В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ. Продолжение курса (PDF) (1111796), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Теория поли. Основные интегральные формулы анализа етеь..., е„через Мь Взяв из ортогонального дополнения к Мгз~ вектор е', нормированный условием (еь е') =1, ыы, очевидно, найдем, что (е', ет) =бг', 1, 1=1, 2, ..., л. Векторы ег также образуют базис пространства Е'. Действительно, если бы это было не так, то нашелся бы вектор из этого пространства, который неоднозначно разлагался бы по системе е', т. е. нулевой вектор имел бы разложение по базису с коэффициентами, не равными одновременно нулю. Следовательно, какой- нибудь вектор е' нз системы е~ принадлежал бы линейной оболочке о М' векторов е', е', ..., е'-', ее+', ..., е".
Но этого быть не может, так как е' в этом случае был бы ортогонален вектору е, (поскольку (ем еа)=0 при ЬФр). Однако вектор е" не может быть ортогональным ем потому что по построению (ем е') =1. Таким образом, к произвольному базису е; построен бнортогоиальный базис е~, причем все векторы этого базиса определяются единственным образом. В самом деле, если бы наряду с ег был бы еще один бнортогональный базис е(, то мы имели бы, что (е„ е,— ег) =0 для всех 1,1=1, 2,...,п. Отсюда следует, что е~=ег, поскольку если некоторый вектор ортогонален всем векторам базиса, то он ортогонален и самому себе, поэтому является нулевым вектором.
Утверждение доказано. Заметим, что если базис е; — ортонормированный, то биортого. нальный к нему совпадает с ним самим. 3. Преобразования базисов. Ковариантные и контрвариантные координаты вектора. Мы часто будем пользоваться переходом от биортогональных базисов еь е' к новым биортогональным базисам егч е'. Используя наши соглашения о суммировании, запишем разложения базисных векторов: е; = — Ь,'еь ег=Ьге,, 1, 1'=1, 2, ..., и, (6.1) ег=Ь',е', ег=Ь,'е", 1, 1'=-1, 2, ..., и. (6.2) Здесь (Ь, ') — матраца перехода от старого базиса е; к новому е,, ф ) — матрица обратного перехода от базиса е; к еь Аналогично (Ь,') и (Ь,') — матрицы прямого и обратного перехода от базиса е' к базису е' . " Т.
е. из подпространстеа пространства Е", асс векторы которого ортогоиальны Мь и Т. е. вектор е" был бы линейной комбинацией векторов е' при рМК й 1, Обозначения. Бнортогональные базисы. Инварианты оператора 193 Формулы (6.1) — это формулы перехода от старого базиса ег к новому ег и формулы обратного перехода. Формулы (6.2)— это формулы перехода от старого базиса е' к новому е" и формулы обратного перехода. Преобразования (6.1) взаимно обратны, поэтому и матрицы (Ьг) и (Ь';) взаимно обратны. Действительно, умножив первое из равенств (6.1) скалярно на е1', а второе нз равенств (6.1) на ег, получим, учитывая биортогональность базисов: б( =Ь,' (ег, е"), Ь, '=ЬГ(ег, е').
Однако, как следует из тех же формул (бй), (еь е') =Ь'; б( =Ь';,(е, е')=Ь;'4=Ь~ . (6. 3) Таким образом, т. е, матрицы (Ьг) и (Ь'; ) взаимно обратны. Аналогично устанавливается, что и матрицы (Ь; ) и (Ь,') взаимно обратны. Справедливо следующее утверждение о связи между матрицами (Ь';.) и (Ь~ ) (Ь') и (~ь~ ) Утверждение.
Матрица (Ь';) совпадает с матрицей (ЬР) а матрица (Ь; ) совпадает с матрицей (Ь; '). Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно, в силу взаимной обратности матриц (Ьг) и (Ь',) и матриц (Ь;') и (Ь,'), достаточно доказать, что совпадают (Ь,') н (Ь';). В силу (6.3) получим, что Ь; '=(е;, ег). (6.4) Аналогично с помощью (6.2) получим, что Ь; '= (е;, е'). (6.4') Правые части соотношений (6.4) н (6.4') равны, поэтому Ь;' =Ь;', что и требовалось. Следствие. Для перехода от базисов еь е' к базисам ее, е' достаточно знать только матрицу (Ь';) перехода от базиса е; к базису е, (магприца (Ь'; ) является обратной к (Ь) ), и вычисляется по ней).
Таким образом, мы приходим к следующим формулам преобразования базисов: г е ег =Ь;еь е;=Ь; е;, (6.6) е' = Ь'; е', ег = Ь,' е". 7 зан. тз !94 Гл. В. Теория поля, Основные интегральные формулы анализа Выведем теперь формулы преобразования координат вектора при переходе к новому базису.
Сначала проведем следуюшие рассуждения. Пусть е; и е~ — биортогональные базисы, а — произвольный вектор. Тогда разложения вектора а имеют вид а=а'еь а=рве'. (6.6) Биортогональный базис дает очень удобный способ вычисления коэффициентов а' и а; в разложении (6.6). Действительно, умножая первое нз соотношений (6.6) скалярно на е~, а второе — на еь получаем аг=(а, е~), а;=(а, е;), 1=1, 2,...,п.
(6.77 Следовательно, формулы (6.6) с учетом соотношений (6.7) принимают вмд а= (а, е')еь а= (а, е;)е'. (6.8р В частности, представляя в первое равенство (6.8) вместо вектора а вектор е~, а во второе равенство — вектор еь получиии е1= (е/, е')е;=дне„ е~=(ел е»)е' лпе', йл= (е~, е'), ил= (еь е,). (6.9) где Если умножить первое из соотношений (6.9) скалярно на еа„ а второе — на е', то длдг»=б»', дня'»=6,», /, й=1, 2, ..., п, а=а; е", то, как мы знаем, из формул (6.7) следует, что а; =(а,е;).
Подставляя в правую часть этого соотношения вместо ем его выражение из (6.5), получим аг = (а, Ьс ес) = Ь'; (а, ес) = Ь, 'аь т. е, матрицы (дл) и (дл) взаимно обратны и по своему построению в силу симметрии скалярного произведения симметричны. Выведем формулы преобразования координат вектора прм переходе к новому базису. Если е; — старый базис, а е; — ноьый, е' и е' — биортогональные к ним базисы и если й 1. Обозначения. Биортогональные базисы. Инварианты оператора 195 Итак, координаты аз вектора а, разложенного по базису е" (биортогональному к новому оазису е; ), в новом базисе е' имеют вид ам=Ь;аь (6.10) здесь (Ь';) — матрица прямого перехода от старого базиса е; к новому базису есь а, — координаты вектора а в разложении по биортогональному базису е': г Таким образом, координаты а; при переходе от старого базиса е; к новому ег преобразуются с помощью (Ь';) — матрицы перехода от старого базиса к новому по формуле (6.10).
Поэтому говорят, что координаты по преобразуются «согласованно», и эти координаты называются к о в а р и а н т н ы м н (что означает «согласованно изменяющийся») координатами вектора а. Если теперь согласно формулам (6.7) записать а" =(а, е") и подставить сюда вместо е' его выражение из (6.5), то ам = (а, Ь,' ет) = Ьс (а, е') =- Ь,' аг. (6.11) Из формулы (6.11) видно, что при переходе к новому базису координаты аз в разложении вектора а по старому базису е;(а=а'е;) преобразуются с помощью матрицы (Ьг ) перехода от нового базиса к старому.
Поэтому говорят, что координаты аз преобразуются «несогласованно», и эти координаты называются контр а в а р и а нтн ы м и (что означает «противоположно изменяющийся») координатами вектора а. 4. Инварианты линейного оператора. Дивергенция и ротор. Всюду в дальнейшем мы будем предполагать, что у нас рассматривается трехмерное пространство Е'. Рассмотрим произвольный линейный оператор А в этом пространстве. Напомним, что оператор А называется линейным, если для любых векторов а и Ь и любых вещественных чисел )ь и 1ь справедливо равенство А (Ха+ рЪ) = «Аа+ рАЬ.
Пусть е; и е' — биортогональные базисы в Е'. Ниже нам понадобятся два равенства, справедливые для линейного опера. тора А: 1) (еь Ае') = (е', Ае,) з1; го Напомним, что если в выражении у сомножителей встречаются повторя- 7« Г96 Гл, 6. Теория поля Основные интегральные формулы анализа 2)е;хАе'=е'хАе; (аХЬ означает векторное произведение векторов а и Ь). Докажем эти соотношения. Согласно формулам (6.9) получим е'=д"еа, е;=д;рер.
Поэтому (еь Ае') = (©рея, Ад'аеа) =д;ра'а(еР, Аеа) = =бр'(е', Аеа) = (е", Аеа) = (е', Ае;). Выше мы воспользовались тем, что матрицы (д;р) и (д") взаимно обратны и симметричны. Соотношение 1) доказано. Перейдем к доказательству соотношения 2). Используя те же равенства для е' и ег и свойства матриц (д,р) и (ига), получим е~ х Аег = йг ел х Апме» = йгрдгаея х Аеа = = баеп х Аеа = еа х Ае„= ег х Аеь Запишем, используя формулы (6.5): е,=Ь,' е;, е'=Ьреа', еи (Ьг;)— где (Ь| ) — матрица перехода от базиса е, к базису обратная ей матрица. Тогда (еь Аег)=Ь! Ьр (егн Аеп') = =б,', (е;, Аея') =-(ег, Ае").
Сравнивая первый и последний члены в этой цепочке равенств, получаем доказательство утверждения. гонгиеся индексы, один из которых вверху, а другой — внизу, то суммировании проводится по зтнм индексам. Некоторое выражение называется ин вар нантом (или инв а р н а н т и ы м), если оно не меняется прн преобразовании базиса пространства. Например, инвариантом является скалярное произведение двух векторов, значение скалярной функции в данной точке пространства. Рассмотрим некоторые величины, связанные с оператором А„ являющиеся инвариантами. Пусть е; — базис пространства Ез, е' — биортогональиый базис.
Утверждение 1. Величина (еь Ае') (или ей равная (е', Ае;) ) — инвариант. Доказательство. Необходимо показать, что если перейти к другому базису е; (е" — биортогоиальный базис к е, ), то будет выполнено равенство (еь Ае') =(е;з Ае"). $ 1. Обозначения. Биортотонззьные базисы. Инззризиты оператора 197 Определен~не 1. Инвариант (еь Ае') (или (е', Ае;)) линейного оператора А называется дивергенцией э гого о не р ат о р а и обозначается 61чА. Таким образом, 6!ч А = (еь Ае') = (е', Ае~)'.
3 аме чан ие 1. Всякий линейный оператор в данном базисе е; однозначно может быть задан с помощью матрицы, называемой матрицей линейного оператора. Для построения этой матрицы достаточно задать оператор на базисных векторах еь т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
