В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ. Продолжение курса (PDF) (1111796), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Число 1» (я=1, 2, 3, 4) называется пределом сумм г» при Л вЂ” «О, если для любого г>0 найдется б= =б(е))0 такое, что при Л<б (независимо от выбора точек Мг~ енФ!) выполняется неравенство ~~ — у ~<е. ~, = Ц ) (М) с(а. (5.!9') О п р е д е л е н и е 2». Если при Л вЂ” 0 существуют предела! сумм г,», где А=2, 3 или 4, то эти пределы называются поверхностными интегралами второго рода и обозначаются соответственно символами 4а= ~~ Р(М)созХйт; та =- 1 ) Я(М) созУс(а; Ф га = Ц Й (М) соз Е да.
(5.19х) (5.19') (5. 19') Сумма последних трех интегралов называется общим поверхностным интегралом второго рода. Этот интеграл может быть зап!исаи в виде Л(А, п)да, (о 19») где А=А(х, у, г) — вектор с компонентами Р(х„у, г), Я(х, у, г), О п р е д е л е и и е 2.
Если при Л вЂ” «О существует предел сума! Х г, то этот предел называется и о в е рх н о с т н ы м и н т е г р а л о лг первого рода от функции 1(х, у, г) по поверхности Ф и обозна гается символом й 2, Поверхностные интегралы !8Т Ц ~(М) до = Д ~ (х(и, о), у(и, о), г(и, о)) )ГЕ — Ре да до (5 20 ) Ф о (с помощью соответствующей из формул Д Р(М) созХйо=Ц Р(х(и, о), у(и, о), г(и, о)] х Ф о х сов Х ~/Е0 — Ре ди до; 1) сс(М)созУдо =- ) ) Я(х(и, о), у(и, о), г(и, о)) х ь о х соз)' Р Е — Р'дадо; (5.20') (5.20') Я(х, у, г), а п=(созХ, соз У„созХ) — вектор единичной нормали и поверхности Ф. Из определений поверхностных интегралов следует, что: 1) поверхностный интеграл первого рода не зависит от выбора стороны поверхности и не меняется при изменении направления нормали на противоположное, а поверхностные интегралы второго рода меняют знак при изменении направления нормали на противоположное; 2) поверхностный ~интеграл первого рода (5.19') и общий поверхностный интеграл второго рода (5.19') не зависят от выбора системы координат и инвариантны относительно перехода к новым координатам; 3) физически интеграл (5.19') представляет собой поток вектора А через поверхность Ф, а интеграл (5.19') дает массу нагруженной поверхности Ф при условии, что поверхностная плотность распределения массы равна 1(х, у„ г); 4) каждый из поверхностных интегралов второго рода (5.19')— (5.19") сводится к поверхностному интегралу первого рода (5.19'): достаточно взять в поверхностном интеграле первого рода подынтегральную функцию 1(М) соответственно равной Р(М) созХ, О(М) соз У и Р(М) созХ, причем если Р, Я и )с являются непрерывными на Ф, то и 1 окажется непрерывной вдоль Ф, Отметим, что в случае замкнутой поверхности Ф вектор нормали всегда считают направленным во внешность области,ограниченной этой поверхностью.
Теорема 5.2. Если Ф гладкая двусторонняя полная ограниченная поверхность без особых точек, задаваемая уравнениями (5.1), а функция 1(х, у, г) (соответственно функции Р(х, у, г), Я(х, у, г), Я(х, у, г)) непрерывна вдоль Ф, то поверхностный интеграл (5.19') (соответствующий из поверхностньнх интегралов (5.192) — (5.194) ) существует и сводится к обычному двойному интегралу с помощью формулы Гл.
5. Поверхностные интегралы Ц)с(М)созХ Ы =-Ц)с(х(и, о), у(и, о), г(и, о)) х (5 204) — 1х=~~ ~(Мс)о; — ') Ц~(М))~ЕР— рвдиди= с 01 )~).(М) Ц ~ЕР се с( д, у'Ц т(М) ~ЕР рх 1 с, т а ° =ь((н~ие — нмхтеве~ ь. (5.21) с с; Здесь мы использовали представление (5.17) для аь Так как функции 1(М) равномерно непрерывна в 6, то для фиксированного е)0 найдется 6=6(е))0 такое, что при р(М, М;)(6 выполняется неравенство ~ПМ) — 1(М,) ~( — ', и (5.22) где о — площадь поверхности Ф.
Из (5.21), (5.22) получим (Ех — 1,1< — ~~1~ Д) сЕР— )се дида = и о; — ~' ЕР— Ев ди дс = — а = е е ГГ в о сн о а при Л(6. Это означает, что существует равный 1, предел сумм Х1 при Л-е-О. Теорема доказана. С л е д с т в и е. Если поверхность Ф задана уравнением г= =г(х, у) (т. е. х=и, у=о, г=г(и, о)), где г(х, у) — непрерывно дифференцируемая в области 6 плоскости Оху функция, то, выбирая на поверхности Ф ту сторону, для которой вектор нормали ,с созЛ У'ЕР— Е д о~. Доказательство. Достаточно провести доказательство существования только интеграла (5.19') и справедливости формулы (5.20'), так как все поверхностные интегралы второго рода сводятся к этому интегралу. Заметим, что интеграл, стоящий в правой части (5.20') (обозначим его 11), существует (поскольку подынтегральная функция непрерывна), поэтому достаточно доказать, что предел сумм (5.18') при диаметре разбиения Л-+-0 существует .
и равен 1ь Фиксируем любое е)0 и оценим разность й 2. Поверхностные интегралы поверхности составляет с осью Ог острый угол, можем переписать форму.гу (5.20') следуюи(им образом: ~ ~ гт(х, у, г)сояЕдо =Д гг(х, у, г(х, уЯдхг(у. Ф с В самом деле, достаточно учесть, что х =гхо — ншхд, ао — г'-~ +1 — '* ! ~-( — ') . 1дх1 1ду/ 1 соя 2в Это оправдывает следующее обозначение для поверхностного ин- теграла второго рода: ) ) )г(х, у, г)соялао= Д )г(х, у, г)дхс(у. Ф Ф (5.23) Отметим, что обозначение (5.23) используется и в случае, когда Ф не является графиком функции г=г(х, у). Для общего поверхностного интеграла второго рода (5.19') также применяется следующее обозначение: ) ) (РсояХ+Ясоят'+Ясоя2)до= )) Рдудг+Ядгдх+ Рдхду.
3 а м е ч а н,и е. Понятия поверхностных интегралов первого и второго рода естественно распространяются на случай, когда поверхность Ф является кусочно гладкой. Для таких поверхностей, очевидно, также справедлива доказанная в атом параграфе теорема существования. Глава 6 ТЕОРИЯ ПОЛЯ. ОСНОВНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ АНАЛИЗА В этой главе будут рассмотрены скалярные и векторные поля, а также основные понятия и операции„связанные с ними. Важнейшей формулой анализа является уже ~известная нам формула Ньютона — Лейбница. Здесь будут получены формулы Грина, Остроградского — Гаусса и Стокса, которые, с одной стороны, являются обобщением формулы Ньютона — Лейбница на многомерный случай, а с другой стороны, составляют важную часть аппарата интегрального исчисления.
5 Е ОБОЗНАЧЕНИЯ. БИОРТОГОНАЛЪНЫЕ БАЗИСЫ. ИНВАРИАНТЫ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА 1. Обозначения. Ниже нам часто придется записывать суммы некоторого числа слагаемых. Поясним обозначения, которыми бу. дем пользоваться. Мы будем иметь дело с системами величин, которые помечены несколькими индексами, например а,', .
Обычно в таких случаях один индекс пишут внизу, другой — вверху. Если индексы меняются независимо, то они обозначаются разными буквами. Если индексов много, то они обозначаются одной буквой с подындексом. Например, ы„... '„или $1'... "вр. В некоторых случаях для Р обозначения суммирования будет использована запись ХА(а), где суммирование производится по некоторому множеству величин о. Если индексы суммирования Ь, 1Б...,1 меняются так, что при этом 11(12(...(йь то будем писать В;,и, п<п«. ° ~ Наконец, заключим следующее соглашение о суммировании. Пусть имеется выражение, составленное из сомножителей.
Если в этом выражении имеется два буквенных индекса, из которых один верхний, а другой нижний, то будем полагать, что по этим индексам происходит суммирование. При этом индексы последовательно принимают значение 1, 2,..., а полученные слагаемые складываются. б !. Обозначения. Виортогональные базисы. Инварианты оператора 19! Например, если с, 1=1, 2,...,п, то азе'=а,е'+а,е'+... +аие", а;!еге) = а, е'е) + а, ете) + ... + а е"е) = !! 3! а! л! = а„е'е'+ а„е'е'+... + а„,е'е" + а„е'е'+ +а„е'е'+... +а,„е'е" + ...
+а,„е"е'+а„,е"е'+ ... +а„„е"е". При этих обозначениях разложение вектора а по базису е!, еь...,е. пространства Е" может быть записано так: а=азеь где а' — коэффиц~иенты разложения этого вектора. Эта запись означает, что в а= ~~ ате,. — 1 Символом 6,! будем обозначать величину, принимающую всего два значения: 6,!=1, 6,!'=О, при 1Ф1, бу — так называемый символ Кронекера ". Скалярное произведение двух векторов а и Ь в пространстве Е" обозначается (а, Ь). 2. Биортогональные базисы в пространстве Е". Пусть еь 1= = 1, 2,...,и — базис '! н п-мерном пространстве Е".
Очевидно, что е, — линейно независимые векторы. Определение. Базис е!' (индекс вверху), 1=1, 2,...,п, называется 6 и ортого н ал ь н ы м к 6 аз и с у еь если выполнены соотноизения 1, 1= — 1; (еь е!')=-6';= з, 1==-1, 2,, и; О, ! ~1'. У т в е р ж де н не. Для всякого базиса еь 1=1, 2,..., п, пространства Е" существует единственный биортогональный базис е1, 1=1, 2,...,и. До к аз а тельство. Обозначим линейную оболочку (т. е.
множество всех линейных комбинаций) векторов е!,еы...,е; !, " Л. Кронекер — немецкий математик (1823 — 1891). " Векторы е!, е„..., е образуют базис в Е", если любой вектор а нз Е" представим единственным образом в виде а=а!езн-атет+...+а е =-а!еь $92 Гл. б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
