В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ. Продолжение курса (PDF) (1111796), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Разобьем сегмент [а, Ь] при помощи точек а=(»<(1<1»«... <(„=Ь на н частичных сегментов [1» ь 1»[ (й=1, 2, ..., и). При этом кривая Е распадается на п частичных дуг: М»Мь М~Мм ..., М„~М„, где точки М»(х», у»), А=О, 1, ..., п, имеют координаты х» — — ~р((»), у»=ф(1»). Выберем на каждой частичной дуге М» 1М» произвольную точ.
ку М»(ь», »1»), координаты которой отвечают некоторому принадлежащему сегменту [1, ь 1»[ значению т» параметра 1, так что $»= =я~(т»), т1»=ф(т»). Обозначим символом»»1» длину Й-й частичной дуги М»,М, (/г=1, 2, ..., а). Как было доказано в $10 гл. 10 ч, 1, для 61» справедлива формула с 61,= ~ У[4'(1))»+[ф'()[' (( '»-» Гл. 4. Крнно»ннейные гггггегрзны 168 Назовем диаметром разбиения кр ивой Е число Ь = гпах. о(з.
г <з(» Составим три интегральные суммы: » б,=~. 1( „Чз)й(з; з=! (4.3') » бз = ~ Р Д„т] ) Лх»; з=! (4.3') б = р 1ч'(ьы г1з) С»У41 з=! (4.3з) ~ )(х,у)й1 или ~ 1(х,у)й1. (4.4') лэ Определение 3. Если существует предел интегральной суммы бз (соответственно бз] при Л вЂ” ~-0, то этот предел называется криволинейным интегралом второго рода от функции Р(х, у) [ гч(х, у)] по кривой Е=АВ и обозначается символом '] Р(х, у) йх ~соответственно ] Я (х, у) йу1. (4.4') лв лв Сумму ~ Р (х, у) йх+ ]» Я (х, у) йу лв принято называть обшим криволинейным интегралом второго рода и обозначать символом 1 Р(х,у) йх+ О(х, у)йу.
лв (4 4») Из определения криволинейных интегралов следует, что: 1) криволинейный интеграл первого рода не зависит от того, в каком направлении (от А к В илн от В к А) пробегает кривая где Лх»=х» — х» ь Луг=уз — уз ь Определение 1. Назовем число 1 пределом интегр ал ь ной с улг мы б, (з=1, 2, 3) при стремлении к нулю диаметра разбиения 1з, если для любого е)0 найдется 6>0 такое, что .(независимо от выбора точек Фз на частичных дугах Мз 1М») ]о.— 1] <е, как только 0<6.
Определение 2. Если существует предел интегральной суммьз ог при Л-~-О, то этот предел называется криволинейным интегралом первого рода от функции 1(х, у) по кривой Ь и обозначается одним из символов: 169 й 2. Условна существования крввовннейних интегралов Е, а для ириволннейного интеграла второго рода изменение на- правления на кривой ведет к изменению знака, т, е. ~ Р(х,у)йх+ч1(х,у)йу= — ) Р(х,у)йх+1;1(х,у)йу; лв вл 2) физически криволинейный интеграл первого рода (4,4') представляет собой массу кривой Е, линейная плотность вдоль которой равна [(х, у); общий криволинейный интеграл второго рода (4.4в) физически представляет собой работу по перемещению материальной точки из А в В вдоль кривой Е под действием силы, имеющей составляющие Р(х, у) и 1,1(х, у).
3 а м е ч а н и е. Для пространственной кривой Е=АВ аналогично вводятся криволинейный интеграл первого рода ~ 1(х, у, г) й лв и три криволинейных интеграла второго рода ) Р(х,у,г)йх, ~ 1г(х,у,г)йу, ~ В(х,у,г)с(г. лв лв лв Сумму трех последних интегралов принято называть о б щ и м криволинейным интегралом второго рода и обо; значать символом ~ Р (х, у, г) йх + () (х, у, т) йу + В (х, у, г) йг. лв $2. УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ КРИВОЛИНЕИНЫХ ИНТЕГРАЛОВ Определение. Кривая Е называется гладкой, если функции ~р(1) и гЬ(1) из определяющих ее параметрических уравнений (4,1) имеют на сегменте [а, Ь) непрерывнсче производные <р'(1) и Чт'(1) (т.
е. производные непрерывны в интервале а<1(Ь и обладают конечными предельными значениями в точке а справа и в точке Ь слева). Напомним, что в гл. 13 ч, 1 мы договорились называть особым и т о ч к а м и кривой Е точки, соответствующие тому значениго параметра 1 из [а, Ь), для которого [юр'(1)]'+[ф'(Г)3'=О, т. е. обе производные обращаются в нуль. Те точки кривой Е, для которых [гр'(1) )е+[Чт (1) )еФО, мы назвали о б ы к н о в е и н ы м и точками. Т е о р е м а 4,1, Если кривая Е=АВ является гладкой и не содержит особых точек и если функции 1(х, у), Р(х, у) и ес(х, у) непрерывны вдоль этой кривой, - то криволинейные интегралы (4.4') и (4.4е) существуют и могут быть вычислены по следующим формулам, сводящим эти криволинейные интегральс к обычным определенным интегралам: 170 Гл, 4.
Криволинейные интегралы ) 1'(х,р)~(= [ 1[р(1) ф (1)1 Яр'(1)['+ И'(1)['ь(1; АВ л ь 1 Р(х,у)( =1Р[ря,ф(1)[%'(1)а; АВ а Ь [ ()(х,у)(у=~а[р(1), Р(1)[ Р'(1) И. АВ а (4.5') (4.5') (4.5а) Доказательство. Прежде всего отметим, что определенные интегралы, стоящие в правых частях формул (4.5'), (4.5'), (4.5'), существуют, ибо при сделанных нами предположениях подынтег- ральные функции в каждом из этих интегралов непрерывны на сегменте а ~1~ Ь. Отметим также, что вывод соотношений (4.5а) и (4.5') для кри- волинейных интегралов второго рода вполне аналогичен, поэтому мы будем выводить только соотношения (4.5') и (4.5а) и доказы- вать существование интегралов (4.4') и (4.4а).
Как и в $1, разобьем сегмент [а, Ь) на и частичных сегментов [та ь 1Ь[, Й=1, 2, ..., л, и составим интегральные суммы (4.3'), (4.3[). Учитывая соотношение (4.2) и соотношение гь 7ххь= р(1ь) — р((ь !) = [' р'(1) (1, г, представим интегральные суммы (4.3') и (4.3а) в следующем виде: а! = ), (Г [!р (ть), г[г (ть)[ [" [I [гр' (1)[а+ [зр' (1))' Й~. Ь=! гьы н г„ и, = '~' [Р [гр'(ть),ар (ть)[ ) гр' (1)г(1~, Ь=! га-! о,— (т=~ ~ (7[гр(та), ф(ть)) — У[ф(1), ф(1)[) Игр'(1)[а+ [Ф'(1)[Чг, ь=! (4.5') Обозначим определенные интегралы, стоящие в правых частях формул (4.5') и (4.5а), соответственно через !'! н 1и и представим эти интегралы по сегменту [а, Ь[ в виде суммы л интегралов по ча.
стичным сегментам [1Ь г, 1ь[, В=1, 2,..., В. Рассмотрим и оценим разности а 2. условия существоввиия криволинейных интегралов и о — !'а = ~ ] (Р [гр (т»), ф(т„)] — Р [!р (1),ар(1)]) <р' (!) с(!. (4,6') а=! г, При сделанных нами предположениях о функциях 1(х, у), Р(х, у) и функциях (4.1) функции 1[<р(!), »р(1)] и Р[тр(1), ар(!)] как сложные функции аргумента 1 непрерывны на сегменте а(1-я:Ь, а следовательно, и равномерно непрерывны на этом сегменте.
Заметим теперь, что при стремлении к нулю диаметра разбиения Л кривой й стремится к нулю и наибольшая из разностей Лак=!а — 1а-ь Действительно, так как функции гр'(1) и ф'(1) непрерывны на [а, Ь] и не обращаются в нуль одновременно, то 'а и=- ппп [<р'(()]а+ [»р' (1)]а> 0 и Л1 > л! ~ с((=п»Л(а, т. е. а<к» 'а-! ! Л(а~ — Л1» (мы учли формулу (4.2) для длины Л1»). Таким образом, для любого е>0 можно указать 6>0 такое, что при Л(6 фигурная скобка в формуле (4.6') по модулю меньше е!1, где 1 — длина кривой 1., а фигурная скобка в (4.6') по модулю меньше, где М= !пах ~гр'(1)[.
М(Ь вЂ” а) а<»<а Полагая, что диаметр разбиения Л меньше 6, получим для разностей (4.6'), (4.6') следующие оценки: л )и — 7а(~( — э1 [ уг[гр'(!)]а+[»р'(1)]вьй= — в Л(а=е, 1 1~.! а=! ! а=! 1ав — Ув!< ' 9 Г РР (1)~б( < ' М~Л(»=в. , 9Г а)(ь — а) »=! а=! Итак, мы доказали, что интегральные суммы о! и оа при Л-».0 имеют пределы, соответственно равные 1! и 1». Таким образом, доказано существование криволинейных интегралов (4.4'), (4.4') и справедливость для пих формул (4.5'), (4.5') соответственно, Отметим, что при выводе формулы (4.5') мы не использовали условия непрерывности функции ф'(1). Теорема доказана.
3 а меча н и е 1. Будем называть кривую !. кусочно гл а- дко , если она непрерывна' и распадается на конечное число не имеющих общих внутренних точек кусков, каждый из которых представляет собой гладкую кривую. В случае кусочно гладкой кривой Е криволинейные интегралы по этой кривой естественно определить как суммы соответствующих криволинейных интегра- Гл, 4. Криволинейные интегралы 172 лов по всем гладким частям, составляющим кривую Е.
Прн этом равенства (4.5'), (4.5'), (4.5') будут справедливы и для кусочно гладкой кривой Е. Этн равенства справедливы и в случае, когда функции )(х, у), Р(х, у) и Я(х, у) являются лишь кусочно непрерывными вдоль кривой Л (т. е. когда кривая Е распадается на конечное число не имеющих общих внутренних точек кусков, вдоль каждого нз которых указанные функции непрерывны). 3 а м е ч а н и е 2. Аналогичные результаты и формулы справедливы и для криволинейных интегралов, взятых по пространственной кривой Е=АВ=((х,у,г): х=~р((), у=ар(г), г=1~(() при а<(- Ь).
Так, формулы для вычисления этих интегралов имеют следующий вид: ~ Пх,у,г) д(=~1[ Я,ф(1),у(()1~[р (1))а+И (1))а+[Х'(()[ д1; лв ( у ) ) [р(),Ф(),х()]ч () лв а ь ~ 9(х, у, г) Ну= [Я[ср(1),ф((), у(1)1тР'(() д(; лв е ь и) й (х, у, г)[Ыг = ~ В [~р (1), ф (1), у (1)) у' (() д1. 3 а м е ч а н и е 3. Выше было отмечено, что криволинейный интеграл второго рода зависит от направления обхода кривой Е=- =АВ. Поэтому следует договориться о том, что мы будем понимать под символом (4.7) Р(х, у) с(х+(г(х, у) ду в случае, когда 7. — замкнутая кривая (т. е.
когда точка В совпадает с точкой А). Из двух возможных направлений обхода замкнутого контура Ь назовем положительным то направление обхода, прн котором область, лежащая внутри этого контура, остается по левую сторону по отношению к точке, совершающей обход (т. е, направление движения «против часовой стрелки»). Будем считать, что в интеграле (4.7) по замкнутому контуру Е этот контур всегда обходится в положительном направлении. В случае, когда необходимо подчеркнуть, что контур 5 замк- 173 $2.
Условия существования криволинейных иитсгралов иут, будем использовать следующую форму записи интеграла (4.7); ! (х у) "х+ те(х у) йу. 3 а м е ч а н и е 4. Криволинейные интегралы обладают теми же свойствами, что и обычные определенные интегралы (доказательства аналогичны изложенным в з 4 гл. 9 ч. !). Отметим, что при более жестких предположениях указанные свойства сразу вытекают из формул (4.5'), (4.5'), (4.5а). Перечислим эти свойства применительно к криволинейным интегралам первого рода.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
