В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ. Продолжение курса (PDF) (1111796), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Отсюда и из теоремы 3.10 вьпе. кает справедливость сформулированной теоремы. Обычно при исследовании несобственных интегралов на сходимость используют стандартные (эталонные) функции сравнения, наиболее употребительной из которых является функция д(х) = =1х1-а, Р)0, 1х~ =)г'хт,+хат+... +ха Легко пРовеРить, что если область Р— шар радиуса Ю (И~О) с центром в начале коорцинат, то несобственный интеграл от функции ~1х~1-' по областиР сходится при р<пт и расходится при р>гн. Если же Р— внешность того же шара, то несобственный интеграл от функции ~1х~1-а по области Р сходится прн р)гн и расходится при р~т.
3. Несобственные интегралы от знакопеременных функций. В этом пункте мы выясним связь между сходимостью н абсолютной сходимостью кратных несобственных интегралов. При этом, как и в одномерном случае, несобственный интеграл ) Т'(х) дх о будем называть абсолютно сходящимся, если сходится интеграл ~11(х)~ дх. Кратные несобственные интегралы в отличие от одномерного случая обладают тем свойством, что из обыч- 6 Зак. 2$ Гл.
3. Двойные и н-кратные интегралы 162 Представим их в виде 7(х), если )'(х) > 0; О, если 7 (х) ( 0; 7- (х)— — 7(х), если 7(х) <0; О, если 7" (х) р О (3.66) и отметим следующие соотношения, непосредственно вытекающие нз определения этих функций: 0 ~<)ь(х) < 17(х)~; 0 й 7 (х) <17(х)1; (3.67) 7'(х) =7" » (х) — 7 (х); 17(х) ! =71 (х)+ 7 (х).
(3.68) Из интегрнруемости в собственном смысле функции Г(х) по любой кубируемой подобласти области Р вытекает интегрируемость по любой такой подобласти функции 11(х) ~, а следовательно, и фУнкций ~н (х) и 1 (х) (что следУет из фоРмУл (3.65) ). Используя сходимость интеграла 1 17 (х) ~ йх, только о что указанное свойство функций )+(х), 7 (х), неравенства (3.67) и теорему 3.11, убеждаемся в сходимости несобственных интегралов ~ 7н (х)ах и ) 1' (х)йх.
Из определения несобственного интеграла следует, что если сходится несобственный интеграл по области Р от каждой из функций 1+(х) и 1' (х), то сходятся интегралы от суммы и разности этих функций. Из первого соотношения (3.68) следует сходимость интеграла 7'(х)дх. Первая часть теоремы доказана. о 2) Пусть кратный несобственный интеграл ) 1(х) йх схоо днтся.
Докажем, что он сходится абсолютно. Допустим, что это утверждение неверно. Тогда из теоремы 3.10 вытекает, что пос- ной сходимости несобственного кратного интеграла вытекает его абсолютная сходимость. Теорема 3.!2. Для несобственных т-кратных интегралов при пт)2 понятия сходимости и абсолютной сходимости эквивалентньь Д о к а з а тел ь с тв о. 1) Докажем, что из абсолютной сходимости кратного несобственного интеграла в области Р следует его обычная сходимость в этой области.
Рассмотрим две неотрицательные функции ( )= ~ ) ~ ) 1' ( )= ~ )~ ~ ) (3.65) 2 ' 2 5 3. Кратные несобственные интегралы 163 ледовательность интегралов от функции 11(х) ( по любой монотонно исчерпывающей область Р последовательности кубируемых областей (Р„) будет монотонно возрастающей бесконечно большой последовательностью. В частности, последовательность (Р„) можно выбрать так, что для любого п=1, 2, ... выполняется неравенство ~7'(х)( с(х > 3 ) 17'(х)( с(х+2п+ 4 (3.69) лы вн (достаточно взять любую последовательность (Р ) и «проредить» ее, отбросив те области, для которых неравенство (3.69) не вы- полняется). Обозначим через Р, множество Р,т~',Р . Тогда из (3.69) получим, что для любого и ) !7(х)( с(х,ь2 ) (7(х)! с(х+2п+4. (3.70) Рн "н Из второго соотношения (3.68) следует, что ~7(х)! г(х=- ) 1"ь(х)дх+ ~ 7' (х)дх.
(3.71) Фиксируем произвольный номер и. Пусть для этого и из двух интегралов в правой части (3.71) ббльшим будет первый. Тогда из соотношений (3.70) и (3.71) получим ~ 7+ (х) с(х ) '( Ц (х) ~ с(х+ и + 2. (3.72) йн 0 < ~ 1, (х) с(х — ) т,бп, с 1. Рл Тогда, заменив в левой части (3.72) интеграл нижней суммой, получим следующее неравенство: ') и;Ло; ) ~ 11(х)(о'х+и+1.
(3. 73) йн ы Здесь ап=-1н11+(х), Ьо, — т-мерный объем Р '. рь н Разобьем область Рл на конечное число областей Р„' так, чтобы нижняя сумма Хгп;Лог функции )ъ(х) для этого разбиения удов- летворяла неравенству '1 Гл. 3. Знойные и л-кратные интегралы !б4 Так как т;)О, то оставим в сумме у''т;Ла, лишь те слагаемые, для которых т;>О. Объединение областей Р„', соответствующих оставшимся в сумме слагаемым, обозначим через Р„.
В области Р функция 1+(х) положительна, поэтому в этой области 1+(х) =1(х) (см. (3.66) ). Следовательно, согласно (3.73) получаем неравенство ( ~(х) дх > ~ /~(х)( йх+л+ 1. (3,74) ао ел Обозначим через Р,* объединение Р, и Р,. Тогда, складывая неравенство (3.74) с неравенством ) Г(х)дх> — 1 (7(х)( дх, ал ал заведомо справедливым для фиксированного нами п, получим ) 7'(х) дх > л + 1. (3.75) Если для фиксированного нами номера и из двух интегралов в правой части (3.71) ббльшим (или равным первому) будет второй, то, проделав аналогичные преобразования, учитывая, что в области Р, 1' (х)= — 1(х), получим неравенство ) Г (х) йх с.
— и — 1. (3.76) Из соотношений (3.75) и (3.76) следует, что для любого а=!,2, ... ~ ~ 7(х) сЬ ~ > а+ 1. (3.77) а' и Последовательность областей (Рз„) удовлетворяет всем условиям определения 1, кроме, быть может, условия связности областеи Р'„(свЯзность областей Р„могла быть наРУшена пРи отбрасывании из Р, тех областей Р,', на которых точная нижняя грань т! равна нулю). Малой деформацией сделаел! эти области связными а!. Соединим каждую область Р.! из Р, с областью Р„т-мерной кубируемой связной областью К,' (которую будем называть м Именно этот момент доказательства существенна использует требование таз (при го=1 описываемые рассуждения не проходят).
з В. Кратные несобственные интегралы 1бб с в я з к о й или к а н а л о м) так, чтобы полученное множество стало связным. Поскольку число областей Р ' в Р„ конечно, то и число каналов конечно. Обозначим объединение всех каналов через К„. Наложим ограничение на т-мерный объем У(К„) каналов. Так как функция 1(х) интегрируема, а следовательно, и ограничена на Р„ то ~ ~ 1(х) дх~ < ~ ~7'(х)~ дх <М.У(К.), Кя кп где М=зпр17(х)!. Потребуем, чтобы т-мерный объем канауа лов У(К,) удовлетворял условию У(К,)(1/М. Тогда 7 (х) дх ~ ( 1.
(3.78) и„ Из неравенства (3.77) и (3.78) получаем для любого и нера- венство 7' (х) дх ~ ) и. (3.79) о„ок„ Последовательность с в я з н ы х кубируемых областей (11,„() К,„) монотонно исчерпывает область 11 т1. Из неравенства (3.79) следует, что последовательность интегралов в левой части этого неравенства расходится, т. е. несобственный интеграл ) 1(х) дх расходится. Но по условию теоремы этот интего рал сходится.
Полученное противоречие доказывает справедливость нашего утверждения. Теорема полностью доказана. 4. Главное значение кратных несобственных интегралов. Обозначим через В(В, ха) т-мерный шар радиуса Я с центром в точке хо, и пусть начало координат находится в точке ОепЕ'". Определение. Пусть функция 1(х) определена при всех хепЕ~ и интегрируема в каждом шаре В(К, 0).
Будем говорить, что функция 1(х) интегрируема по Коши в Е"', если существует предел 1пп ~ 7" (х) дх. " вя,с1 Этот предел мы будем называть г л а в н ы м з и а ч е и и е м несоб" Ыы берем (о'т»ЦКт 1 вместо (11* ЦК,), чтобы удовлетворить условию т'а 11Ка ~па~ тоЦКаю+о на определения !. 16б Гл. 3. Двойные и и-кратные интегралы ственного интеграла от функции !(х) в смысле Коши и обозначить символом ч, р, ( Г(х)е(х=(!п1 ( !(х)е(х. Е л " врьв> Пример.
Нетрудно проверить, что для функции )(х у) =х в Ее хг!хну = О; вд,о! тем самым функция )(х, д) =х интегрируема по Коши в Е' и ч. р. ~(хдхе(у=-О. Отметим, что несобственный интеграл ) хг(хг!у расходится. Е' В случае, когда функция Г(х) имеет особенность в некоторой точке хв области Рс-.Е~ и Г(х) интегрнруема в каждой области Рл=Р'~В(И, х,), где В(!т', хе)с:Р, интеграл в смысле Коши вводится как предел: ч.
р. ~~(х)е(х=(!т ~ ~(х)йх. о лые о Глава 4 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ В этой главе мы перенесем понятие одномерного определенно. го интеграла, взятого по прямолинейному отрезку, на случай, когда областью интегрирования является отрезок некоторой плоской или пространственной кривой. Такого рода интегралы называются криволинейными. $ Е ПОНЯТИЯ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ ПЕРВОГО И ВТОРОГО РОДА Рассмотрим на плоскости Оху некоторую спрямляемую нривую 1., не имеющую точек самопересечения и участков самоналегания. Предположим, что эта кривая определяется параметрическими уравнениями ! (а~„( < Ь), (4,1) р = "т' (1) (4.2) и сначала будем считать ее незамкнутой и ограниченной точками А и В с координатами А (~р(а), ф(а) ), В(<р(Ь), ф(Ь)).
Пусть на кривой Е=АВ определены три функции: 1(х, у), Р(х, д), Я(х, у), каждая из которых является непрерывной (а следовательно, н равномерно непрерывной) вдоль этой кривой (так, для функции 1" (х, у) это означает, что для любого е)0 найдется 6>0 такое, что [)(М~) — [(М») [<а для любых точек МьМ» ен(., расстояние между которыми меньше 6).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
