В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ. Продолжение курса (PDF) (1111796), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Х. Математический анализ. Начальный курс. — Мя Изд-во МГУ, 1933. 1О Гл. !. Числовые ряды что ряды (1.6), (1.6) и (1.7) сходятся в каждой точке х числовой прямой и их суммы равны соответственно е', з!пх н созх. Замечание 1. С формальной точки зрения изучение числовых рядов представляет собой новую форму изучения числовых последовательностей, ибо 1) каждому ряду (1.1) однозначно соответствует последовательность (5») его частичных сумм, 2) произвольной числовой последовательности (5») однозначно соответствует числовой ряд (1.1) с членами и, =5!, и»=5» — 5», при Й~1, для которого эта последовательность служит последовательностью частичных сумм.
Замечание 2, Отметим два простых свойства произвольного ряда, непосредственно вытекающие иэ определения его сходи- мости: 1. Отбрасывание конечного числа членов ряда (или добавление к ряду конечного числа членов) не влияет на сходимость или расходимость этого ряда. П. Если с — отличная от нуля постоянная, и»'=си„, то ряд Ю О Е; и„' сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд т и„. »-! »=1 Для обоснования первого нэ этих свойств достаточно заметить, что в результате укаэанного отбрасывания (или добавления) конечного числа членов все частичные суммы ряда, начиная с некоторого номера, изменятся на одну и ту же постоянную величину.
Для доказательства второго из указанных свойств обозначим О М и-е частичные суммы рядов ~~ и' и 2' и„ соответственно через »=! »-! 5,' и 5, и учтем, что 5„'= с5„, где сааб. Из последнего равенства вытекает, что 11ш 5'„ существует тогда и только тогда, когда »-~ существует 11ш 5„. 2. Критерий Коши сходимости ряда. Так как вопрос о сходи- мости ряда по определению эквивалентен вопросу о сходимости последовательности его частичных сумм, то мы получим необходимое н достаточное, условие сходимостн данного ряда, сформулировав критерий сходимости Коши для последовательности его частичных сумм.
Для удобства приведем формулировку критерия Коши для последовательности (см. п. 3 3 3 гл. 3 ч. 1): Для того чтобь! последовательность (5,) была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы для любого полоасительного числа е нашелся номер И такой, что для всех номеров и, удовлетворяющих условию п)й!, и для всех натуральных р (р=1, 2, 3, ...) / 5»+» — 5» ~ (е. В качестве следствия из этого утверждения получим следующую основную теорему. а 1.
Понятие числового ряда Теорема 1.1 (критерий Коши для рида). Для того чтобы ряд Х и» сходился, необходимо и достаточно, чтобы для любого » ! положительного числа е нашелся номер У такой, что для всех номеров п, удовлетворяющих условию п)У, и для всех натуральных чисел р (р=!, 2, ...) (1.12) »=а+г Для доказательства этой теоремы достаточно заметить, что величина, стоящая под знаком модуля в неравенстве (1.!2), равна разности частичных сумм 5»~-я — 5,. Отметим, что критерий сходимости Коши представляет в основном теоретический интерес.
Его использование для исследо. вания сходимости или расходимости тех нли иных конкретных рядов, как правило, сопряжено с трудностями. Поэтому наличие критерия Коши не снимает вопроса об установлении других практически эффективных признаков сходимости и расходнмости рядов. Из теоремы 1.1 легко получить два элементарных, но важных следствия.
Следствие 1. Если ряд ~~~ и» сходится, то последователь»-г ность т„= ~~~ и» является бесконечно малой. » о+1 Принято называть величину т, и-м о с т а т к о м ряда Е и». »=и Чтобы доказать следствие 1, достаточно показать, что для любого е)0 найдется номер У такой, что ~т ~~(г при п)У. Последнее неравенство непосредственно вытекает из неравенства (1.12), справедливого для любого р=1, 2, 3, ..., и из теоремы 3.13 ч. 1. Следствие 2 (необходимое условие сходимостн ряда). Для сходимости ряда ~ и» необходимо, чтобы последовательность »-1 и„ им ..., иы ... членов этого ряда являлась бесконечно малой.
Достаточно доказать, что для данного сходящегося ряда и любого е>0 найдется номер Уа такой, что при п)Ув !и„) <в. Пусть дано любое е>0. Согласно теореме 1.1 найдется номер У такой, что при п)У и для любого натурального р выполняется неравенство (!.12). В частности, при р=1 это неравенство имеет вид )ия+,)(е (при и- У)'. (1. 12') 12 Гл. 1. Числовые ряды Если теперь положить номер А!ь равным й7+1, то при п)А!ь в силу неравенства (1.12') получим !и ~(е, что и требовалось доказать. Иначе следствие 2 можно сформулировать так: для сходимости » ряда ) иь необходимо, чтобы 1пп иь=О. Таким образом, при ь-! ь-» » исследовании данного ряда на сходимость следует прежде всего посмотреть, стремится ли к нулю я-й член этого ряда при й- сю.
Если это не так, то ряд заведомо расходится. Так, например, ряд » Е М 7М -1- 80004 ь-! заведомо расходится, ибо 1пп и,=1пп М 1 = — ~0. ь»» ь ° 7М + 80001 7 Аналогично расходимость уже встречавшегося выше ряда ( — 1) вытекает из того, что 1пп ( — 1) не существует. ь-! ь» Отметим, что стремление к нулю й-го члена ряда при й-~-со является лишь необходимым, но не достаточным условием сходи- мости ряда.
В качестве примера рассмотрим ряд Е 1 1 1 1 — =1+ — + — + ° .. + — +. ь 2 3 ь ь=! (1.13) Этот ряд обычно называют гармоническим рядом, Очевидно, что для гармонического ряда выполнено необходимое условие сходимостн, но (как доказано в и. 3 5 3 гл. 3 ч. 1) последовательность частичных сумм этого ряда расходится. $2. Ряды с неотРННдтельными членАми 1.
Необходимое и достаточное условие сходимостн ряда с неотрицательными членами. Ряды с неотрицательными членами часто встречаются в приложениях. Кроме того, их предварительное изучение облегчит изучение рядов с членами любого знака. В дальнейшем, чтобы подчеркнуть, что речь идет о ряде с неотрицательными членами, мы часто будем обозначать члены такого ряда символом р» вместо иь Можно сразу же отметить основное характеристическое свойство ряда с неотрицательными членами: последовательность частичных сумм такого ряда является неубывающей, Это позволяет иам доказать следующее утверждение.
!з 4 2. Ряды с неотрицательными членамн Теорема 1.2. Для того чтобы ряд с неотрицательными членами сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность частичных сумм этого ряда была ограничена. Необходимость следует из того, что всякая сходящаяся последовательность является ограниченной (в силу теоремы 3.8 ч. 1). Достаточность вытекает из того, что последовательность частичных сумм не убывает и, следовательно, для сходимости этой последовательности достаточно, чтобы она была ограничена (в силу теоремы 3.18 ч. 1). 2. Признаки сравнения. В этом пункте мы установим ряд признаков, позволяющих сделать заключение о сходимости (или расходимости) рассматриваемого ряда посредством сравнения его с другим рядом, сходимость (или расходимость) которого известна.
П я Теорема 1.3. Пусть ~ р» и )', р„' — два ряда с неотрица» ! »-! тельными членами. Пусть, далее, для всех номеров й справедливо неравенство РХр» ° (1. 14) 'Тогда сходимость ряда »1 р' влечет за собой сходимость ряда »=! р»; расходимость ряда т р» влечет за собой расходимость .» ! »-! ряда ~~„р', » 1 Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим и-е частичные суммы рядов ОВ ~~~ р» и Я р' соответственно через 5„и 5,'. Из неравенства » ! » ! (1.!4) заключаем, что 5„(5„'. Последнее неравенство означает, что ограниченность последовательности частичных сумм (5„') влечет за собой ограниченность последовательности частичных сумм (5„) и, наоборот, неограниченность последовательности час- тичных сумм (5л) влечет за собой неограниченность последова- тельности частичных сумм (5„'). В силу теоремы 1.2 теорема 1.3 доказана.
Замечания к теореме 1.3. 1) В условии теоремы 1.3 можно требовать, чтобы неравенство (1.!4) было выполнено не ,для всех номеров й, а лишь начиная с некоторого номера й. В самом деле, в силу замечания 2 п. 1 э 1 отбрасывание конечного числа членов не влияет на сходимость ряда. 2) Теорема 1.3 останется справедливой, если в условии этой теоремы заменить неравенство (1.14) следующим неравенством: Гл.
1. Числовые ряды р» < ср»'. (1.15) где с — любая положительная постоянная. В самом деле, в силу замечания 2 из п. 1 $1 вопрос о сходи- мости ряда ) р„' эквивалентен вопросу о сходимости ряда »-! (ср„), При этом, конечно, можно требовать, чтобы неравен» ! ство (1.15) было выполнено лишь начиная с некоторого достаточно большого номера !1. Следствие из теоремы 1,3. Если ) р» — ряд с неог»-! рицательными членами, ) р' — ряд со строго положительными »-! членами и если существует конечный п«едел 1пп», =Е, » ~ «!, то сходимость ряда ~„р' влечет за собой сходимость ряда »=! р», расходимость ряда ~~ (р» влечет за собой расходимость »=! »-! ряда » ! Доказательство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
