В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ. Продолжение курса (PDF) (1111796), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Так как остаток г» ряда (1.117) стремится к нулю при й — !-оо, то для положительного числа е72 найдется номер йо такой, что (г»1<е/2 при й. йо. Таким образом, 4Ф ~(1 — х) ~~~ г,х'-'~< — ~(1 — х) ~~) х»-!~< —. »=». »=»» ы! Преобразонаиие Абеля (1.77) установлено нами н $4. В рассматрннае. мом случае следует положить н (!.77) л=о, о„=О и затем устремить и к бесконечности. 89 4 8. Элементарная теория двойных и повторных рядов Остается доказать, что для х, достаточно близких к единице, а,— ! (1 — х) ~ гала-'~ < —, ъ"1 2 а=с но это очевидно, так как сумма, стоящая в последнем неравенстве, ограничена.
Регулярность метода Г1уассона — Абеля доказана. В качестве примера снова рассмотрим расходящийся ряд ), ( — 1)а '=1 — 1+1 — 1+... а=! (1.124) Для этого ряда составим степенной ряд вида (1.120) 0 '~„( — 1)» ! ха-' =-1 — х+х~ — хз+ ь= ! Очевидно, что последний ряд сходится для всех х из интервала 0<х<1 и имеет сумму, равную 5(х) =1/(1+х). Так как 1!гп 5(х) = 1пп 1 1 к ! — а ! — О 1б-к 2 то ряд (1.124) суммируем методом Пуассона — Абеля и его сумма в смысле Пуассона — Абеля равна 112.
Обратим внимание на то, что сумма ряда (1.124) в смысле Пуассона — Абеля совпадает с его суммой в смысле Чезаро. Этот факт не является случайным: можно доказать, что если ряд суммируем методом Чезаро, то он суммируем и методом !1уассона — Абеля, причем сумма этого ряда в смысле Чезаро совпадает с его суммой в смысле Пуассона — Абеля.
Более того, существуют ряды, суммируемые методом Пуассона — Абеля, но не суммируемые методом Чезаро "!. Детальное изучение всевозможных' методов обобщенного суммирования расходящихся рядов проводится в монографии Г. Харди «Расходящиеся ряды» (М.: ИЛ, 1951).
4 8. элементАРИАя теОРия дВОЙных И ПОВТОРНЫХ РЯДОВ Рассмотрим счетное множество бесконечных числовых после- довательностей аы, аьь а!з,, а!„ "! Таким образом, можно сказать, что метод Пуассона — Абеля является более «сильным» методом суммирования, чем метод т1езаро. ео Гл. 1.
Числовые ряды аз!, а22, азз, ... азы азь азь азз ° ° ., аз (1.125) а~!, а~з, а~з, ..., а~~, ... ', ,~~ а„! (я = 1, 2, ...), ! 1 (1.126) Просуммировав эту последовательность, получим формальную сумму Ф О Эту сумму принято называть повторным рядом. Другой повторный ряд Ю Ф (1 ав) (1. 128) получится, если сначала просуммировать отдельно каждый столбец матрицы (1.125), а затем взять сумму элементов полученной при этом последовательности. О ар вдел е н не 1.
Повторный ряд (1.127) называется с хо дя щ ил! с я, если сходится каждый из рядов (1.126) и если сходится ряд в котором А» обозначает сумму й-го ряда (1.126). Определение 2. Повторный ряд (1.128) называется сход я щ им с я, если сходится каждый из рядов (Первый индекс у чисел ам обозначает номер рассматриваемой последовательности, а второй — номер ее элемента.) По другому можно сказать, что мы рассматриваем матрицу (1.125), содержазцую бесконечное число строк и бесконечное число столбцов. Производя формальное суммирование элементов этой матрицы, можно составить из нее различные ряды. Если сначала просуммировать каждую строку матрицы (1.125)отдельно, то получится бесконечная последовательность рядов вида $8.
Элементарная теория двойных и повторных рядов О ам (1=1, 2, ...) а ! (1.129) и если сходится ряд ~А), )=! в котором й! обозначает сумл(у 1-го ряда (1.129). С матрицей (1.125) кроме повторных рядов (1.127) и (1.128) связывают еще так называемый двойной ряд ",[' аы. а,(-! (1.130) так называемых прямоугольнь(х частичных сумм ~и л 5 „=~) ам.
а-()=! (1.132) При этом указанный предел (1.131) называют суммой двойного ряда (1.130). Из этого определения сразу следует, что если двойной ряд (1.130) получен посредством перемножения членов двух сходящихся «одинарных» рядов Ф Ьа и 2 с(, а=! (1.133) т. е. если члены двойного ряда (1.130) равны аа(=б„с(, то этот двойной ряд сходится, а его сумма равна произведению сумм рядов (1.133). Далее заметим, что нз (1,132) следует, что для любых тп е2, и'->2 а~~ — Я~~ Згл(о-!) [5(т-!)» 5( я-!)(л-!)[ Последнее равенство означает Утверждение.
Необходимым условием сходимости двойного ряда (1.130) является стремление к нулю его общего члена, т. е. существование равного нулю предела Определение 3. Двойной ряд (1.130) называется сходящимся, если при независимом стремлении двух индексов ят и и к бесконечности существует конечный предел !(и) 5 „ (1.131) 62 Гл.
1. Числовые ряды 1ппа „ т-+а е Ф при независимом стремлении гп и и к бесконечности. Докажем следующее утверждение о связи между сходимостью двойного и повторного рядов. Теорема !.21. Если сходится двойной ряд (1.130) и если сходятся всг ряды по строкам (1.126), то сходится и повторный ряд (1,127), причем к этой жг сумме, к которой сходится двойной ряд (1.130). Д о к а з а т е л ь с т в о. Переходя при фиксированном т к пределу при и- о в равенстве (1.132) и учитывая сходимость ряда (1.!26) к сумме Ае, получим 1пп 5„„=- ~~ Л„. л ы (1.134) Из соотношения (1.134) ясно, что сумма повторного ряда (1.127), которая определяется как предел при гп-е.оо правой части (1.134), есть не что иное, как повторный предел 11гп (!пп5„„).
Остается доказать существование указанного повторного предела в предположении существующего предела (!.131) н существования для любого т предела (1.134), а также доказать, что указанный повторный предел равен пределу (!.!31). Из сушествовання равного 5 предела (!.!31) вытекает, что для любого е>0 найдутся номера те и пе такие, что прн пг)гпс, п~ пе справедливо неравенство ) 5 — 5 ( < г. Используя факт существования для любого номера т предела (1.134), из последнего неравенства получаем, что для любого т)те справедливо неравенство )!пп5 „— 5! ='г, а зто и означает, что повторный предел 1!ш(!пп5 „) сущестГл Ф и вует и равен 5.
Теорема доказана. Как и для обычного ряда с неотрицательными членами справедливо следующее утверждение. Теорема 1.22, Если всг элементы матрицы (1.125) нготрицатгльны, то для сходимости составленного из этой матрицы двойного ряда (1.130) необходимо и достаточно, чтобы гго частичные сулсмы (1.132) были ограничены. $8. Элементарная теория двойных и повторных рядов Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость очевидна.
Для доказательства достаточности заметим, что из ограниченности множества частичных сумм (5 ) вытекает существование точной верхней грани этого множества, которую мы обозначим через 5! 5= авр 5,„„. !<«!<с !<«< По определению точной верхней грани для любого н>0 найдется частичная сумма 5 ен такая, что для всех т и и при т т,, п>по. Это и означает существование равного 5 предела (1.131), т.
е. сходимость двойного ряда (!.130). Определение 4. Двойной ряд (1.130) называется аб сол ю г н о с х о д я и! и м с я, если сходится двойной ряд « ~ 1ае!), А,1=! (1.130') составленный из модулей элементов матрицы (1.125). Теор ем а 1.23. Если сходится двойной ряд из модулей (1.130'), то сходится и двойной ряд (!.130), Доказательство. Положим рм — — + Чм= 2 !ом! — нм Т гд 2 ам = рм — дм.
(1. 136) Здесь ры и ды неотрицательны и оба не превосходят !ае!). Кроме того, в силу теоремы 1.22 из сходнмости двойного ряда (1.!30') вытекает ограниченность его частичных сумм, поэтому и частичные суммы каждого из двойных рядов « ~,р!и Уде! а,!=! ограничены. Но тогда в силу теоремы 1.22 эти ряды сходятся.
Обозначим их суммы соответственно через Р и Я. В силу (1.136) двойной ряд (1.130) сходится к Р— Я. 5 — в<5 „,~5. (1.135) Для всех номеров т и и, удовлетворяющих условиям т>то, п)по, в силу неотрицательности элементов справедливо веравенство 5 „> 5,»,. Из этого неравенства и из (1.135) вытекает, что 5 — е<5,<5 Гл, 1, Числовые ряды Рассмотрим тетерь обычный ряд т а„ (1.137) 7 !1У ~ал,!).
А=! с=-! (1.127') Тогда при любых и! и и ~~ад!1яь Я . л-!1-! (1.138) Если 8,~ = / а, / + / аз ! +... + ~ а, ~ — произвольная частичная сумма ряда 1а,~, (1. 137') с=! членами которого являются занумерованные в каком угодно порядке элементы матрицы (1.125). Теорема 1.24, Рассмотрим четыре ряда: два повторных ряда (1.127) и (1.128), двойной ряд (1.130) и ряд вида (1,137).
Если хотя бы один из указанных четырех рядов сходится при замене его членов их абсолютными величинами, то все четыре указанных ряда сходятся и имеют одну и ту же сумму. Д о к а з а т е л ь с т в о. Сначала докажем, что если один из укаэанных четырех рядов сходится при замене его членов их модулями, то и остальные три ряда сходятся при замене членов их модулями. Так как для повторных рядов (1.12?) и (1.128) рассуждения совершенно аналогичны (нужно только поменять ролями первый и второй индексы у членов), то в дальнейшем мы будем рассматривать только повторный ряд (1.127). Достаточно доказать три утверждения: 1) сходимость повторного ряда (1.127), у которого все члены заменены их модулями, влечет абсолютну!о сходимость ряда (1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
