В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ. Продолжение курса (PDF) (1111796), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Будем говорить, что последовательность (25) сходится к функции )(х) раен аме рн о на иноке с т в е В ! Понятия сходимости в тонне и равномерной сходимости нв множестве 7! (х), если для любого е)0 найдется номер Ф(е) такой, что для всех номеров и, удовлетворяюи(их условию п))У(е), и для всех точек х множества (х) справедливо неравенство [1.(х) — 1(х) [< . (2.6) Замечание 1. В этом определении весьма существенно то, что номер У зависит только от е и не зависит от точек х, т, е.
утверждается, что для любого е)0 найдется универсальный номер Л>(е), начиная с которого неравенство (2.6) справедливо сразу для всех точек х множества (х). Замечание 2. Отметим, что равномерная на множестве (х) сходимость функциональной последовательности (1,(х)) к функции !"(х) эквивалентна бесконечной малости числовой последовательности (е,), каждый член е, которой представляет собой точную верхнюю грань функции [)„(х) — ) (х) [ на множестве (х), 3 а м е ч а н и е 3.
Из определения 1 непосредственно вытекает, что если последовательность (1„(х)) равномерно сходится к [(х) на всем множестве (х), то ()„(х)) равномерно сходится и 1(х) и на любом подмножестве множества (х). Приведем пример, показывающий, что из сходимости функциональной последовательности (1„(х)) на множестве (х) не вытекает, вообще говоря, равномерная сходимость (!'„(х)) на этом множестве.
Обратимся к последовательности (2.3) из примера 1', рассмотренного в п. 1. В п. 2 было доказана, что эта последовательность сходится на всем сегменте [О, 1] к предельной функции 1 при х=О, 0 при 0< к<1. Докажем, что эта последовательность не сходится равнол>ермо на [О, 1]. Рассмотрим последовательность точек х,=1/(2п) (п=1, 2, ...), принадлежащих сегменту [О, 1]. В каждой из этих точек (т. е.
для каждого номера и) справедливы соотношения 7"„(х„) = соз — = —, ) (х„) = О. и > 2 4 2 Таким образом, для любого номера и [(е(х ) [(хв) [ =)>272; следовательно, при е()>2/2 неравенство (2.6) не может выполняться сразу для всех точек х сегмента [О, 1] ни при одном номере п. Это и означает отсутствие равномерной на сегменте [О, 1] сходимости рассматриваемой последовательности. Гл.
2. Фуннцнональные последовательностн н ряды 72 Отметим, что рассматриваемая последовательность (2.3) сходится к предельной функции 1(х) равномерно на кажаом сегменте [6, 1], где 6 — любое фиксированное число из интервала 0<6<1. В самом деле, для любого выбранного 6 найдется номер й ь на- чннаЯ с котоРого все элементы 1л(х) Равны нУлю на всем сегменте [6, 1]. Так как и предельная функция [(х) равна нулю на сегменте [6, 1], то левая часть (2.6) равна нулю на всем сегменте [6, 1], начиная с найденного номера 67о.
Таким образом, начиная с номера Ув, неравенство (2.6) справедливо для всех х из сегмента [6, 1] при любом е)0. Определение 2. Функциональньш" ряд называется равномерно сходящимся на множестве (х) к сумме 5(х), если последовательность (5„(х)) его частичных сумм сходится равномерно на множестве (х) к предельной функции 5(х). Заметим, что функциональный ряд (2.4) из примера 2' п. 1 сходится к сумме еа а равномерно в круге ха+ут(г' произвольного фиксированного радиуса г. В самом деле, всюду в этом круге [х[(г, [у[(г, и потому [х+у]([х[+]у](2г, откуда в силу опенки (б.б2*) из п.
2 $9 гл. б ч. 1 получаем, что всюду в указанном круге [Я„»1(х+у)[ ~ е'". (п+ 1)! [(л+р(х) — [л(х) [ <е (2.7) для всех номеров и, удовлетворяющих условию п)67(е), всех натуральных р (р=1, 2, ...) и всех точек х из множестви (х). Теорем а 2.2. Для того чтобы функциональный ряд Р ) иа(х) л-! (2.
8) равномерно на множестве (х) сходился к некоторой сумме, необхо- димо и достаточно, чтобы для произвольного е>0 нашелся номер 1т'(е), гарантирующий справедливость неравенства Из последнего неравенства вытекает, что Рл»я (х+у) стремится к нулю при и-а-оо равномерно в круге ха+у'(гт, а это и означает, что ряд (2.4) сходится равномерно в этом круге к сумме е еа. 4. Критерий Коши равномерной сходимости последовательности (ряда).
Справедливы следующие фундаментальные теоремы. Т е о р е м а 2.1. Для того чтобы функциональная последовательность ([ (х)) равномерно на множестве (х) сходилась к некоторой предельной функции, необходимо и достаточно, чтобы для прои вольного е>0 нашелся номер йт(е), гарантирующий справедливость неравенства Е г. Понятия схонимости в точке и равномерной сходимости на множестве 73 л-'ер ие(х)~ С е а л+г (2.9) для всех номеров п, удовлетворяющих условаю гг)Лг(е), всех натуральных р (р=!, 2, ...) и всех точек х множества (х), Достаточно провести доказательство только теоремы 2.1, так как теорема 2.2 является следствием теоремы 2.1 (заметим, что в левой части (2.9) под знаком модуля стоит разность 5л,(х)— — 5.(х) частичных сумм с нолгерами п+р и и функционального ряда (2.8)).
Доказательство теоремы 2.1. Необходимость, Предположим, что последовательность (! (х)) сходится равномерно иа множестве (х) к предельной функции !(х). Тогда, фиксирован произвольное е>0, мы найдем для него номер 1т'(е) такой, что неравенство (2.10) (7 л (х) — 7(х)( ( —.
2 (2.1!) Так как модуль суммы двух величин не превосходит суммы их модулей, то в силу (2.10) н (2.1! ) получим, что [~„.лр(х) — 7„(х) ! = ) [~,+р(х) — 7(х)) + [7'(х) — Гл(х)) ! -; ч:, Ц +р (х) — 7 (х) [ + [! (х) — )л (х) [ е е (для всех номеров и, удовлетворяющих условию и)Ж(е), всех натуральных р и всех х из множества (х)). Необходимость доказана. Достаточность. Предположим, что для произвольного е>0 существует номер !У(е) такой, что неравенство (2.7) справедливо для всех номеров п, удовлетворяющих условию гг)гт'(е), всех натуральных р и всех точек х множества (х).
Из неравенства (2.7) и из критерия Коши сходимости числовой последовательности (см. п. 3 3 3 гл. 3 ч, 1) вытекает сходимость последовательности (7„(х)) в каждой точке х множества (х) и существование определенной в каждой точке х множества (хг) предельной функции 7(х). будет справедливо для всех номеров п, удовлетворяющих условию и))Н(е), и для всех точек х множества (х). Если р — любое натуральное число, то при п)глг(е) номер и+р тем более будет удовлетворять условию и+р)У(е), а поэтому для всех номеров п, удовлетворяющих условию п)гт'(е), всех натуральных р и всех точек х множества (х) тем более будет справедливо неравенство 74 Гл.
2. Функциональные последовательности и ряды Фиксировав произвольный номер и, удовлетворяющий условию п)!у(е), и произвольную точку х множества (х), перейдем в неравенстве (2,7) к пределу при р- ьс. Используя теорему 3.13 п. 4 $1 гл. 3 ч. 1, мы получим, что для произвольного номера и, удовлетворяющего условию п.~А7(е), и произвольной точки х множества (х) справедливо неравенство ~~(х) — („(х) ~(е(2е. Это и доказывает, что последовательность (1„(х)) сходится к предельной функции 1(х) равномерно на множестве (х). Достаточность доказана. Наличие критерия Коши не снимает вопроса об установлении удобных для приложений достаточных признаков равномерной сходнмости функциональных последовательностей и рядов, к которому мы сейчас и переходим.
$2. ДОСТАТОЧНЫЕ ПРИЗНАКИ РАВНОМЕРНОА СХОДИ%ОСТИ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И РЯДОВ О ), и (х) ь 1 (2.12) определен на множестве (х) пространс~ва Е~ и если существует сходящийся числовой ряд (2.13) такой, что для всех точек х множества (х) и для всех номеров й справедливо неравенство 1иа(х)~ (са, (2.14) то функциональный ряд (2.12) сходится равномерно на множестве (х). В п.
1 $1 мы убедились в том, что изучение функциональных рядов эквивалентно изучению функциональных последовательное. тей. С этой точки зрения каждый признак равномерной сходимости имеет две эквивалентные формулировки: одЪу в терминах функциональных рядов, а другую — в терминах функциональных последовательностей. В зависимости от удобства мы будем формулировать устанавливаемые признаки либо в терминах последовательностей, либо в терминах рядов (а иногда будел! приводить обе эквивалентные формулировки). Т е о р е м а 2.3 (признак Вейерштрасса).
Если функциональньай ряд 4 2, Достаточные признаки равномерной сходииости Д о к а з а т е л ь с т в о. Фиксируем произвольное г>0. Так как числовой ряд (2.13) сходится, то в силу критерия Коши сходимости числового ряда (см. теорему !.1 из гл. 1) найдется /т!(г) такое, что «+« сь~г (2.15) ь=л+! для всех номеров н, удовлетворяющих условию п)У(е), и всех натуральных р. Из неравенств (2.14) и (2.15) и из того, что модуль суммы р слагаемых не превосходит сумму их модулей, получаем «л-р «+р «+« ~," 'иь~ ~( ), ~1иь( < ~' с, с. г ь-«+! ь=«ц! ь=«+! (для всех номеров н, удовлетворяющих условию п)Л!(г), всех натуральных р и всех точек х множества (х)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
