В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ. Продолжение курса (PDF) (1111796), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Тогда всюду на прямоугольнике )тьг 130 Гл. 3, двойные и л-кратные интегралы Умножим (3.14) на Лхь, просуммируем полученные неравенства сначала по всем 1 от 1 до р, а затем по всем й от 1 до и. Используя обозначение (3.11), будем иметь и и л н и = ~~~ ~) пг~рХх~йу, < ~)."! (3~) Лх < ') !~ Мыбх Лу 5. (3.15~ ь !1=! ь ! «-! 1-! Пусть Ь- О. Тогда и п!ахбхь-ьО. При этом з н 5 стремятся к двойному интегралу Ц 1(х, у) г(хг(у. Следовательно, существует предел н среднего члена в (3.15), равный тому же самому двойному интегралу.
Но этот предел по определению однократного интеграла равен ь ь е 11(х) дх- 1 дх ~ 1(», у) ду. Таким образом, доказано существование повторного интеграла и равенство (3.12). Теорема доказана. Замечание. Из доказательства теоремы 3.6 ясно, что х и у можно поменять ролями, т. е. можно предположить существование двойного интеграла и существование для любого у~(с, д); однократного интеграла К(у)= ) 1(х, у)с(х. и Тогда теорема будет утверждать существование повторного интеграла Ю и ь 1 К (у) г(у 1 ду 1 '1 (х, у) г(х и равенство его двойному интегралу. 2.
Случай произвольной области. Рассмотрим теперь произвольную ограниченную замкнутую квадрируемую область Р с границей Г. Теорема 3.7. Пусть выполнены следующие условия: 1) область Р такова, что любая прямая, параллельная оси Оу, пересекает границу Г по целому отрезку [у!(х), ут(х)) либо не более. чем в двух точках, ординаты которых суть у!(х) и ут(х), где у! (х) (ут(х) (рис. 3.3); 2) функция 1(х, у) интегрируема в области Р и для любого хя(х!, ха) допускает существование однократного интеграла уз он ) 1(х, у)ду м!г! 5 3. Сведеиие двоаиого иитеграда и поаториоиу одиократиоиу 131 (1х(, ха) — проекция области 0 на ось Ох), Тогда существует повторный интеграл «, а>(«( ) Их ) 1(х, у)ду «а Ув(«( и справедливо равенство «а Ую(«( ) ~~(х, у)йхйу=) Ых ) 1(х, у)Ну.
о «, «,(«! (3.!6) Доказательство. Обозначим через 1с прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям, содержащий область О, а через г(х, у)' функцию (3.2), совпадающую с 1(х, у) в Рис. З.З Рис.'3.4 «, ) г(х, у)(1х «,М ((у„уе] — проекция О на ось Оу). «Ф О и равную нулю в остальных точках Я. Для г(х, у) выполнены в 1с все условия теоремы 3.6 и, следовательно, справедлива фор.
мула (3.12), которая переходит в формулу (3.16) (в силу выбора функции г (х, у)). Теорема доказана. Замечание 1. В теореме 3.7 можно поменять ролями х и у, т. е. можно предположить, что выполнены следующие два условия: 1) область 0 такова, что любая прямая, параллельная осн Ох, пересекает границу Г либо по целому отрезку (х((у), ха(у)), либо не более чем в двух точках, абсциссы которых суть х((у) н ха(у), где х((у).сх,(у); 2) функция 1(х, у) интегрируема в области 0 и для любого учи[у„у,1 допускает существование однократного интеграла 132 Га. 3, Двойные н н-кратные интегралы При выполнении этих условий существует повторный интеграл У«««(У) ) ((у ) Г(х, у)((х У~ «~(У) н справедливо равенство У, «,(У) ДГ(х, у)с(х((у= ( ((у ( Г(х, у)((х.
'о й «нм Замечание 2. В случае, если область Р не удовлетворяет требованиям теоремы 3.7 или замечания 1 к этой теореме, часто удается разбить эту область на сумму конечного числа областей такого типа, не имеющих общих внутренних точек. Тогда интеграл по области Р в силу свойства аддитивности равен сумме интегралов по соответствующим областям. Так, область Р, изображенную на рис. 3.4, можно разбить на сумму трех областей Р(, Рм Ро, к каждой из которых применима илн теорема 3.7, или замечание 1. П р и м е р. Пусть область Р ограничена кривыми )х+у~ «1 и хо+у««:1, а 1(х, у) =ху (рис.
3.5). Любая прямая, параллельная оси Рнс. 3.5 Оу, пересекает границу Р не более чем в двух точках, Для удобства записи повторных интегралов разобьем область Р на две области Р, и Р, осью Оу. Применяя по каждой из областей формулу (3.16), получим Ц~(х, у)((х((у= ~~хус(х((у+ ц ху((х((у= о о, о, У) — М 1 1-« о ~ х((х ~ у ((у+~х(Ь ~ у((у — — ~ (х'+х )((х+ — 1 †1 †« о — У! — «а — 1 +1( — хв)(х= — — —. ! 6 о 4 4, Тройные и л-кратные интегралы $4. ТРОННЫЕ И и-КРАТНЫП ИНТЕГРАЛЫ 133 Изложенная нами теория двойного интеграла без каких-либо осложнений и новых идей переносится на случай тройного и вооб.
ще и-кратного интеграла. Остановимся на основных моментах теории п-кратного интеграла. При ояределевии класса квадрируемых множеств в Е' и класса кубируемых множеств в Е' мы заимствовали из курса средней школы понятия площади многоугольной фигуры и объема многогранного тела, которые обладают свойствамн аддитивности, инвариантности, монотонноспи (см. $ 2, 3 гл. 10 ч. 1). В пространстве Е", п)3 дело осложняется тем, что нам не известен объем множества (тела) в Е", ограыичениого гиперплоскостями. Для введения класса кубируемых тел в Е" будем считать известным способ вычисления объема частного вида тел в Е" — и-мерного прямоугольного параллелепипеда. Напомним (см.
$ 1 гл. 13 ч. !), что множество Е= [аь Ь11Х Х (ае, Ье) Х...Х(а,н Ь„'! всех точек х=(хь хы ...,и„) в Е", для которых а;~х;~Ьь 1=1, 2,...,п, называется и-ме рным координатным прямоугольным параллелепипедом. Если Ь,— а,-й для всех 1, то Я называют п-м е р н ы м к о о р д и н а тным кубом с ребром А. Точки (сь сь ..., с„), где с; равны либо аь либо Ьь назовем в е р ш и н а м и )г, а сегменты, соединяющие вершины пипа (сь сы...,с; ь аь сы1,...,с„) и (сь с,,... ..., с; ь Ьь с„ь ..., с„), — ребрами Я. Все ребра г1 параллельны координатным осям. По аналогии с Е', Ее, Е' естественно определить объем п-мерного прямоугольного параллелепипеда К как число, равное произведению длин всех его ребер, выходяпэих из одной вершины, т.
е. е как число р(Я)=П(Ь; — а,). 1 Назовем элементарным телом множество точек Е", представляющее собой объединение конечного числа и-мерных прямоугольных параллелепипедов, не имеющих общих внутренних точек, ребра которых параллельны осям координат. Объем любого элементарного тела нам известен и равен сумме объемов составляющих его параллелепипедов. Пусть теперь 0 — произвольная ограниченная область в Е".
Назовем н~ижним объемом области 0 точную верхнюю грань р,=п.(0) объемов всех содержащихся в 0 элементарных тел, а верхним объемом области 0 — точную нижнюю грань и"=ы'(0) объемов всех элементарных тел, содержащих область О. Легко убедиться в том, что и. «!а*.
Область 0 называется кубируемой, если ы,=ы'. При этом число !е(0) =в*(0) =в*(0) называется и-мерным объемом области 0 Гл. 3. двойные н л-кратные интегралы В полной аналогии со случаем плоской области доказывается следующее утверждение: для того чтобы и-мерная область Р была кубируемой, необходимо и достаточно, чтобы для любого е, »0 нашлись два элементарных тела, одно из которых содержит Р, а другое содержится в Р, разность объемов которых по модулю меньше числа е.
Поверхностью (или многообразием) п мерного объема нуль назовем замкнутое множество, все точки которого принадлежат элементарному телу как угодно малого и-мерного объема. Из приведенного утверждения получаем, что и-мерная область Р кубируема тогда и только тогда, когда граница этой области представляет собой многообразие и-мерного объема нуль. Определим и-кратный интеграл от функции п переменных Г(х) =Г(хь хь..., х,) сначала в и-мерном координатном прямоугольном параллелепипеде )т'. С этой целью производим разбиение Т параллелепипеда )т конечным числом .гиперплоскостей, параллельных координатным осям, на конечное число частичных и-мерных параллелепипедов. Для указанного разбиения Т в полной аналогии со случаем п=2 определяем интегральную, верхнюю и нижнюю сум|мы любой ограниченной в 1т' функции 1(х).
Теперь определим и-кратный интеграл от функции 1(х) по параллелепипеду Й как предел интегральных сумм прн стремлении к нулю диаметра разбиения Т параллелепипеда )т. Как и для случая п=2, теория Дарбу устанавливает нео 6 ход~имоеое н достаточное условие интегрируем ости в следующей форме: Для интегрируемости функции ~(х) в параллелепипеде Л необходимо и достаточно, чтобы для любого е)О нашлось разбиение Т параллелепипеда )т, для которого разность верхней и нижней сумм была меньше е.
Пусть теперь Р— произвольная замкнутая ограниченная и-мерная область, граница которой имеет и-мерный объем нуль, пкратный интеграл от функции ~ по области Р определяется как интеграл по п-мерному координатному прямоугольному параллелепипеду Я, содержащему область Р, от функции Р, совпадающей с ~ в Р и равной нулю вне Р. Для обозначения и-кратного интеграла от функции Г(х) по области Р естественно использовать один нз следующих символов: ) ~(х)йх=Ц, .
) ~(хп х„..., х„)йх,йха... йх„. (3.17) о о Отметим, что произведение дх=дх,йхе...йх„обычно называют элементом объем а в пространстве Е". Точно так же, как и для случая п=2, доказывается интегрируемость по и-мерной области Р любой непрерывной функции, а 5 4. Тройные н л-крнтные интегралы 135 также функции 1, обладающей в области Р 1-свойством '(т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
