В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ. Продолжение курса (PDF) (1111796), страница 17

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 17)

Е 5. Равностепенная непрерывность последовательности функпиа 99 штрасса (см. $4 гл. 3 ч. 1) можно выделить сходящуюся подпоследовательность, которую мы обозначим так: (11(Х1), )12(Х1), ..., ~1„(Х1), ... Далее рассмотрим функциональную последовательность )11(Х), (12(Х), ..., (1 (Х), ... в точке хт. По теореме Больцано — Вейерштрасса из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность, которую мы обо. значим так: 121(Х2), 122(ХЗ), . °, 12а(хз), Таким образом, функциональная последовательность г21(Х), 122(Х) ~ .. ° 1 12в(Х) (2.54) является сходящейся и в точке х1, и в точке хз.

Далее рассматриваезл функциональную последовательность (2.54) в точке хз и выделяем из нее сходящуюся подпоследовательность (з1(хз), )зз(хз)..., )зз(хз), ... Продолжая аналогичные рассуждения, получим бесконечное множество подпоследовательностей ~„(х), гтз(х), ~12(х), ..., ~1„(х), ...; )".22(х), (22(х), ~зз(х), ..., (2„(х), ...; 121(х)~ 122(х) тзз(х). ° ° ° ~ 1за(х) ~аз(Х), ~„2(Х), Г„з(Х), ..., ~„„(Х), . причем подпоследовательность, стоящая в и-й строке, является сходящейся в каждой из точек х1, хз, ..., х„. Рассмотрим теперь так называемую «диагональнуюь последовательность 111 (Х), 122 (Х) > 1ЗЗ (Х) ~ .

° ~ 1ап (Х), ... Докажем, что эта последовательность равномерно сходится на сегменте (а, Ь). Для сокращения записи будем в дальнейшем обозначать эту диагональную последовательность (как и исходную последовательность) символом 1 (х), 6 (х), Ь (х), ", Ь (х), " (т. е. вместо сдвоенного индекса будем писать одинарный). Фиксируем произвольное е>0. Так как диагональная последо. вательность является равностепенно непрерывной на сегменте Гл, 2. Функциональные яоеледовательяостя я ряды [а, Ь), то для фиксированного е>0 найдется 6>0 такое, что каковы бы ни были две точки х и х из сегмента [а, Ь), связанные неравенством (х — х ~ <6, для всех номеров и справедливо неравен- ство (2.57у ~/„+я(х)-/ (х) ~ <е для всех п~М, всех натуральных р и любой точки х из [а, 6[.

Равномерная сходимость диагональной последовательности доказана Теорема 2.12 доказана. 3 а меч ание 1. В теореме Арцела вместо равномерной огра. ниченности последовательности (/„(х)) на сегменте [а, Ь) достаточно потребовать ограниченности этой последовательности хотя бы в одной то ч ке этого сегмента. В самом деле, справедливо следующее утверждение: если последовательность (/„(х)) равностгпвнно непрерывна на сегменте [а, Ь) и ограничена хотя бы в одной точке хо этого сегмента, то эта последовательность равномерно ограничена на сегменте [а, Ь). Для доказательства этого (/„(х) — /„(х„) [ <г/3. (2.55) Заметив это, разобьем сегмент [а, Ь) на конечное число отрезков длины, меньшей 6.

Из последовательности (х„) выберем конечное число по первых членов хь хт, ..., х„о настолько большое, чтобы в каждом нз упомянутых отрезков содержалась хотя бы одна из точек х„х„..., х„,. Очевидно, диагональная последовательность сходится в каждой из точек х„хя,..., х„,. Поэтому для фиксированного выше е>0 найдется номер й/ такой, что )/„.е,(х ) — /„(х ) [<г/3 (2.56у для всех пъ/т', всех натуральных р и всех пт=1, 2, ..., и,. Пусть теперь х — произвольная точка сегмента [а, Ь). Эта точка обязательно лежит в одном из упомянутых выше отрезков длины, меньшей 6. Поэтому для этой точки х найдется хоть одна точка х„(тп — один из номеров, равных 1, 2, ..., пе), удовлетворяющая условию ~х — х ~<6. В силу того что модуль суммы трех величин не превосходит суммы их модулей, можем записать: [ /и-~-р (Х) — Уе (х) [ ~; [ /ет.р (х) — /еч.р (х,е) [ + + [/.+, (х ) †/.(х )[ + 1/.

(х ) †/.(х)[. Второй член правой части (2.57) оценим с помощью неравен. ства (2.56), а для оценки первого и третьего членов правой части (2.57) учтем, что [х — х [<6, и используем неравенство (2.55), справедливое для любого номера и (а следовательно, и для любого п+р). Окончательно получим, что для произвольного е>0 найдется номер У такой, что $ З, Рвввостсвевввя всврсриввость последоватсльвостя функций 101 утверждения заметим, что по определению равностепенной непрерывности для е-1 найдется 6>0 такое, что колебание любой функции [„(х) на любом сегменте длины„не превышающей 6, не превосходит числа в=1. Так как весь сегмент (а, Ь) можно покрыть конечным числом по сегментов длины, не превышающей 6, то ко« лебание любой функции [„(х) на всем сегменте [а, Ь[ не превосходит числа по.

Но тогда из неравенства [1„(хс) [ <А, выражающего ограниченность последовательности ([„(х)) в точке хс, выте. кает неравенство [[„(х) ~~А+по, справедливое для любой точки х из сегмента (а, Ь) и выражающее равномерную ограниченность рассматриваемой последовательности на этом сегменте. Замечание 2. Установим достаточный признак равностепенной непрерывности: если последовательность (1'„(х)) состоит из дифференцируемых на сегменте (а, Ь) Функций и если последовательность производных ([„'(х)) равномерно ограничена на этом сегменте, то последовательность ([„(х)) равностепенно непрерывна на сегменте (а, Ь). Для доказательства возьмем на сегменте [а, Ь) две произволь.

ные точки х' и х" н запишем для функции )„(х) на сегменте [х', х") формулу Лагранжа (см. 3 3 гл. 6 ч. 1). Согласно теореме Лагранжа на сегменте [х', х") найдется точка й„такая, что [[„(х') — 1„(х„в) [~ )[„'($„) [ ° [х' — х" [. (258й Поскольку последовательность производных ()„'(х)) равномерно ограничена на сегменте [а, Ь), найдется постоянная А такая, что для всех номеров и справедливо неравенство [[„'(~„) [~А.

(2,59), Подставляя (2.59) в (2.58), получим [[ (х') — [„(хч) (~А[х' — х"[. (2.60) Фиксируем любое в>0, Тогда, взяв б=з/А и использовав (2.60)', получим, что для всех номеров и и для всех х' и х" из [а, Ь), связанных условием [х' — х" ~ <6, будет справедливо неравенство ([„(х') — [„(хв) [ <е. Равностепенная непрерывность последовательности (1„(х)) доказана.

В качестве примера рассмотрим последовательность (з(пах!и). Эта последовательность равностепенно непрерывна на любом сег. менте [а, Ь), так как на любом сегменте [а, Ь[ последовательность из производных (совах) равномерно ограничена. 3 а меч ание 3. Понятие равностепенной непрерывности можно вводить не по отношению к последовательности функций, а по отношению к любому бесконечному множеству функций. 102 Гл. 2. Функциональные последовательности н ряды й а. степенные Ряды 1.

Степенной ряд и область его сходимости. Степенным рядом называется функциональный ряд вида а, + у а„х"=а,+ а,х+а,х'+ л=! (2.61) где ао, а!, аа, ..., а„, ... — постоянные вещественные числа, называемые к о э ф ф и ц и е н т а м и ряда (2.61) . Постараемся выяснить, как устроена область сходнмости любого степенного ряда. Заметим, что всякий степенной ряд сходится в точке х=О, причем существуют степенные ряды, сходящиеся только в этой точке (например, ряд Х п(хо). и ! Составим с помощью коэффициентов а„ряда (2.61) следую. щую числовую последовательность; 1у'~а„) ) (и = 1, 2, ...). (2.62) Могут представиться два случая: 1) последовательность (2.62)' является неограниченной; 2) последовательность (2.62) является ограниченной.

В случае 2) у последовательности (2.62) существует конечн ы й верхний предел (см. п. 1 $ 3 гл, 3 ч. 1), который мы обозна. чим через Е. Этот верхний предел Е заведомо неотрицателен (так как все элементы последовательности (2.62) неотрицательны, а следовательно, и любая предельная точка этой последовательно. сти неотрицательна). Подводя итог, мы приходим к выводу, что могут представиться следующие три случая: 1) последовательность (2.62) является неограниченной; П) последовательность (2.62) является ограниченной и имеет конечный верхний предел Е>0; П1) последовательность (2.62) является ограниченной и имеет верхний предел Е=О. Докажем теперь следующее замечательное утверждение.

Теорема 2.13 (теорема Коши — Адамара). 1. Если последовательность (2.62) не ограничена, то степенной ряд (2.61) сходится лишь при х=О. 1!. Если последовательность (2.62) ограничена и имеет верхний предел Е>0, то ряд (2.61) абсолютно сходится для значений х, удовлетворяюш,их неравенству 1х~ (1/Е, и расходится для значений х, удовлетворяющих неравенству ~х~ >1/Е. П1. Если последовательность (2.62) ограничена и ее верхний предел Е=О, то ряд (2.61) абсолютно сходится для всех значений х.

5 6. Степенные ряды Доказательств о. 1, Пусть последовательность (2.62) не ограничена. Тогда при хФО последовательность ~х~у ) а„~ =у' 1а„х ) Таким образом, начиная ство у )а„х"~ = с этого номера и, справедливо неравен. их — Е+е/2 т. е. ряд (2.61) абсолютно сходится по признаку Коши (см. п. 3 5 2 гл. 1). б) Фиксируем теперь любое х, удовлетворяющее неравенству )х!>1/Ь.

Тогда найдется з>0 такое, что 1х~ >1/(Ь вЂ” е). По определению верхнего предела из последовательности (2.62) можно ия выделить подпоследовательность ( р' ~а„„~ ) (/з= 1, 2, ...), сходя. щуюся к Ь. Но это означает, что, начиная с некоторого номера Й, справедливо неравенство Ь вЂ” е < р )а„~~ < Ь+а. Таким образом, начиная с этого номера й, справедливо неравен- ство р/ Ь вЂ” е ~а„х"Я~ = 1х17 1а„1 ) — =1, «, — 'г' или 1а„~х"Я~ ) 1, откуда видно, что нарушено необходимое условие сходимости ряда (2.61) и этот ряд расходится. также не ограничена, т. е. у этой последовательности имеются члены со сколь угодно большими номерами а, удовлетворяющие й неРавенствУ ф' 1айхи~ )1, или )аихи~ > 1. Но это означает, что для ряда (2.61) (при хФО) нарушено необходимое условие сходимости (см.

Характеристики

Список файлов книги