В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ. Продолжение курса (PDF) (1111796), страница 20
Текст из файла (страница 20)
2,) 3 ' 2 Для завершения доказательства теоремы достаточно заметить,, что для всех достаточно больших номеров и справедливо неравенство 4А)/ и (1 — бг)" < к!'2. Следствие из теоремы 2.18. Если не только сама: г)>у>глупя 7(х), но и ее производные до некоторого порядка [г включительно непрерывны на сегменте (О, Ц ">, то существует последовательность многочленов (Р„(х)) такая, что каждая износ гедовательностей (Р„(х)), (Р '(х)), ..., (Р„!а>(х)) сходится: равномерно на сегменте (О, Ц соответственно к 1(х), 1'(х), ...
", 1!" (х). В самом деле, не ограничивая общности, мы можем считать, что каждая из функций 1(х), 1'(х), ..., 1!а>(х) обращается в нуль прн х=О и при х=1 ">, а при таких условиях функцию )'(х) можно продолжить на всю прямую, полагая ее равной нулю внв (О, Ц, так что продолженная функция и все ее производные до порядка >г включительно окажутся равномерно непрерывными на всей числовой прямой. Но тогда, обозначая через Р„(х) тот же многочлен (2.85),. что и выше, и повторяя рассуждения, проведенные при доказательстве теоремы 2.18, мы докажем, что каждая из разностей.
Р (х) — ~(х), Р,'(х) — 1'(х), ..., Рл!а>(х) — (!л>(х) "! Конечно, вместо [О, 1] можно взять [л, Ь[. 'в! Если бы г(х) не удовлетворяла зтнм условиям, то мы нашли бы мноточлен ра(х) степени 2й такой, что для функции я(х) =1(х) — рь(х) зти условии: были бы выполнены. 116 Гл. 2. Функциональные последовательности и ряды является бесконечно малой, равномерно относительно х на сегменте 0<к~1.
Замечание 1. Изложенное нами доказательство легко обобщается на случай функции пз переменных 1(хь хз, ..., х, ), непрерывной в пз-мерном кубе 0(х;~1 (1=1, 2, ..., пз). Совершенно аналогично теореме 2.18 доказывается, что для такой фУнкции 1(хь хз, ..., хж) сУществУет РавномеРно сходЯ. щаяся к ней в пз-мерном кубе последовательность многочленов от т переменных хь хь ..., х .
Замечание 2. Заметим, что фигурирующие в теореме 2.18 многочлены можно заменить функциями более общей природы, сохраняя при этом утверждение о возможности равномерного приближения такими функциями любой непрерывной функции 1. Договоримся называть произвольную совокупность А функций, определенных на некотором множестве Е, алгеброй, если "~: 1) ~+денА; 2) )йенА; 3) а1еиА прн произвольных уенА н де=А и при вещественном а. Иными словамн, алгебра есть совокупность функций, замкнутая относительно сложения и умножения функций и умножения функций на вещественные числа.
Если для каждой точки х множества Е найдется некоторая функция д~А такая, что д(х)дО, то говорят, что алгебра А не исчез а ет ни в одной точке х множества Е. Говорят, что совокупность А функций, определенных на множестве Е, разделяет точки м н о же от в а Е, если для любых двух различных точек х| и хз этого множества найдется функция 1 нз А такая, что )(х~) ~~(хз). Имеет место следующее замечательное утверждение: Т ео р е м а 2.19 (теорема Вейерштрасса — Стоуна за1). Пусть А — алгебра непрерывных на компактном з'> множестве Е функций, которая разделяет точки множества Е и не исчезает ни в одной точке этого множества. Тогда каждая непрерывная на множестве Е функция 1(х) может быть представлена в виде предела равномерно сходящейся последовательности функций алгебры А.
ьн Напомним, что символ 1~яА означает принадлежность 1 к А. ьн М. Стоун — современный американский математик. кн Напомним, что компактным называется замкнутое ограниченное множа. ство. Глава 3 ДВОЙНЫЕ И и-КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Во вводной главе ч. 1 были указаны важные задачи о вычислении площади криволинейной трапеции и о нахождении пройденного материальной точкой пути, приводящие к понятию однократного определенного интеграла.
Аналогичные «многомерныеь задачи, такие, например, как задача о вычислении объема нли задача о вычислении массы неоднородного тела, естественным образом приводят к рассмотрению двойных и тройных интегралов. В настоящей главе излагается теория и-кратных интегралов (и)2). Построение теории и-кратных интегралов проводится в полной аналогии с построением теории однократного интеграла.
Для более эффективного использования аналогии с однократным интегралом сначала вводится понятие двойного интеграла для прямоугольника. Затем вводится понятие двойного интеграла по произвольной области как с помощью прямолинейного, так и с помощью произвольного разбиения этой области. Построенная теория переносится на случай и-кратного интеграла.
В конце главы изучаются кратные несобственные интегралы. й !. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ДВОИНОГО ИНТЕГРАЛА 1. Определение двойного интеграла для прямоугольника, Рассмотрим произвольную функцию Цх, у), определенную всюду на прямоугольнике 11=1а<х(Ь]Х[с<у<сЦ 1рнс. 3.1).
Введем понятие интегральной суммы функции 1('х, у). у Разобьем сегмент 1а, Ь) на и частичных сегментов при помощи точек а=хс<х1<хз«...х = =Ь, а сегмент !с, а! на р частичных сегментов при помощи точек с = у«<у! <уз« ...у„= г~. Этому разбиению сегментов соответствует разбиение прямоугольника )1 прямыми, параллельными осям л! * 6 Ох и Оу, на и р частичных прямоугольников Рнс. 3.1 118 Гл. 3. двойные и и-кратвые интегралы Дц=(х» 1<к< ха)х(у~ 1< у <уД(у=1,2, ..., п; 1=1, 2, ...,р). Указанное разбиение прямоугольника Р обозначим символом Т. Разбиение прямоугольника Л, полученное из разбиения Т добавлением прямых, параллельных осям Ох и Оу, назовем измельчением разбиения Т и будем обозначать символом Т'.
Всюду в этой главе под термином «прямоугольник» мы будем понимать прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям. На каждом частичном прямоугольнике Яи выберем произвольную точку (Ка, тн). Положим Ьхе=хе — хе ь Ау~=у~ — у~ ~ и обозначим через Лйи площадь прямоугольника йаь Очевидно, Л)тем=бхе Лус Длину диагонали прямоугольника Деь равную у (Лхе) '+ (Лу~) а, назовем д и а м е т р о м этого прямоугольника Наибольший из д~иаметров всех частичных прямоугольников назовем диаметром р аз 6 ив н и я Т прямоугольника )т и обозначим символом Ь. Определение 1.
Число и р б= — б(1, Т)= ~' ') 1Д„, Чг)~Ям «-1 1=1 назовем интегральной суммой функции 1(х, у), соответствующей данному разбиению Т прямоугольника Я и данному выбору промежуточных точек (йе, Ч~) на частичных прямоугольни. ках разбиения Т. Определение 2. Число 1 называется пределом и н т егр ал ь н ых сумм (3.1) при Ь-«-О, если для любого положительного числа е можно указать такое положительное число 6, что гери Л(б независимо ог выбора промежуточных точек (йе, тн) на )ти выполняется неравенство 1б — 1) <е.
Отметим, что интегральную сумму (3.1) можно рассматривать как прямоугольную частичную сумму 5„, двойного ряда, а предел интегральных сумм (3.1) при Л О вЂ” как предел !ип5„» при и в Ф независимом стремлении и и р к бесконечности, т. е. как сумму соответствующего двойного ряда. (Элементы теории двонных рядов изложены в гл. 1,) Определение 3.
Функция 1(х, у) называется интегрируемой й (и о Р и ману) на прямоугольнике )т', если существует конечный предел 1 интегральных сумм этой функции при Л- О. Указанный предел 1 называется двойным интегралом: от функции 1(х, у) по прямоугольнику )т' и обозначается одним из следующих символов: 1 ) ) 1(х, у) дхду= ) ~ 1(М)аб.
$ !. Овредслеиие и условия существования двойного интеграла 1!9 Замечание. Точно так же, как ~и для однократного определенного интеграла (см. $1 гл. 9 ч. 1), методом доказательства от противного устанавливается, что любая интегрируемая на прямоугольнике 1г функция 1(х, у) является ограниченной на этом прямоугольнике. Поэтому везде в этой главе, кроме последнего параграфа, не оговаривая это дополнительно, будем рассматривать лишь ограниченные функции. 2.
Условия существования двойного интеграла для прямоугольника. Теория Дарбу, развитая в гл. 9 ч. 1 для однократного определенного интеграла, полностью переносится на случай двойного интеграла в прямоугольнике )т'. Ввиду полной аналогии мы ограничимся указанием общей схемы рассуждений. Составим для данного разбиения Т пгямоугольника Р две суммы: верхнюю сумму и 5= '~ )' М»»М»! (М»!=вор~(х, у)) »-! 1=1 ц и нижнюю сумму з= ~~ ~Г и»!Л)с»! (и»! =!п11(х„у)). »-!Ь ! "ц Справедливы следующие утверждения (доказательства их полностью аналогичны доказательствам, приведенным в п.
2 $ 2 гл. 9 ч. 1). У т в е р ж де н не 1. Для любого разбиения Т прямоугольника 1с при любом выборе промежуточньгх точек (9», т1!) на частичных прямоугольниках )с»! интегральная сумма о удовлетворяет неравенствам з(о:с5. Утверждение 2. Для любого гриксированного разбиения Т и любого числа з)О промежуточные точки ($», т)!)и-:Р»! можно вь!брать так, что интегральная сумма а будет удовлетворять неравенствам О (5 — о(е. Точки ($», т1!) л»ажно выбрать и таким образом, что интегральная сумма о будет удовлетворять неравенствам О(о — з(з. У т ве р ждени е 3.
Пусть Т' — измельчение разбиения Т прямоугольника гс и 5', з' — соответственно верхняя и нижняя сумлгь! разбиения Т'. Тогда справедливы неравенства з<з', 5'<5. Утверждение 4. Пусть Т' и Т" — любые два разбиения прямоугольника Я, 5', з' и 5", з" — верхние и нижние суммы этих разбиений соответственно. Тогда з'~5", зл(5'. Гк 3.
Лвойные и л-кратные интегралы Утвержден~не б. Множество (5) верхних сумм данной функции 1(х, у) для всевозможных разбиений прямоугольника )т ограничено снизу, Множество нижних сумм (э) ограничено сверху. Таким образом, существуют числа Х=1п1 (5), Х=впр (з), называемые соответственно верхним и нижним и н те гр ал а.м н Д а р 6 у (от функции 1(х, у) по прямоугольнику Я).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
