В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ. Продолжение курса (PDF) (1111796), страница 7
Текст из файла (страница 7)
позволяют нам утверждать справедливость неравенства (1.85) (при всех п~У и для любого натурального р). В силу критерия Коши теорема 1ЛЗ доказана. Следствие 1 из теоремы 1.12 (признак Днрнхле— Абеля). Если ряд (1.8! ) обладает ограниченной последовательностью частичных сумм, а (о») представляет собой невозрастающую последовательность, сходящуюся к нулю, то ряд (1.82) сходится. Достаточно заметить, что невозрастающая сходящаяся к нулю последовательность является последовательностью с ограничен.
ным изменением, ибо для нее и-я частичная сумма 5„ ряда (1Л91 равна о~ — о„»» и имеет предел, равный оь Чтобы сформулировать еще одно следствие из теоремы 1.12 введем понятие ряда Лейбница. Определение 2. Назовем ряд знакочередующимся, если все его члены с нечетными номерами положительны, а все члены с четными номерами отрицательны. Определение 3, Знакочередующийся ряд, модули членов которого образуют невозрастающую сходящуюся к нулю последовательность, назовем рядом Лейбница.
Следствие 2 из теоремы 1.12 (признаки Лейбница). Всякий ряд Лейбница сходится. В самом деле, всякий ряд Лейбница можно записать в виде Х ( 1) о»=оз па+па оа+ ° »-1 Гл. 1. Числовые ряды Так как 5в„! — 5,„=о,„, то каждая из сумм 5я„и 5я„! отклоняется от 5 не более чем на ов„. Отсюда и из того, что оя„!~ ъря„, вытекает, что для любого номера и справедлива оценка !5я — 5~ <р„.
Эта оценка играет важную роль для приближенного вычисления суммы ряда Лейбница с помощью его частичной суммы. Примеры. 1'. Выше с помощью формулы Маклорена для' функции 1п(1+х) мы уже доказали сходимость ряда 1 1 1 1 1 1 — — + — — +...+ — — + 2 3 4 2к — 1 2я Заметим, что сходимость этого ряда сразу вытекает из признака Лейбница. 2'. Изучим вопрос о сходимости ряда 1 2 1 1 2 ! ! 2 1+ — — — + — + — — +... + + — — +.. 2 3 4 3 б ЗД вЂ” 2 ЗД вЂ” 1 ЗЬ 1 Этот ряд является рядом вида (1.82) при од= —, и!=1, ив= к =1, ив=-2, и!=1, ив=1, ие=-2, ...
Легко видеть, что последовательность частичных сумм ряда (1.81) с такими ив имеет вид 1, 2, О, 1, 2, О, ..., т. е. является ограниченной. Так как последовательность (1/й) не возрастает и сходится к нулю, то исследуемый ряд сходится по признаку Дирихле Абеля. ъ ~ сов як 3'. Выясним вопрос о сходимости ряда ~ —, где х — нее е=! которое фиксированное вещественное число. Пользуясь обозначе! виями теоремы !.13, положим ив=созйх, се= —. Оценим послек довательность частичных сумм (5„) ряда ~' и„. Поскольку !для в ! любого номера й з(п (й+ — ) х — з!п(й — — ) х=2 з)п — созйх, 2) ~ 2) 2 то, суммируя это соотношение по й от 1 до л, получим е 1! .
'к . к с-~ к з(п (л+ — ) х — з1 и — = 2 з(п — ~ соз йх = 25я з)п —. 2) 2 2 2 д=! 41 $5. Арифметические операции яад схпдяп!ямяся рядами Отсюда 1'!,, х 5!и (л+ ~ х — йп 5„= х 2яп— 2 Таким образом, для любого х, не кратного 2я, последова. тельность частичных сумм (5„) ограничена: 15„! ~< ~мп— По теореме 1.13 рассматриваемый ряд сходится для любого значения х, не кратного 2я. Если же х кратно 2я, то рассматриваемый ряд превращается в гармонический и, как доказано выше, расходится.
4 а. АРиФметические ОпеРАции ИАд СХОДЯЩИМИСЯ РЯДАМИ В этом параграфе мы рассмотрим вопрос о возможности почленного сложения и перемножения сходящихся рядов. Теорема 1.14, Если два ряда ~' ие и ~ ое сходятся и е-! я 1 имеют суммы, соответственно равные (х' и У, то и ряд О ) ' (ие -Е ое) сходитсЯ и имеет сУммд, РавнУю (У~ У, е-! Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим и-е частичные суммы рядов (их~се), 1" их и ~ ое, соответственно через 5„, (1„и У„. е-! е=! е=! Тогда, очевидно, 5„=У„~- У„. Так как 1пп (У„=(У, 1!гп У„= У, то и-~о и-~ согласно теоремам 3.9 и 3.10 ч. 1 существует предел 1ип5„= л о = с! ~ У.
Теорема доказана. Таким образом, любые сходящиеся ряды можно почленно складыватн и вычитать'. Переходя к вопросу о возможности по. членного перемножения рядов, докажем следующее утверждение. Теорема 1.15. Если два ряда ') ие и )' ое сходятся абсое=! х-! лютно и имеют сумме!, соответственно равные (У и У, то ряд, составленный из всех произведений вида иео! (й=1, 2, ...; 1 =1, 2,,), занумерованных в каком угодно порядке, также сходится абсолютно и его сумма равна УУ.
Гл. !. Числовые ряды Доказательство. Обозначим через !о!, соя, со„... произведения вида иео! (1=1, 2, ...; 1=1, 2, ...), занумерованные в каком угодно порядке. Докажем, что ряд ~~ ~и!1 сходится. с=! Пусть 5„— и-я частичная сумма этого ряда. Сумма 5„состоит из членов вида ~иео!~. Среди индексов й и 1 таких членов, входя!цнх в сумму 5„, найдем наибольший индекс, который мы обозначим через т.
Тогда 5„.ч',(~и!~+~ив~+...+~и !)(~о!~+/ое/+...+!о ~), (!.89) В правой части неравенства (1.89) стоит произведение пе-х ча° а Ф стичных сумм рядов ~)' 1ие! и ) !ое~. В силу сходимости ука. и ! и-! ванных рядов с неотрицательными членами все их частичные суммы (а следовательно, и их произведение) ограничены. Поэтому ограничена и последовательность частичных сумм (5 ), а это доказывает сходимость ряда Я !со!1, т. е.
абсолютную сходимость к-! ряда )Г со Г=! Остается доказать, что последний ряд имеет сумму 5, равную УУ. Так как этот ряд сходится абсолютно, то в силу теоремы 1.11 его сумма 5 не зависит от порядка, в котором мы его суммируем. Какую бы мы ни взяли последовательность (нли подпоследовательность!'>) частичных сумм этого ряда, она сходится к числу 5. Но в таком случае сумма 5 ряда Я и!! заведомо рав. с=! на И~, так как именно к этому числу сходится подпоследовательность иу частичных сумм этого ряда вида )р' =(и!+ив+...+и,„) (о!+ов+...+о,„).
Теорема доказана. ~В Ю Произведение рядов ~~' ие и ~ о„для многих целей удобе=! е=! но записывать в специальном виде: Д," ие) ~~~~ о„~ и!о!+ (и!оя+ иео!)+... +(иере+ иере !+ е-! 'Ф-! ... +иео,)+.... ио Си, утверждение 1' и. ! ф 3 гл. 3 ч. !. 4 5. Арифметические операции над сходящимися рядами 43 Т е о р е м а 1.16 (теорема Мертенса 'е1) . Ряд, полученный перемножением двух рядов указанным специальным способом, сходится к произведению сумм перемнозкаемых рядов в случае, когда один из перемножаемых рядов сходится абсолютно, а другой — сходится хотя бы условно. Пусть, например, ряд хр' и» сходится абсолютно, а ряд »-1 ,т,о» сходится хотя бы условно. Обозначим и-е частичные »=1 суммы указанных рядов соответственно через суммы соответственно через с) и У.
Положим с)„и У„, а их тв =и,о„+и,о„,+...+и„оь )т я ~1+Щя+ ° +а!я. Достаточно доказать, что 1пп )У„=И~. Элементарно проверя. я а ется, что 1р„=и!У„+и,У„!+...+и„У!. и В силу сходимости ряда ),'о» его остаток ая У вЂ” У„яв. » 1 ляется бесконечно малой, а следовательно, и ограниченной последовательностью, т.
е. существует постоянная М такая, что )а ) ~М для всех номеров и. Заметим, что %'„=и1(У вЂ” ая)+ит(У вЂ” а„!)+...+и„(У-а!)=() У вЂ” Р„ "1 Мертеис Франц Карл Иозеф — немецкий математик (1840 — 1927). где б„=и!а„+ита 1+...+и„а1. Так как 1пп У„ =,У, то достаточно доказать, что последовая.ч ю тельность (р„) является бесконечно малой. Так как ряд ~' ия »=1 сходится абсолютно, то, фиксировав произвольное е>0, найдем е для него такой номер пс, что ~, [и»)( —. Кроме того, 2М » е+! можно утверждать существование постоянной М! такой, что я )' [и»[< М, для любого номера и.
» 1 Представив теперь б„в виде суммы двух сумм р„=[и!а„+...+и, а Н- !+[ищ+1ая- +...+и„а11 и выбрав по найденному номеру пт номер и! настолько боль. Гл. 1. Числовые ряды в шим, что 1а»)( — при Й)п! — и! (это можно сделать в си- 2М! лу бесконечной малости (а )), с помощью четырех неравенств Ю и 1и»! ( —, ~ ~ 1и» ) ( М», 1а„~ ( М и 1а»1(— 1 » а+1 » ! (при й) л,— и») убедимся в том, что при лъп! каждая квадратная скобка в выражении для й по модулю меньше числа е/2. Отсюда следует, что ~й 1<е при пъ-л!. В силу произвольности е)0 сформули.
рованное утверждение доказано. 0 Ю Замечание. В случае, если ряды ~~! и» и ~ е» оба схо. » ! »-! дятся только условно, почленное перемножение этих рядов даже указанным специальным способом приводит, вообще говоря, к расходящемуся ряду. О О Достаточно в качестве каждого из рядов ~ и» и ~ е» »-! »=1 взять условно сходящийся (по признаку Лейбница) ряд О Е;— ( !)»-1 и убедиться в том, что для таких рядов опреде. гсГ »-! ленные выше величины и!„имеют вид 1 1 1 ~~Т Р'л ')~2 Ул — 1 ул ~~ Так как в фигурных скобках стоит л положительных слагаемых, каждое из которых не меньше числа 1|п, то 1 а!„~ ~1, а это означает, что нарушено необходимое условие сходимости ряда Х ° и!„— стремление к нулю его л-го члена.
в ! й Е. БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 1. Основные понятия. К понятию числового ряда близко примыкает понятие бесконечного числового произ веде. н и я. Пусть дана бесконечная числовая последовательность е„о», ..., р», .... Записанное формально выражение вида (1.90) е»аве ... е» ... = Г) е» » ! й 6. Бесконечные произведения принято называть бесконечным произведением.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
