть х) и ха наименьшая и наибольшая абс- У (х Ь6Ф "а пиесы точек области .6„кривая С, соединяет точку (х), д)(х))) В(лай(лр с точкой (хь д,(ха))', а кривая лгх,и Са — точку (ха, да(ха)), с точкои (х), да(х))) и С=СЮСа, С), Са Фх)1 с) ориентированы согласованно с С. Тогда по формуле сведения двой- х, х хк ного интеграла к повторному получим Рис.
6.1 к„аик) к1 У= — ~ ~ ~ 1 ' ")г!д1)1~= '1 Р(х, д,(х))0»вЂ” дл кт акк) к, к, — ~ Р(х, д,(х)) )1»= ~ Рг!х — ( — ~ Рг(х) = (~ Рг!х. кз с, с. с Аналогично вычисляется интеграл У. Теорема доказана. л!0 Гл. б. Теория поля Основные интегральные формулы анализа 3 а меч а ни е !. Теорема 6.1 справедлива и для более общих областей 0 (с границей С) таких, что с помощью конечного числа кусочно гладких кривых эта область может быть разбита на конечное число областей 0» с границами С,, /=1, 2,...,п, удов.летворяющих условиям 1) и 2).
Действительно, для каждой об.ласти 11з по доказанному формула верна. Сложив эти равенства, а ж силу аддитивности двойного интеграла слева У, Ц можно 1 Гз а заменить на ) ) а спРава ~ ~ = г)1 поскольку интегралы по о =зс; с нвнутренним» кривым '1 сократятся (так как интегрирование по ним производится в противоположных направлениях). Останется лишь интеграл по границе С области Р.
3 а м е ч а н и е 2. В формулировке теоремы 6.1 от условия 2) можно избавиться, т. е. считать, что граница области 11 есть любая замкнутая кусочно гладкая кривая С без особых точек. Од,нако доказательство теоремы несколько усложняется. 3 а м е ч а н и е 3. Условие на гладкость векторного поля можно также несколько ослабить. Достаточно требовать, чтобы поле л было непрерывно в Е1цС=11, а дифференцируемо только в О, и производная по любому направлению была непрерывна в 11. Формула (6.25) при этом сохраняется, однако входящий в нее двой,ной интеграл является при этом, вообще говоря, несобственным. 3 а м еч ание 4, Теорема 6.1, т. е.
формула Грина, верна и в общем случае областей Р с границей С, являющейся только спрямленной кривой "1. 3 а меч ание 5. Формула Грина (6.25) может быть записана, как это следует из доказательства, в виде (6,25'): ц ( — — — ) с/х с/у = (~) Р г/х+ Я с(у. с Интегралы слева и справа имеют инвариантный характер, т. е. их значение и форма не меняются при переходе к новой декарто.вой системе координат. Действительно, значения подынтегральных выражений слева и справа в формуле (6.25') равны соответственно (й, го1 а) и (а, 1) — инварнантным величинам.
Форма подынтегральных выражений в формуле (6.25') тоже, очевидно, не меняется при переходе к новой декартовой системе координат Ох'у'1 если в новом базисе векторное поле а имеет координаты Р' и Я', то го Т. е. по всиомогательным кусочно гладким кривым, разбивающим область 11. ев См. статью Э. Г, Позняка, Е. В.
Шикина//(ДАН СССР, 1980, 233, Ж 1, с. 42 — 44). 2!л $ 3. Осноаные интегральные формулы анализа (1с, го1а)= ( — — — ) = ()с, ( — — — ) 1с) = = — — —, (а, 1)ей=рс(х+Ябу= дО' дР' дк' де' = (Р' соз сс' + Я' э| и сс') с(х = Р' йх' -1- О' с(у'. ~ Ц д(ч а сЬ = Д (а, и) бэ. о (6.26г Интеграл справа в формуле (6.26) называется п о т о к о м векторного поля а через поверхность 5, а интеграл слева в этой формуле — это объемный интеграл от дивергенция вектора по области Р. Поэтому теорема 6.2 допускает такую формулировку: Объемный интеграл от дивергенции вектора по области Р равен потоку векторного поля а через поверхность 5 — границу этой области. Доказательство.
Все входящие в формулу (6.26) функции непрерывны, поэтому интегралы слева и справа существуют. Заметим, что формула (6.26) инвариантна относительно выбора прямоугольной системы координат, поскольку все входящие в нее величины — инварианты. Поэтому достаточно доказать формулу (6.26) при каком-то одном выборе декартовой системы.
Вы- Наконец, якобиан преобразования при переходе к новой системе координат по модулю равен единице, а параметризация с помощью длины дуги не связана с системой координат. Поэтому интегралы слева и справа в (6.25') не меняют своего значения и формы, 2. формула Остроградского — Гаусса. Пусть Р— односвязная область в Е' (т.
е. для любой кусочно гладкой замкнутой кривой С, расположенной в Р, можно указать орнентируемую кусочно. гладкую поверхность 6, расположенную в Р, имеющую границеи С), 5 — ее граница, удовлетворяющая двум условиям: 1) поверхность 5 — кусочно гладкая двусторонняя полная ограниченная замкнутая и без особых точек; 2) прямоугольную декартову систему координат в Ез можно- выбрать так, что для каждой из осей координат любая прямая, параллельная этой оси, будет пересекать поверхность 5 не более чем в двух точках. Пусть и — единичный вектор внешней нормали к 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
