В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ. Продолжение курса (PDF) (1111796), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Обозначим через Ф(з) наибольший из трех номеров У1, Уз(з), и Л!з(е). Тогда прн а)М(е) для всех точек х множества (х) и всех натуральных р будет справедлнво каждое из четь:рех неравенств (2.25) — (2.28). Из этих неравенств и из (2.23) вытекает, что и+р %" и,(х)н,(х) ~С н а=.и-;! при всех и У(е), всех натуральнь*,х р и для всех точек х множества (х). В силу критерия Коши ряд (2.20) сходится равномерно на множестве (х). Теорема доказана. — для всех точек х множества (х), всех натуральных р и всех номеров п, удовлетворяющих условию л)Уз(з). Наконец, из тождества Гл, 2. Функциональные цослеловательностн н ряды 1пп 3„(х) = 1пп 1от (х) — о„+1 (х)) = о, (х). В качестве примера изучим вопрос о равномерной сходимости ;ряда О Х— 51Н ЛХ а+ 1! + !х1)ь Е 1 (2.29) Так как последовательность о„(х) = л + 1 ! + 151]" тте возрастает в каждой точке бесконечной прямой — по<к<по н равномерно на этой прямой сходится к нулю, то в силу признака Дирихле — Абеля ряд (2.29) сходится равномерно на любом мно- жестве, на котором ряд ~' з(пях 5-1 (2.30) обладает равномерно ограниченной последовательностью частичных сумм.
Для вычисления и-й частичной суммы 5„(х) ряда (2.30) просуммируем тождество 2 51п — з!пйх=-соз !1й — — ) х — соз (к + — ) х х / ! 2 1 2) (, 2) по всем номерам й от 1 до и. При этом получим соотношение 2 з(п — 5„(х) = соз — — соз ( и + — ) х, х х т ! 2 2 (, 2 Следствие из теор е м ы 2.5 (прнзнак Дирихле — Абеля). Если функциональный ряд (2.1) обладает равномерно ограниченной на множестве (х) последовательностью частичных сумм, и .функциональная последовательность (о„(х)) не возрастает в каждой точке множества (х) и равномерно на этом множестве сходится к нулю, то функциональный ряд (2.20) сходится равномерно на множестве (х). Достаточно заметить, что невозрастающая в каждой точке множества (х) н сходящаяся равномерно на этом множестве к нулю последовательность (о„(х)) заведомо обладает на множестве (х) равномерно ограниченным изменением, так как для нее .и-я частичная сумма Я„(х) ряда (2.19) равна от (х) — о„+1 (х).
Поэтому существует равномерный на множестве (х) предел Гл, 2. Функниоиальиыв послеловатсльносп! и рилы о является предельной. При этом точка х может сама не принадлежать множеству (х). Теор ем а 2.7. Если функциональный ряд и» (х) » ! (2.31) сходится равномерно на множестве (х) к сумме 5(х) и у всех о членов этого ряда суи1естаует в точке х предел 1нп и»(х) =Ь„ о л л о то и сумма ряда 5(х) имеет в точке х предел, причем 1пп5(х) = и [Ити»(х)) =5" Ь», о '- и л л л »=-! (2.32) 5 (х) — ~' Ь» » 1 т.
е. символ 1пп предела и символ Х суммирования можно переставлять местами (или, как говорят, к пределу можно переходить почленно). Доказательство. Сначала докажем сходимость числово- О го ряда ~~» Ь». В силу критерия Коши, примененного к функцио» ! нальному ряду (2,31), для любого е)0 найдется номер У(е) такой, что ~ и„+! (х) + и„+» (х) +... + и,+„(х) ~ < е (2.33) для всех номеров и, удовлетворяющих условию п)У(е), всех натуральных р и всех точек х множества (х). Считая в неравенстве (2.33) фиксированными номера и и р и переходя в этом иеравено стве к пределу нри х-! х (такой предельный переход можно осуществить по любой последовательности точек множества (х), о сходящейся к точке х), получим ~ Ьи ! !+Ьи+и+ +Ьи ! р ~~(е(2е (для каждого п)й!(е) и каждого натурального р).
В силу критерия Коши ряд у Ь, сходится. »-! Оценим теперь разность ф 3. Почлеккый переход к пределу для всех точек х множества (х) из достаточно малой окрестности а точки х. Так как б (х) = 2 и«(к) й=! для всех точек х множества (х), то для любого номера л справед- ливо тождество «ч и ч О б(х) — '~' Ьй=— Д." и«(х) — )," Ь«1+ ~$ и«(х) — ~ Ьй, й-! й ! й=! «=а+! й и+! из которого получаем неравенство 0 и и 0 !Б(х) ~Г Ьй~ <~ ч), и«(х) — ~' Ьй+) ~ и«(х)~+$ ~, Ьй~,(2.34) й-! «=! «=1 й л+! й «+! справедливое для всех точек х множества (х).
С Фиксируем произвольное е>0. Так как ряд ~ Ь«сходится, й-1 В а ряд ~" и„(х) сходится равномерно на множестве (х), то для й 1 фиксированного е>0 найдется номер л такой, что для всех точек х множества (х) Ь«( ( —, ! ~!~ ий(х) ) < — (2.35) йе д+! «=«+! Так как предел конечной суммы равен сумме пределов слагаемых„то для фиксированного нами е>0 и выбранного номера и можно указать б>0 такое, что о л ~~~)~ий(х) — ~~~~ ~Ь ~(— (2.36) й-! й ! для всех точек х множества (х), удовлетворяющих условию ОС а (р(х, х)~В.
Из (2.34) — (2.3б) следует, что для всех таких х ~ 5 (х) — ~ Ьй ~ < е. й ! а Это доказывает существование предела Я(х) в точке х, а следовательно, и справедливость равенства (2.32). Теорема доказана. 86 Гл. 2. Функциональные последователыности и ряды В терминах функциональных последовательностей теорема 2.7 звучит так: Те о р е м а 2.7*.
Если функциональная последовательность (1„(х)) сходится равномерно на множестве (х) к предельной функции ! (х) и все элементы этой последовательности имеют о предел в точке х, то и предельная функция 1(х) имеет предел а о точке х, причем !ип Г (х) =1пп(! пп Г„(х)) =1!Гп (!пи Г',(х)), а 0 и м ч О т.
е. силгвол Ипт предела последовательности и символ !пп Л О О. предела функции можно переставлять местами (или, как говорах,. с к пределу при х-ьх можно переходить почленно). Следствие 1 из теоремы 27. Если в условиях теорео мы 2.7 дополнительно потребовать, чтобы точка х принадлежала множеству (х) и чтобы все члены иь(х) функционального ряда о (2.31) были непрерывны в точке х, то и сумма 5(х) этого ряда о будет непрерывна в точке х, о В самом деле, в этом случае ба=на(х) и равенство (2.32) принимает вид о о 1пп 5(х) =ч) иа(х) =5(х), о к а а-1 о а это и означает непрерывность суммы 5(х) в точке х. Следствие 2 из теоремы 2.7.
Если все члены функционального ряда (функциональной последовательности) непрерывны на плотном в себе лгножестве (х)з> и если этот функциональный ряд (эта функциональная последовательность) сходится равномерно на множестве (х), то и сумма укаванного ряда ('предельная функция указанной последовательности) непрерывна на множестве (х). Дла доказательства достаточно применить предыдущее следа стане к каждой точке х множества (х). и Напомним, что множество !х) называется плотным в себе, если каждая его точка является предельной точкой итого множества. $4. Почленное интегрирование и ночленное дифференцирование 87 й 4.
ПОЧЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ПОЧЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕИ И РЯДОВ 1. Почленное интегрирование. Докажем следующую основную теорему. Т е о р е м а 2.8. Если функциональная последовательность -[[„(х)) сходится к предельной функции [(х) равномерно на сегменте [а, Ь] и если каждая функция 1„(х) интегрируема на сегменте [а, Ь], то и предельная функция !" (х) интегрируема на этом сегменте, причем укаэанную последовательность можно интегрировать яа сегменте [а, Ь] п он лен но, т. е.
предел ь 1пп ~ 7„(х)дх в м а ь существует и равен ] 7(х) йх. а Доказательство. Сначала докажем, что предельная функция 1(х) интегрируема на сегменте [а, Ь]. Фиксируем произвольное е)0. Достаточно доказать, что для предельной функции )(х) найдется хотя бы одно разбиение сегмента [а, Ь]„для верхней суммы 5 и нижней суммы в которого справедливо неравенство 5 — в<е (см. и. 1 $ 3 гл.
9 ч. 1). Для этого достаточно доказать, что для фиксированного нами произвольного е)0 найдется такой номер и, что для любого разбиения сегмента [а, Ь1 верхняя сумма 5 и нижняя сумма з функции 7(х) и верхняя сумма 5„и нижняя сумма э„функции 7„(х) связаны неравенством 5 — '"= (5.— за)+ —.
(2.37) (В самом деле, если для любого разбиения будет доказана справедливость для некоторого номера и неравенства (2.37), то в силу интегрируемости на [а, Ь] функции 1„(х) разбиение можно выбрать так, что будет справедливо неравенство 5 — э < —, е л в о нз которого в силу (2.37) следует 5 — е(е, что и завершает доказательство интегрируемости на [а, Ь] функции )(х).) Рассмотрим произвольное разбиение (ха] (у=1, 2,...,гп) сегмента [а, Ь] и обозначим символом гол([„) колебание4] на й-м частичном сегменте [ха,, ха] функции ]„(х), а символом отл([) колебание на том же частичном сегменте предельной функции [(х).
м Наномним, что колебанием функции на любом сегменте называется разность между точной верхней и точной нижней гранями этой функция на указанном сегменте. Гл. 2. Фунндионельнне последовательности и ряди 88 Неравенство (2.37) будет доказано, если мы установим, что для достаточно большого номера и справедливо неравенство (2.38) (В самом деле, умножая (2.38) на длину Лхд=хь — хь 1 частичного сегмента [хя. ь хь] и суммируя получающееся при этом неравенство по всем )е= 1, 2,...,пт, получим неравенство (2.37).) Установим для любого частичного сегмента [хь ь хь] и для любого достаточно большого номера и справедливость неравенства (2.38). Для любого номера и и любых двух точек х' и х" сегмента [хь н хь] справедливо тождество ~ (х') — Дх") = Ц (х') — ~л (х')] + Ц„(х') — ~, (х")] + [7„(х") — 7' (х")], [1„(х) — 7(х)[ с.
4 (ь — а) Используя в правой части (2.39) неравенство (2.40), взятое для точки х=х' н для точки х=х", получим из (2.39) (2.40) [1*(~') — 1(~")[~ [~я(~„') — у„(~л)] + (2.41) (для выбранного нами достаточно большого номера п н для любых двух точек х' и х" сегмента [хь н хь] ). Так как при любом расположении точек х' и х" на сегменте [хя ь хь] справедливо неравенство ])н(хе) — 1„(ха) [ -сел(1„), то из (2.41) получим [1(х') — ) (х")[ ~(о>л(7„)+ 2 (о — а) (2.42) Заметим, что неравенстно (242) справедливо при любом расположении точек х' и х" на частичном сегменте [хь ь хя[.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
