В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ. Продолжение курса (PDF) (1111796), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Обозначая точную верхнюю и точную нижнюю грани функции ](х) на указанном частичном сегменте соответственно через Мь и тю в силу определения точных граней найдем две последова- из которого вытекает неравенство [7(х ) — 7(х )[ ~ [](х ) — 7 (х )[ + [1 (х ) †)и(х )[ + [1 (х ) — 1(х )[- (2.39) В силу равномерной на сегменте [а, Ь] сходнмости последовательности (1„(х)) к функции 1(х) для фиксированного нами произвольного е>0 найдется номер п такой, что для всех точек х сегмента [а, Ь] $4. Почленное интегрирование и почленное дифференцировавие 89 тельности точек (хр') и (хрл) (р=1, 2,...) сегмента [х» ь х»] такие, что [пп х' = М»о [нп х', = гн».
л Р о В силу (2.42) для любого номера р [~ (х') — ) (х,)1 < ю» (7„) + (2.43) ь ь ! ] )„(х)г(х — [1(х)с[х[ ч. е. а а Но это вытекает из того, что в силу равномерной сходимости [1„(х)) к 1(х) на сегменте [а, Ь] существует номер У(е) такой, что для всех х из сегмента [а, Ь] и для всех номеров и, удовлетворяющих условию и)7»г(е), [и) — ипс 2 (Ь вЂ” а) Из неравенства (2.44) и из известных оценок из теории определенного интеграла'> получим (2.44) ю Имеются в виду следуюнгне установленние в н. 2 $4 гл.
9 ч. 1 оценки: 1) если г(х) интегрируема на [а, Ь[, то н [г"(х)1 ннтегрируема на 1а, Ь[, приь ь чем ~ ] г" (х) ох[() [г" (х)[ох; 2) если 1(х) и н(х) интегрируемы на сегмена Ф ь ь те [а, ь) и всюду на этом сегменте 1(х)~а(х), то ] 1(х) г(х< [ д(х) нх, а т Переходя в неравенстве (2.43) к пределу при р-з-оо и замечая, что предел левой части (2.43) равен М» — т» — — ю»([), получим в пределе из (2.43) требуемое неравенство (2.38). Таким образом, доказательство интегрируемости предельной функции )(х) на сегменте [а, Ь] завершено. Заметим, что если бы мы в условиях теоремы 2.8 дополнительно потребовали непрерывности каждой функции [„(х) на сегменте [а, Ь] (что делается в большинстве учебников по математическому анализу), то доказательство интегрируемостй предельной функции )(х) на сегменте [а, Ь] стало бы совсем тривиальным: в силу следствия 2 из теоремы 2.7 при таком дополнительном требовании предельная функция [(х) являлась бы непрерывной на сегменте [а, Ь], а потому и интегрируемой на этом сегменте.
Остается доказать второе утверждение теоремы 2.8 о том, что интегрирование последовательности [1„(х)) на сегменте [а, Ь] можно производить почленно. Достаточно доказать, что для любого е)0 найдется номер й((е) такой, что для всех п~Лг(а) 90 Гл. 2. Функциональные последовательности и ряды Ь ь ь ! ] )'„(х) йх — '] Г(х) йх ~ = ~ ~ [Г„(х) — Г(х)] йх ! < О а а ь ь ч. ~ ]~„(х) — )(х) ] йх аь [ йх = — «,.
г. 2(Ь вЂ” а) 2 2 Доказательство теоремы 2.8 полностью завершено. Приведем формулировку теоремы 2.8 в терминах функциональных рядов: Теореме 2.8*. Если функциональный ряд ~" иа(х) асо сходится к своей сумме Я(х) равномерно на сегменте [а, Ь] и если каждый член этого ряда ил(х) представляет собой функцию, интегрируемую на сегменте [а, 6], то и сумма 5(х) интегрируема на сегменте [а, Ь], причем указанный ряд мозсно интегрировать на сегменте [а, 6] по член но, т.
е, можно утверждать, что числовой ряд а Ь )Г ]е иа(х)йх ь-1 а ь сходится и имеет своей суммой ] 5(х)йх. а 3 з меч ение. В следующей главе будет указан аналог теоремы 2.8 (см. теорему 3.9) для случая, когда функциональная последовательность определена и интегрируемз в некоторой области пт-мерного евклидова пространства Еы (при тп)2). 2. Почленное дифференцирование.
В дальнейшем под словами «функция [(х) имеет производную на сегменте [а, Ь]» мы будем подразумевать, что функция [(х) имеет обычную (двустороннюю) производную в любой внутренней точке сегмента [а, Ь], правую производную Г'(а+О) в точке а и левую производную Г'(Ь вЂ” О) в точке Ь. Теорема 2.9. Если каждая функция [„(х) имеет производную на сегменте [а, 6], причем последовательность производных сходится равномерно на сегменте [а, 6], а сама последовательность ([„(х)) сходится хотя бы в одной точке хе сегмента [а, 6], то последовательность ([„(х)) сходится к некоторой предельной функции [(х) равномерно на сегменте [а, Ь], причем эту последовательность можно дифференцировать на сегменте [а, Ь] пон лен ноо, т.
е. всюду на сегменте [а, 6] предельная функция й 4. Почаенное интегрирование и аочленное дифференцирование 91 имеет производную о> ]т(х), являющуюся предельной функцией последовательности ([„'(х)), Д о к а з а тел ь с та о. Докажем сначала, что последовательность ([„(х)) сходится равномерно на сегменте [а, Ь]. Из сходи- мости числовой последовательности ([„(хо)) и из равномерной на сегменте [а, Ь] сходимости ([„'(х)) следует, что для любого е>0 найдется номер йт(г) такой, что ]~„чр(Хо) — ~„(Хо)] ( —, ]~„чя(Х) — )о(Х)~ ( (2.45) 2 2 (Ь вЂ” а] для всех п>Л'(е), всех натуральных р и для всех х из сегмента [а, Ь].
Пусть х — произвольная точка сегмента [а, Ь]. Так как для функции [1„+р(Г) — 1 (1)] при любых фиксированных номерах и и р выполнены на сегменте, ограниченном точками х и хо, все условия теоремы Лагранжа, то между х и хо найдется точка 6 такая, что Уо+р (х) ~о (х)] [~л+р (хо) ~ч (хо)] = Уо+г (хо) ~о(ао)] (х хо).
Из этого равенства и из того, что модуль суммы двух величин не превосходит сумму их модулей, получим, учитывая (2.45) и неравенство ]х — хо]<Ь вЂ” а, что ](„+р(х) — [„(х) ] <а (для любого х нз [а, Ь], для любого п>61(е) и любого натурального р). Это и означает в силу критерия Коши, что последонательность ([,(х)) сходится равномерно на сегменте [а, Ь] к некоторой предельной функции [(х). Остается доказать, что эта предельная функция в любой фиксированной точке х сегмента [а, Ь] имеет производную (в граничных точках одностороннюю производную) и эта производная является предельной функцией последовательности ([„'(х)). Фиксируем произвольную точку х сегмента [а, Ь] и по ней 6>0 такое, чтобы 6-окрестность точки х целиком содержалась в [а, Ь] (в случае, если х является граничной точкой сегмента [а, Ь] под 6-окрестностью точки х будем подразумевать правую полуокрестность [а, а+6) точки а и левую полуокрестность (Ь вЂ” 6, Ь] точки Ь).
Обозначим символом (Лх) множество всех чисел Лх, удовлетворяющих условию 0<]йх]<6 при а<х<Ъ, условию 0<Ьх<6 при х=а и условию — 6<Лх<0 при х=Ь, и докажем, что последовательность функций аргумента йх "1 В граничных точках (а, Ь) имеется в виду односторонняя ироиэводная. Гл. 2. Функциональные Ооследоаательности н ряды 92 (Лх) 1.(.
+ л.) — 1.(.) Лх (2.46) сходится равномерно на указанном множестве (Лх). Для произвольного е)0 в силу критерия Коши равномерной сходимостн последовательности (1„'(х)) найдется номер У(е) такой„что 11»,р(х+ Лх) — 1 (х+ Лх)1 — !1»,р(х) — 1 (х)) = 1»-~-р (Х+ ОЛХ) ~»(Х+ ОЛХ), Используя обозначение (2.46), последнее равенство можно переписать в виде ф» ~ 1(Лх) — ф» (Лх) = ~»ер (х + ОЛх) (» (х+ ОЛх)' Из этого равенства и из (2.47) заключаем, что [ф +„(Лх) — ф„(Лх) [<и для любого Лх из (Лх), любого л)М(е) и любого натурального р.
В силу критерия Коши (т. е. теоремы 2.1) последовательность (ф»(Лх)) сходится равномерно на множестве (Лх). Но тогда к этой последовательности можно применить теорему 2.7 о почленном предельном переходе в точке Лх=0 (в терминах функциональных последовательностей). Согласно этой теореме функция 1(х+ Лх) — 1(х) Лх являющаяся предельной функцией последовательности (2.46), имеет предел в точке Лх=О, причем этот предел' можно вычислять почленно, т.
е. 1)гп =1!гп [!пп ф„(ЛХ)[ = а о Лх Ьх О»-»с =1цп [11п1 ф„(Лх)[= — !пп 11!щ 1" (х ' 1»( ) 1=1!ш 1„(х). ° а о » ~ах О Лх »-~с [~„ьр(х) — 1„(х)[ < е (2.47) для всех х нз [а, Ь), всех л) М(е) н всех натуральных р. Фиксируем теперь произвольное Лх из множества (Лх) и при любых фиксированных номерах п и р применим к функции [1 э (1) — 1 (1)1 по сегменту, ограниченному точками х и х+Лх, теорему Лагранжа. Согласно этой теореме найдется число О из интервала О< <О<1 такое, что Ч 4. Почленное интегрирование и иочленаое дифференнирование 9З Это и доказывает, что производная предельной функции 1(х) в точке х существует и равна 1йп 7"„(х).
Теорема доказана. и е В терминах функциональных рядов теорема 2.9 формулируется так: Теорема 2.9*. Если каждая функция иа(х) имеет производную на сегменте [а, Ь] и если ряд из производнь!х 'у и, '(х) Ь=! сходится равномерно на сеглгенте [а, 6], а сам ряд у иа(х) схоЬ=! дится хотя бы в одной точке хо сегмента [а, 6], то этот последний. ряд сходится равномерно на сегменте [а, 6] к некоторой сумме 5(х), причем этот ряд можно дифференцировать на сегменте [а, Ь] почленно, т. е. его сумма 5(х) имеет производную, являющуюся суммой ряда из производнь!х 5 и,'(х).
Ф-! 3 а меч ание 1. Подчеркнем, что в теореме 2.9 предполагается только существование на сегменте [а, Ь] производной у каждого члена последовательности 1„(х). Ни ограниченность, ни тем более непрерывность указанной производной (как зто делается в большинстве учебников по математическому анализу) не предполагается. 3 а м е ч а н и е 2, Если все же дополнительно предположить непрерывность производной у каждого члена последовательности на сегменте [а, Ь], то в силу следствия 2 из теоремы 2,7 и предельная функция !" (х) будет иметь производную, непрерывную на сегменте [а, Ь].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
