В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ. Продолжение курса (PDF) (1111796), страница 9
Текст из файла (страница 9)
(! — — ) . Остается определить корни а1, ая,а,. Замечая, что эти корни соответствуют нулям функции з!пп56, получим 5П .52П ЛП а!=5!пя —, а =з!пя —... „а„=з!пя —. т Л1 т Таким образом, формула (1.107) установлена. 2) Положив в формуле (1.107) О= — и считая, что 0< '< !х~ <пп5, придадим этой формуле вид х 51П5 яп 51П5— т "П"„=П !— (1. 109) Фиксируем любое (отличное от нуля) значение и возьмем два произвольных натуральных числа р и и, удовлетворяющих неравенствам 2 — <р < и= .
Тогда формулу (1.109) !х! т — ! и 2 можно записать в виде х 5! Пя— тпх П т т Мп — 5=! 51П5— 1П т "(1.110) где х я 5!пя— ~,()= П 5=5+! 5!П (1.1 11) Прежде всего оценим )7р(х). Поскольку 2 — < р < и = !х! т — ! ° то аргументы всех синусов, стоящих в формуле 2 (1.111), принадлежат интервалу ( — —. — ). Кроме того, яс- ЯП но, что для всех й, участвующих в этой формуле, !х!< и, следовательно, 4 б.
Бесконечные произведения бз йи мп'— 2т к 51ПЗ О— « йи 51П'— т 1 1 <— йи 2 4созз— 2пз йи 51ПЗ— 1П йи и йи и 5йи ! так как — < —, т. е. — < —, и поэтому соз' — ) — ), т 2 2т 4' 2т 2/ Для любого 11 нз интервала 0<р<1/2 справедливы неравенства 1>1 — 1)>е-25 25!, поэтому для всех номеров Й, превосходящих р, .,х 2ы и*в Пз х з!п'— !и ая змз— 1>1— 11.112) )е йи 51ПЗ Пз Почленно перемножая неравенства 11.112), записанные для й=р+1, р+2, ..., л, получим следующую оценку для ттр1к): -25!и*в 1 1) Яр1х) )е йи Так как аргумент — лежит в первой четверти и для лют Мпй 2 55! бого 1! из первой четверти 1 » — — , то 11,113) 1 1 тз т' ! 1 1 йи 2 з йи 2 4й' 4 1й — 1 й 1 5!ПЗ ( ) ( ) Таким образом, и 2мпз к ! ,+!з!язв тз ., к ,Ч г и — мпз — чз — — — ! е а=к+!" ч Е тз к — — з1и'— 2р кз интервале 0<Р<и/2.
з'! Правое из этих неравенств элементарно вытекает из формулы й4акло— 2 12р) рена: е р= — 1 —.2р+ — —...<1 — 2р+2рз(1 — !3, так как 2рз<р. 2 51П Р *'! Эти неравенства вытекают из того, что отношение — прн измене5!ПО иин Р от О до л/2 убывает от 1 до 2/и. Факт убивания функции — в свою / з!п Р 1' соз Р очередь вытекает из того, что ( 1 = — 1р — !яр)(0 всюду ив р ° Р' Гл, 1. Числовые ряды Последнее неравенство позволяет следующим образом усилить оценку (1.113): 1) Йр(х) )е (1.114) 1 ) !ср (х) ) е (1.116) Формула (1.110) в пределе при т-+ со дает ""„" =П(1 — — „"„',) А(). (1,116) 4) Остается, сохраняя фиксированным х, устремить в формуле (1.116) номер р к бесконечности.
Поскольку левая часть (1.116) не зависит от р, а предел !ппйр(х) в силу неравенств Р Р (1.116) и теоремы 3.14 ч, ! существует и равен единице, то существует и предел Таким образом, разложение (1.102) для з!п х установлено. Замечание. В полной аналогии с разложениями (1.102) для з(их и (1.103) для сов х можно получить разложения в бесконечные произведения гиперболических функций 3) Теперь в формуле (1.110) устремим число п5 к бесконечности, оставляя фиксированными значение х и номер р. По- Х . 5.5ХИ скольку !пп тз!п — =х, 1!п!лтез!пв — =(йп)5, то существует Ш-~ Р и! Р Р Р5 5!П Х предел левой части (!.110), равный, и предел конечнох х 5!Пе— и! гт / х' го произведения П 1 —, равный ! ) ( ! — — 1. яп и;)- А=! 5!Пе 5=1 т Далее будем считать, что последний предел отличен от нуля, так как, когда он равен нулю, з!их=0 и разложение (1.102) установлено. Но тогда существует предел 1пп !ср(х).
ОбознаР Р чим этот предел через Я (х). Из неравенств (1.114), справедливых для любого номера и, и из теоремы 3.13 ч. 1 вытекает, что 3 7. Обобщенные методы суммирования расходящихся рядов 55 з)! х = х П (1 + — "), с(! х — — П ~ 1 -~- а=-! а=! Заметим, что из разложений для з!их, созх, з!!х, с)!х немедленно пе!лучаются разложения в бесконечные произведения функций !ах, с(йх, !Ьк и с11!х. 5 7. ОБОБЩЕННЫЕ МЕТОДЫ СУММИРОВАНИЯ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ Во всей гл.
1 мы называли суммой ряда О Е ив=и!+па+ ... +ив+... а-! (1.117) му (7, а ряд ~',оа имеет обобщенную сумму У, то ряд а=! ,х (Аиа+Впа), где А и  — любые постоянные„имеет обобщенную сумму (Асу+Ву). Метод суммирования, удовлетворяющий указанному условию, называется л и н е й н ы м. В анализе и в его приложениях, как правило, имеют дело лишь с регулярными линейными методами суммирования. Остановимся на двух предел В последовательности (В„) частичных сумм этого ряда (при условии, что этот предел существует).
В ряде задач математического анализа, представляющих как теоретический, так и практический интерес, приходится оперировать с рядами, у которых последовательность частичных сумм не сходится и сумма в указанном выше обычном смысле не существует. Естественно, возникает вопрос об обобщении понятия суммы ряда и о суммировании расходящегося в обычном смысле ряда (1.117) с помощью каких-либо обобщенных методов. В настоящем параграфе мы и остановимся на некото« рых обобщенных методах суммирования расходящихся рядов. Прежде всего дадим общую характеристику тем методам суммирования, которые будут рассматриваться.
Разумно требовать, чтобы обобщенное понятие суммы включало в себя обычное понятие суммы. Точнее, ряд, сходящийся в обычном смысле и имеющий обычную сумму 5, должен иметь обобщенную сумму, и притом также равную 5. Метод суммирования, обладающий указанным свойством, называется регулярным. Далее естественно подчинить понятие обобщенной суммы следующему условию: если ряд ~„иа имеет обобщенную сума=! Гл. 1.
Числовые ряды методах обобщенного суммирования, представляющих особый интерес для приложений. 1. Метод Чезаро") (метод средних арифметических). Говорят, что ряд (1.117) суммируем методом Чеза ро, если существует предел средних арифметических сумм этого ряда: 1; „25+от+ +По л О П (1.1187 При этом предел (1.118) называется обобщенной в си ысле Ч ез а р о суммой ряда (1.117). Линейность метода суммирования Чезаро очевидна. Его регулярность вытекает из леммы 1, доказанной в п. 3 $2. В самом деле, из указанной леммы вытекает, что если последовательность (5„) частичных сумм ряда (1.117) сходится к числу 5, то предел (1.118) существует и также равен 5. Приведем примеры рядов, не сходящихся в обычном смысле, но суммируемых методом Чезаро.
Примеры. 1'. Рассмотрим заведомо расходящийся ряд ~ ( — 1) '=-1 — 1+1 — 1+ л-) Поскольку все четные частичные суммы 52, этого ряда равны нулю, а все нечетные частичные суммы 52 ) равны единице, то предел (1.118) существует и равен 1/2. Таким образом, рассматриваемый ряд суммируем методом Чезаро, и его сумма в смысле Чезаро равна 1/2. 2'. Считая, что х — любое фиксированное вещественное число из интервала 0<х<2п, рассмотрим заведомо расходящийся 28) ряд созйх= — созх+соз2х+созЗх+ А=! (1.119)~ Частичная сумма этого ряда 5, уже подсчитана нами в примере 2' 9 4: 1 ! х мп (л+ — ) х — 5!и— 5„= х 2 5!ив 2 5" Эрнесто Чезаро — нтальннский математик (1959 — !906).
55) Расходимость ряда (!.119) оез труда усматриваетси из приведенвого ниже выражения для его частичной суммы. 4 7. Обобптеиные методы суммирования. расходящихся рядов 87 Подсчитаем среднее арифметическое частичных сумм: л — з!и ~тл+ — ) х~ — = 2п а!ив 2 л 1 !%1 ! ~' (созтх — соз(т+ 1) х)~ — — = 1 1 х 1 4л 5!Па щ=! 2 свах — соя !и+ 1) х х 4л а1 пав 2 Отсюда очевидно, что зт+8я-) " +зл л л л 2 Таким образом, ряд (1.1!9) суммируем методом Чезаро, и его сумма в смысле Чезаро равна ( — 1/2). 2. Метод суммирования Пуассона" ) — Абеля.
По данному ряду (1.!17) составим степенной ряд иаха-' =- ит + иях + и,х' + ... + пя ха †' + ... (1.120) Ф-! Если этот ряд сходится для всех х из интервала 0<х<1 и если его сумма 5(х) имеет левое предельное значение!пп5(х) ,т ! — о в точке х=1, то говорят, что ряд (1.117) с у м м и р у е м м е т одом Пуассона — Абеля. При этом указанное предельное значение называется суммой ряда (1.117) в смысле Пуа с с о н а — А б е л я. Линейность метода Пуассона — Абеля не вызывает сомнений. Докажем регулярность этого метода.
Пусть ряд (1.117) сходится в обычном смысле и имеет сумму, равную 5. Требуется доказать что: 1) ряд (1.120) сходится для любого х из интервала 0<х<1, 2) сумма 5(х) ряда (1.120) имеет в точке х=1 левое предельное значение, равное 5. Докажем сначала утверждение 1). Так как ряд (1.117) сходится, то последовательность его членов является бесконечно малой и, следовательно, ограниченной, т. е. найдется такое число М, что для всех номеров й (1.121) !их!<М.
ип Ситюи Дени Пуассон — фраицуаскиа математик (1781 — 1840). Гл. 1. Числовые ряды Используя это неравенство, оценим модуль й-го члена ряда (1.120), считая, что х — любое число из интервала 0<х<1 Получим ) и»х»-! ~ М(х !»-!. Так как (х ~ <1, то ряд ~ (х (» ' сходится. Поэтому в силу »=! замечания 2 к теореме сравнения 1.3 сходится и ряд (1.120). Докажем теперь утверждение 2). Пусть 5, — п-я частичная сумма ряда (1.117), а 5 — его обычная сумма.
С помощью преобразования Абеля 'о! легко убедиться в том, что для любого х из интервала 0<х<1 справедливо тождество Еп»х»-! =(1 — х) Х5~»-!. »=1 »-! (1.122) Вычтем тождество (1.122) из следующего очевидного тождества: Р 5=(1 — х) Е5.х»-!. »=! При этом, обозначая через г» Ь»! остаток ряда (1,117), будем иметь 5 — ~!~ и х»-' = (1 — х) 2'„г»х»-!, или О 5 — 5(х)=(1 — х) ~ г»х» — '. »=! (1,123) Наша цель — доказать, что для любого н>0 найдется 6>0 такое, что левая часть (1.123) меньше е для всех х, удовлетворяющих неравенствам 1 — 6<х<1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
