В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ. Продолжение курса (PDF) (1111796), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Так как ! пп —, = Е, то по определе- Р» »-~ «!, найдется номер Ф такой, что нию предела для некоторого г)0 при й)й! «»+! ' «»+! — < —, Р» Р» (1.15» Š— е( «» (Е+е. «» Следовательно, при А)У справедливо неравенство р»((Е+г)р»'. Последнее неравенство совпадает с йеравенством (1.15) при с=Е+е. В силу замечания 2 к теореме 1.3 следствие доказано. Теорем а 1.4. Пусть ~) р» и ~', р' — два ряда со строго по»-! »-! ложительными членами. Пусть далее для всех номеров й справедливо неравенство 5 2. Ряды с неотрицательными членами О Тогда сходимость ряда ~, р„' влечет за собой сходимость ряда »=! О ь р», расходимость ряда 1 р„влечет за собой расходимость »=1 » ! 0 ряда ~' р'.
»-! Доказательство. Запишем неравенство (1.16) для 2=.1, 2, ..., и — 1, где а — любой номер: Р„ — ~(— Р! Р! Ра Ра Р! Ре Рп Р и†! Рл †! Перемножая почленно все написанные неравенства, получим — < —,, или р„~ —, р„'. Ри Рп Р! Р! Р! Р! Поскольку в последнем, неравенстве величина с=р!(р!'представляет собой положительную постоянную, не зависящую от номера ,п, то в силу замечания 2 к теореме 1.3 теорема 1.4 доказана, Замечание к теореме 1.4. В условии теоремы 1.4 можно требовать, чтобы неравенство (1.16) было выполнено не для всех номеров !г, а лишь начиная с некоторого номера Ь (см. замечание 2 п.
1 5 1). Обе доказанные в настоящем пункте теоремы называют теоремамин сравнения или признаками сравнения. П р им ер ы. 1'. Исследуем вопрос о сходимости ряда Ю Е вЂ” где Ь>0. ! 2+ Ь» »-! Если Ь(1, то я-й член рассматриваемого ряда не стремится к нулю при я-ьоо. Следовательно, нарушено необходимое условие сходимости ряда, и ряд расходится. Если же Ь> 1, то, поскольку для любого номера А справедливо неравенство 1 1 2+ Ь» Ь» Гл. 1.
Числовые ряды 1б 1 и ряд т — сходится, теорема сравнения 1.3 позволяет утверж- 2.1 ь» » ! дать сходимость рассматриваемого ряда. 2'. Исследуем вопрос о сходимости для любого а(1 следующего ряда: Е 1 1 ! — =1+ — +...+ — +.. йа оа '' »а »-! (1.177 Этот ряд часто называют обобщенным гармоническим р ядом. Поскольку при а(1 для любого номера и справедливо неравенство 1 ! м йм А !7~=!7+!7'+ .
+!7~+ .. )!7(< 1. »-! (1.13) или с расходящимся рядом Я 1 = 1 + 1 + ... + 1... »-! (1.191 Теорема 1.5 (прнзиак Даламбера) 4!. 1. Если для всех номеров )с, по крайней мере начиная с некоторого номера, справедливо неравенство '! Раскодимосгь гармонического ряда обоснована в конце и. з $ 1. '! Жак Лероя Даламбер — французский математик и философ (1717— 1783). н гармонический ряд ~ — расходится з), то теорема сравнения 1 »=! 1.3 позволяет утверждать расходимость ряда (1.17) для любого а(~1. 3. Признаки Даламбера и Коши. К признакам сравнения непосредственно примыкают два весьма употребительных признака сходнмости рядов с положительными членами — признаки Даламбера и Коши, которые основаны на сравнении рассматриваемого ряда с рядом, составленным из элементов геометрической прогрессии, а именно со сходящимся рядом $2. Ряды с неотрицательными членами "»+! ( Р»+! ) 6) — (д(1 ( — >1( Р» Р» (1.20) то ряд ~)~~ р» сходится (расходится).
» ! П. Если существует предел Р»+! Р~+! — ( Р» Р» (1..22)~ Так как ряд т р', совпадаюп)нй с рядом (1.18) ((1.19) ), схо»='! дится (расходится), то неравенство (1.22) на основании теоремы сравнения 1.4 гарантирует сходимость (расходимость) ряда ~, р». »=! Теорема 1 доказана. 2) Докажем теперь теорему П.
Если Ь<1, то найдется положительное число е такое, что 1=1 — 2е, т. е. Е-)-е=1 — а. По определению предела последовательности для указанного е найдется номер У такой, что при й= Ж Е вЂ” е( — ( А+к=1 — е. Р»+! Р» Число 1+а=1 — е играет роль д в теореме 1. Ряд сходится. Если же Ь>1, то найдется положительное число е такое, что А=1+к и Š— е=1. В этом случае на основании левого из неравенств (1.23) получим (1.23) ') Прн этом, конечно, предполагается, что асе члены ряда (по крайней мере начиная с некоторого номера) строго положительны.
1пп +' =А, (1.21) » е Р» то ряд ~~1р» сходится при Е(1 и расходится при Е>1. » 1 Теорему П обычно называют признаком Даламбера в п р едельной форме. В этой форме он наиболее часто используется. Доказательство. Докажем отдельно теоремы 1 и П. 1) Для доказательства теоремы ! положим р»'=д» (р»'=1). Р»+! ( Рь)-! Тогда —,— =д, где ))( 1 —,— = 1, и мы можем переписать. Р» Р» равенство (1.20) в виде Гл. !. Числовые ряды !8 — ) Š— е=1 (при й) М). Ре+! Ре Ряд Я рл расходится на основании теоремы 1.
Теорема 1.5 поле пастью доказана. Замечание к теореме 1.5. 1) Обратим внимание на то, что в теореме 1.5 (1) неравенство +' <в< 1 (для всех я, РЕ Ре+! начиная с некоторого) нельзя заменить на — < 1. Ре В самом деле, как доказано выше, гармонический ряд (1.13) Рл+! Ь расходится, но для этого ряда — = — < 1 (для всех номере Д+! ров й). 2) Если в условиях теоремы 1.5 (11) Е=1, то нельзя сказать ничего определенного о сходимости ряда (т.
е. при Е=1 признак Даламбера «не действует»). В самом деле, для гармонического ряда (1.13) Е=1, причем этот ряд, как мы знаем, расходится. Вместе с тем для ряда (!.24) также Е=1, но этот ряд, как будет показано в следуюшем пункте, сходится. Теорема 1.6 (признак Коши). 1. Если для всех номеров й, по крайней мере начиная с некоторого номера, справедливо нера- венство т' ре < ч < 1 (у р «» 1). тпо ряд Я рв сходится (расходится), А=! 11. Если существует предел (1.25) 1!гп р'рв=Е, л-гс (1.26) тпо ряд ~ р„сходится при Е<1 и расходится при Е>1. е=! Теорему П обычно называют признаком Коши в п р е д.е л ьной фар ме.
Доказательство. Докажем отдельно теоремы 1 и 11. $2. Ряды е неотрицательными членамн 1) Для доказательства теоремы 1 положим ре'=да (р;=1). Тогда из неравенства (1.25) получим Радара (Ребре ). (1.27) Так как ряд Я ра, совпадающий с рядом (1.18) ((1.19) ), сходить ! ся (расходится), то неравенство (1.27) на основании теоремы сравнения 1.3 гарантирует сходимость (расходимость) ряда й 2'„Ра. ТеоРема !.6 (1) доказана. а-! О Яй2 ~.
а-! (1.30) 2) Для доказательства теоремы (П) следует дословно повторить схему' доказательства теоремы 1.5 (П), заменив во всех Ра+! рассуждениях на У'ра. Теорема 1.6 полностью доказана. Ра Замечания к теореме 1.6. 1) Как и в теореме 1.5 (1) в теореме 1.6 (1) неравенство У ра<д( 1 нельзя заменить на т'Ра<1. 2) При 1=1 признак Коши в предельной форме «не действует». Можно сослаться на два примера, указанные в соответствующем замечании к признаку Даламбера. Примеры.
1'. Исследуем вопрос о сходимости ряда Е (У7!) (1.28) и а 1 Применим признак Даламбера в предельной форме. Имеем р»= —, — — ' — ! 1+ — ) (1,29р (УХ)а ра+! (Уа+ !)'+' и 1,! ! е и ' р, (а + !!!(УХ)' У~ !. ! На основании (1.29) 1!гп — =!пи ~ !11 + — ~ 1 / 1 1Т а ра а !!Уа+ ! (! 1пп 1'пп !г1+ — ) =0 Уе=О < 1. ь т'а'+! а ! Ь/ т. е. ряд (1.28) сходится. 2'. Изучим вопрос о сходимости ряда Гл. 1. Числовые ряды Применим признак Коши в предельной форме.
Имеем *- — 1 е г' Ре= — т' )т. 2 (1.31) е 1 а,— На основании '1 (1.31) 1пп у'р„= — !пп 1' й = — < 1. Таким а а 2 а 2 образом, признак Коши устанавливает сходнмость ряда (1.30). Возникает вопрос о том, какой из двух признаков, Даламбера или Коши, является более сильным. Проанализируем этот вопрос в отношении признаков Даламбера и Коши, взятых в предельной форме.
Ниже будет доказано, что из существования предела (!.21) вытекают существование предела (1.26) и факт равенства этих пределов. Обратное неверно. В самом деле, легко убедиться в том, что для ряда ( — 1)" + 3 Е 2Й»1 а-1 (1.32) предел (1.26) существует и равен 1/2, в то время как предел (1.21) вообще не существует. Таким образом, признак Коши является более сильным, чем признак Даламбера, ибо всякий раз, когда действует признак Даламбера, действует и признак Коши и вместе с тем существуют ряды (например, ряд (1.32))„ для которых действует признак Коши и не действует признак Даламбера.
Несмотря на это, признак Даламбера на практике употребляется чаще, чем признак Коши. Итак, докажем Утверждение. Из существования равного Ь предела (1.21) вытекает существование равного тому же Е предела (1.26). Доказательству утверждения предпошлем две леммы. Л е м м а 1. Если последовательность (а„) сходится к пределу 1, то к тому же пределу сходится и последовательность а,= =(а,+ат+...+а„))п средних арифметических чисел аьам...,а . Доказательство. Так как последовательность (а„) сходится к пределу 1, то для любого в>0 можно фиксировать номер й( такой, что ~)а — 1(<в/2 для всех п)Лг. Используя этот факт н учитывая, что при всех п>1(1 »> для вычисления !ип кн» следует прологарнфмировать выражение » + Ф ки* и применить правило Лопиталя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
