В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ. Продолжение курса (PDF) (1111796), страница 11
Текст из файла (страница 11)
137); 1!) абсолютная сходимость ряда (1.137) влечет абсолютную сходимость двойного ряда (1.130); 111) абсолютная сходимость ряда (1.130) влечет сходимость повторного ряда (1.127), у которого все члены заменены их модулями. Для доказательства утверждения 1 обозначим через 5л сумму повторного ряда (!.127), у которого все члены заменены их модулями, т. е.
ряда 65 ф 8. Элементарная теория двойных и повторных рядов получающегося при замене членов ряда (1.137) их модулями, то заведомо можно найти столь большие номера пт и п, что все члены ряда (1.137), входящие в его частичную сумму с номером г, будут содержаться в первых пт строках и первых а столбцах матрицы (1.125). Но тогда в силу (1.! 38) будет справедливо неравенство 5,*(5е. Это неравенство означает, что последовательность частичных сумм ряда с неотрицательными членами (1.137') ограничена.
Следовательно, этот ряд сходится (в силу теоремы 1.2). Для доказательства утвержденна 1! предположим, что ряд (1.13?') сходится. Тогда в силу теоремы 1.2 последовательность его частичных сумм (5,') ограничена. Фиксируем произвольную частичную сумму 5 .* двойного ряда из модулей (1.130'). Заведомо найдется номер г настолько большой, что г-я частичная сумма ряда (!.137) будет содержать все члены, входящие в частичную сумму 5 „ряда (1.130). Но тогда частичная сумма 5с„в ряда (1.!30') не превосходит частичной суммы 5,* ряда (1.137'). Поэтому множество всех частичных сумм двойного ряда (1.130') ограничено. Таким образом, по теореме 1.22 этот ряд сходится.
Остается доказать утверждение 1П. Пусть сходится двойной ряд нз модулей (1 130'). Для доказательства сходимости повторного ряда из модулей (1.127') в силу теоремы 1.21 достаточно доказать сходнмость каждого из рядов У1аа,(, 4=1, 2, (1. 139) ьы Для этого в силу теоремы 1.2 достаточно доказать, что каждый из рядов (1.139) имеет ограниченную последовательность частичных сумм, но это последнее очевидно, ибо при любом й и любом номере п сумма ограничена суммой двойного ряда из модулей (1.130').
Теперь нам остается доказать, что суммы всех трех рядов (1.127), (!.130) н (1.137) совпадают ззй Обозначим через 5 сумму двойного ряда (1.130). Очевидно, что и сумма ряда (1.137) равна 5, так как в силу абсолютной сходимости этого ряда его сумма не меняется при изменении порядка следования "' Аналогичные рассуждения псзноляют заключить, что и сумма повторного ряда (1.128) совпадает с суммамн указанных трех рядов. 3 ззк. зб Гл. 1. Числовые ряды его членов и этот порядок можно изменить так, что частичные суммы после изменения порядка будут содержать в качестве подмножества частичные суммы 5 „двойного ряда (1.130). Чтобы убедиться в том, что и сумма повторного ряда (1.127Г также равна 5, достаточно заметить, что нз сходимости рядов (1.139) вытекает сходимость рядов (1,126), и сослаться на теорему 1.21. Теорема 1.24 полностью доказана.
Глава 2 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ Для представления различных функций в математическом анализе широко используются ряды и последовательности, членами которых являются не числа, а функции, определенные иа некото,ром фиксированном множестве. Такие ряды и последовательности, называемые функционал ьн ы м и, всесторонне изучаются в настоящей главе.
й е понятия сходимости в точке и РАвиомеРиои сходимости НА миожестве Я ив (Х) ь мт (х) + ия (х) +... + и„(х) + .. в 1 (2.1) о В случае гп-мерного евклидова пространства Е элементами множества ,(л) являются точки к (хь хв .,„ к ) с координатами ко хв ..., к, 1. Понятия функциональной последовательности и функциоатального ряда. Предположим, что на числовой прямой Е' или в т-мерном евклидовом пространстве Е задано некоторое множество (х)'~.
Если каждому числу и из натурального ряда чисел 1, 2„... ..., и, ... ставится в соответствие по определенному закону некоторая функция )„(х), определенная на множестве (х), то множество занумерованных функций ),(х), 1я(х), ..., 1,(х), ... мы и будем называть функциональной последов а тель постыл. Отдельные функции )„(х) будем называть членами или э л ем е н т а м и рассматриваемой последовательности, а множество (х), на котором определены все функции 1„(х), будем называть о б л а с т ь ю о п р е д е л е н и я этой последовательности.
Заметим, что если область определения (х) является множеством в т-мерном евклидовом пространстве Е", то каждая функция )„(х) ЯвлЯетсЯ фУнкцией пт пеРеменных ) (х) =1„(хь х,, ..., х ), где ль хя,..., х — координаты точек х. Для обозначения функциональной последовательности мы, как правило, будем использовать фигурные скобки:(1л(х)), Рассмотрим функциональную последовательность (и„(х)), об.ластью определения которой является некоторое множество (х).
Формально написанную сумму Гл. 2. Функциональные иоследоиательности и ряды его частичных сумм и, наоборот, каждой функциональной последовательности (2.2) однозначно соответствует функциональиыи ряд (2.1) с членами и,(х) =5,(х), ил(х) =5н(х) — 5.,(х) прни'-"2. П р и м е р ы. 1'. Рассмотрим последовательность функций ()„(х)), каждая из которых определена на сегменте 0(х(1 м имеет вид л ох 1 ~ сок — при 0<х-ъ —, („(х) = 0 при — <х<1. л Па рнс. 2.1 приведены графики функций ~~(х)* 1т(х) и 1л(х) ластью определения функциональной последовательности (2.3р (2.3р Рис.
2Л является сегмент (О, 11. Заметим, что каждая функция )а(х) не- прерывна на сегменте (О, 1]. бесконечного числа членов указанной функциональной последовательности будем называть функциональным рядом. При этом отдельные функции и„(х) мы будем называть ч л ена и и рассматриваемого ряда, а множество (х), на котором определены эти функции, будем называть о б л а с т ь ю о п р е д е л ен и я этого ряда. Как и в случае числового ряда, сумму первых и членов функционального ряда (2.1) будем называть а-й ч а с т и ч н о й с у ммой этого ряда. Отметим, что изучение функциональных рядов совершенно эквивалентно изучению функциональных последовательностей, ибо каждому функциональному ряду (2.1) однозначно соответствует функциональная последовательность 5~(х), 5т(х), ..., 5„(х), ... (2.2): 6 1, Понятия сходимости в точке и равномерной сходимости на множестве 69 2'.
Рассмотрим функциональный ряд 1 ' т!' У) — 1 + + У + ( У) + + ( У) + (2 4) М 1! 2! л! а-! областью определения которого является плоскость Е'=( — < (Х(оо, — оо(у(оо). Используя разложение по формуле Маклорена функции и и' и" е"=1+ — + — + ... + — +)сн., ! (и) 1! 2! л! (см. п. 2 $9 гл. б ч. 1), мы придем к выводу, что (л+1)-я частичная сумма 1+ х-~-У + (х+У)в 1х+У)" 1! 21 ' л! ряда (24) отличается от функции е" и на величину И„е!(х+у), где Р„+!(и) — остаточный член в формуле Маклорена для е".
2. Сходимость функциональной последовательности (функционального ряда) в точке и на множестве. Предположим, что областью определения функциональной последовательности (функционального ряда) является множество (х) пространства Е"'. Фикси ем п оизв хо=(хь хь ..., х ) множества (х) н рассмотрим все члены функциональной последовательности (функционального ряда) в этой точке х,. При этом получим числовую последовательность (числовой ряд). Если указанная числовая последовательность (числовой ряд) сходится, то говорят, что функциональная последовательность (Фу ю лр с * хааамв.
Множество всех точек х,, в которых сходится данная функциональная последовательность (функциональный ряд), называется о б л а с т ь ю с х о д и м о с т и этой последовательности (ряда) . В конкретных ситуациях область сходимости может совпадать с областью определения, являться подмножеством области определения илн вообще быть пустым множеством. Соответствующие примеры приведены ниже. Предположим, что функциональная последовательность (1„(х)) имеет в качестве области сходимостн некоторое множество (х).
Совокупность пределов, взятых для всех точек х множества (х1, порождает множество всех значений вполне определенной функции )(х), определенной на множестве (х). Эту функцию называют п р е дел ь н о й ф у н к ц и е й функциональной последовательности ()„(х) ). Аналогично, если функциональный ряд (2,1) имеет в качестве области сходнмости некоторое множество (х), то на этом множест- 70 Гл. 2. Функциональные последовательности н ряды ве определена функция Б(х), являющаяся предельной функцией последовательности частичных сумм этого ряда и называемая его с у м м о й. Последовательность (2.3) из рассмотренного в предыдущем пункте примера 1' имеет в качестве области сходимости весь сегмент 0<х<1. В самом деле, !',(0) =1 для всех номеров п, т. е.
в точке х=О, последовательность (2.3) сходится к единице. Если же фиксировать любое х из полусегмента 0<х<1, то все функции 1„(х), начиная с некоторого номера (зависящего, конечно, от х), будут в этой точке х равны нулю. Отсюда следует, что в любой точке х полусегмента 0<х<1 последовательность (2.3) сходится к нулю.
Итак, последовательность (2.3) сходится на всем сегменте 0<х<! к предельной функции ! (х), имеющей вид (1 при х=О, 10 при 0<х<1. График этой функции изображен на рис. 2.2. Сразу же отметим, что эта функция не является непрерывной на сегменте (О, 11 (она имеет разрыв в точке х=О справа). Убедимся теперь в том, что ряд К~) (2.4) из рассмотренного в предыду- щем пункте примера 2' имеет в кат честве области сходимости всю бесконечную плоскость Е'=( — со (х( <оо, — оо(у<со), В самом деле, в п. 2 $ 9 гл.
б ч. 1 доказано, что остаточный член тены(и) в формуле Маклорена для функции е" стремится к нулю при и для любого вещественного и. е Это и означает, что (и+1)-я частичная сумма Бн.ы(х, у) ряда (2.4) отличается от е"+е на величину Я,+~ (х+у), стремящуюся к нулю при и — ьоо в каждой точке (х, у) плоскости Еа. Итак, ряд (2.4) сходится на всей плоскости Еа, и его сумма равна е"еа. 3. Равномерная сходимость на множестве. Предположим, что функциональная последовательность 1,(х), !а(х), ..., 1„(х), ... (2.5) сходится на множестве (х) пространства Е~ к предельной функции )(х). О п е р ел ел е н и е 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
